王 琦 ，張靜薇 ，李 坤

（1.天津工業(yè)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 天津市光電檢測技術(shù)與系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387）

無損檢測技術(shù)（non-destructive testing technology，NDT）是指在不破壞和不影響被測對象各方面性能的前提下，利用聲，光、電、磁等物理信號(hào)，對檢測樣品的表面凹坑、劃痕及內(nèi)部結(jié)構(gòu)等缺陷進(jìn)行檢測，從而獲得檢測樣品的相關(guān)測量數(shù)據(jù)，判斷檢測對象是否合格[1]。

金屬材料產(chǎn)品廣泛運(yùn)用于國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)行業(yè)，隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，對金屬材料的需求日益增加。然而在金屬零件加工和生產(chǎn)過程中，不可避免地出現(xiàn)各種不同類型的缺陷，在使用過程中存在極大的安全隱患。常用的金屬零件無損檢測方法有超聲波檢測、射線檢測、磁粉檢測和渦流檢測[2-6]。超聲波檢測具有穿透能力強(qiáng)和靈敏度高的優(yōu)點(diǎn)，但該方法需要涂抹耦合劑，不適用于在線檢測。射線檢測使用的射線為X射線，具有很強(qiáng)的穿透性，且不受材料形狀和結(jié)構(gòu)的影響，因此可以得到高精度的測量結(jié)果。但是由于X射線會(huì)對人體造成傷害，具有很大的安全隱患。磁粉檢測可以表現(xiàn)出特定的缺陷特征，但該方法操作復(fù)雜且僅適合于鐵磁性材料，只能檢測表面和近表面的缺陷。渦流檢測是一種電磁技術(shù)，具有非接觸、檢測速度快、靈敏度高等優(yōu)點(diǎn)。渦流檢測的傳感器由一個(gè)或兩個(gè)線圈組成，僅能獲取檢測線圈附近的檢測信息，可獲取到的檢測信息有限，且渦流檢測技術(shù)常用于檢測表面缺陷。由于需要檢測金屬零件表面和內(nèi)部的缺陷，以上方法均不能滿足檢測要求。因此，迫切需要提出一種新的實(shí)時(shí)在線無損檢測技術(shù)。

電磁層析成像（electromagnetic tomography,EMT）是一種基于電磁感應(yīng)原理的技術(shù)，具有傳感器靈活、成像實(shí)時(shí)、可視化等優(yōu)點(diǎn)，適用于金屬零件缺陷檢測。使用由多個(gè)線圈構(gòu)成的傳感器測量被測對象的信息，利用圖像重建算法處理這些信息，進(jìn)而重現(xiàn)出被測對象內(nèi)部電導(dǎo)率或磁導(dǎo)率分布。EMT圖像重建是典型的逆問題，具有嚴(yán)重的不適定性和病態(tài)性[7]，為解決這一問題，傳統(tǒng)的成像算法中常采用基于2范數(shù)的正則化算法，獲得的解在一定程度上會(huì)對重建圖像產(chǎn)生平滑效果。針對所研究的金屬缺陷具有稀疏性分布的特點(diǎn)[8]，本文采用一種改進(jìn)的總變差正則化（Total Variation,TV）算法，它既能保留圖像的邊界信息，又能通過稀疏表示舍棄含有噪聲的數(shù)據(jù)。此外，現(xiàn)有的EMT技術(shù)主要針對表面缺陷的二維圖像重建，而對內(nèi)部和表面缺陷的三維圖像重建研究較少，內(nèi)部缺陷檢測是工業(yè)領(lǐng)域的要求和挑戰(zhàn)之一。因此，本文對金屬零件缺陷的三維圖像重建進(jìn)行了研究。

本文利用EMT方法實(shí)現(xiàn)了金屬零件表面和內(nèi)部缺陷的三維成像，使用TV正則化算法對缺陷圖像進(jìn)行三維重建，通過仿真和實(shí)驗(yàn)評估了所提出算法的性能，并與Tikhonov正則化算法和L1正則化算法進(jìn)行了比較。

1 基于EMT的缺陷檢測系統(tǒng)

1.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)構(gòu)建

本文實(shí)驗(yàn)中所使用的基于金屬缺陷檢測的EMT系統(tǒng)由信號(hào)源模塊、傳感器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、多路選通模塊和上位機(jī)5部分組成[9-11]，其結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。EMT測量系統(tǒng)工作過程如下：信號(hào)源產(chǎn)生特定幅值頻率的正弦信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)，通過多路選通模塊將激勵(lì)信號(hào)施加在傳感器線圈上，被測物場中的測量線圈產(chǎn)生感應(yīng)電壓，高速采集模塊將采集到的感應(yīng)電壓信號(hào)傳送到上位機(jī)，上位機(jī)利用圖像重建算法對被測物場內(nèi)信息進(jìn)行圖像重建。根據(jù)圖1結(jié)構(gòu)圖搭建的用于金屬缺陷檢測的EMT系統(tǒng)如圖2所示，其各個(gè)功能模塊與圖1是一一對應(yīng)的。

圖1 用于金屬缺陷檢測的EMT系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of EMT system for metal defect detection

圖2 實(shí)驗(yàn)EMT測量系統(tǒng)Fig.2 Experimental EMT measurement system

本實(shí)驗(yàn)中所有的算法都是使用MATLAB軟件在Intel（R）Core（TM）i7的PC機(jī)上實(shí)現(xiàn)的，CPU主頻為3.4 GHz，內(nèi)存為4 GB；高速采集模塊的型號(hào)為DG1022U；信號(hào)源模塊的型號(hào)為EX3005。

平面?zhèn)鞲衅麝嚵杏?個(gè)線圈組成，線圈呈3×3矩陣排列，如圖3所示。與傳統(tǒng)6線圈組成的“O”型傳感器相比，不僅克服了敏感場中心靈敏度分布不均勻的問題，并且線圈個(gè)數(shù)增多，可以獲得更多的測量數(shù)據(jù)，成像效果更好。9個(gè)線圈固定在一個(gè)非導(dǎo)磁塑料正方形盤上，邊長60 mm，厚度10 mm。各線圈由線徑為0.3 mm銅線繞制而成，匝數(shù)為100匝，高10 mm，內(nèi)徑12 mm，外徑17 mm，線圈之間的間距為3 mm，對傳感器進(jìn)行標(biāo)號(hào)，分別為1～9號(hào)線圈。

矩陣式分布傳感器采用單線圈激勵(lì)模式，其測量模式如下：在檢測過程中，傳感器其中一個(gè)線圈被選擇作為激勵(lì)線圈，注入交流激勵(lì)信號(hào)，其他8個(gè)線圈作為接收線圈，接收感應(yīng)電壓信號(hào)，之后更換激勵(lì)線圈，這個(gè)過程一直持續(xù)到所有9個(gè)線圈都被激勵(lì)完畢，因此可獲得9×8=72個(gè)獨(dú)立電壓測量值。傳感器在測量時(shí)，可獲得傳感器測量范圍內(nèi)的電導(dǎo)率分布情況。由于缺陷的主要成分為空氣，與金屬的電導(dǎo)率差別較大，因此可以通過電導(dǎo)率分布判斷該區(qū)域內(nèi)缺陷分布情況。

圖3 矩陣式分布傳感器實(shí)物圖Fig.3 Physical photos of matrix distribution sensor

在測量時(shí)，首先把無缺陷待測金屬放在圖2中的傳感器下方，傳感器提離高度為3 mm，測量得到空場數(shù)據(jù)，使用相同的方法測量有缺陷待測金屬得到物場數(shù)據(jù)。使用物場數(shù)據(jù)減去空場數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)差值，利用數(shù)據(jù)差值和圖像重建算法得到缺陷分布圖像。

1.2 EMT的物理模型

EMT的數(shù)學(xué)問題包括正問題和逆問題[12-13]。EMT正問題的實(shí)質(zhì)是求解一個(gè)時(shí)諧渦流場問題，描述為：

式中：Vij是第i個(gè)線圈作為激勵(lì)線圈時(shí)被檢測線圈j的感應(yīng)電壓；C為物體空間的橫截面積；F為感應(yīng)場分布函數(shù)；σ為電導(dǎo)率；μ為磁導(dǎo)率。

EMT系統(tǒng)的物理模型可由Maxwell方程組得到

在媒質(zhì)為各向同性的條件下，其對應(yīng)的特性方程為：

定義矢量磁位滿足

根據(jù)偏微分方程，由方程（2）、（3）、（4） 可構(gòu)建EMT正問題模型

邊界條件為

正問題的結(jié)果將用于計(jì)算感應(yīng)線圈中的感應(yīng)電壓，以及逆問題所需的Jacobian矩陣。根據(jù)靈敏度矩陣公式，如果激勵(lì)線圈中的總電流為I0，則感應(yīng)電壓對電導(dǎo)率變化的靈敏度為

在EMT的三維重建圖像中必須考慮趨膚效應(yīng)的影響[14]。在線圈中通入交流電流時(shí)，線圈周圍會(huì)產(chǎn)生磁場，存在于線圈周圍的導(dǎo)體近表面會(huì)產(chǎn)生渦流。渦流能夠到達(dá)的檢測深度與激勵(lì)信號(hào)的頻率有關(guān)。根據(jù)趨膚效應(yīng)理論，隨著激勵(lì)頻率的降低，檢測深度逐漸變大。

本文采用線性逆問題解決三維重建問題，假設(shè)正問題具有線性形式

式中：ΔV∈Rm×l為感應(yīng)電壓的變化；S∈Rm×n×l為靈敏度矩陣；Δσ∈Rn×l為元素中電導(dǎo)率的變化；m為測量電壓數(shù)；l為對應(yīng)于不同檢測深度的圖像層數(shù)；n為每個(gè)層的像素?cái)?shù)。

2 EMT的圖像重建

EMT的圖像重建是利用檢測得到的感應(yīng)電壓值，通過圖像重建算法重現(xiàn)出被測對象內(nèi)部電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率的分布圖像。由于獨(dú)立測量的邊界電壓數(shù)據(jù)的數(shù)目遠(yuǎn)小于電導(dǎo)率分布的數(shù)目，且容易受到外界環(huán)境噪聲的干擾；式（8）中的靈敏度矩陣通常不是方陣，也不是滿秩矩陣，導(dǎo)致EMT圖像重建具有嚴(yán)重的不適定性和病態(tài)性，在求解過程中常采用正則化方法。

2.1 Tikhonov正則化算法

目前在電學(xué)成像領(lǐng)域使用最廣泛的正則化方法是Tikhonov正則化算法。在Tikhonov正則化算法中，我們將不適定逆問題轉(zhuǎn)化為適定極小化問題[15-16]，并將最小化目標(biāo)函數(shù)定義如下

式中：‖g‖2代表2范數(shù)，第一項(xiàng)為數(shù)據(jù)項(xiàng)，第二項(xiàng)為正則化項(xiàng)；L代表正則化矩陣；α代表正則化參數(shù)。

求解式（9）的導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于0的方式求取極值點(diǎn)，假設(shè)L為單位矩陣I，則可以得到式（10）：

定義

所以式（11）可以變形得到式（12）

通過選擇合適的正則化參數(shù)，Tikhonov正則化算法可以獲得穩(wěn)定的解和精確的圖像重建結(jié)果。然而Tikhonov正則化算法通過在原函數(shù)的基礎(chǔ)上增加2范數(shù)作為懲罰項(xiàng)，這種方法通常會(huì)使重建圖像過渡平滑。對于具有稀疏性和不連續(xù)性分布特點(diǎn)的金屬缺陷，圖像重構(gòu)的邊緣信息喪失嚴(yán)重，造成圖像邊界模糊，圖像重建的精確度不高。

2.2 改進(jìn)的總變差正則化算法

TV正則化使用不連續(xù)函數(shù)解決逆問題。將總變差函數(shù)引入到EMT圖像重建中[17-18]

式中：區(qū)域S為重建圖像區(qū)域。

選取重建圖像的灰度值G為變量，為解決變差函數(shù)可能出現(xiàn)的不可微的情況，采用更穩(wěn)定的泛函來逼近TV（G）在空間中的情況，即

將總變差函數(shù)與正則化算法相結(jié)合，與Tikhonov正則化算法的目標(biāo)函數(shù)（9）類比，將其中的第2項(xiàng)正則化項(xiàng)換成αTVβ（G），這樣就得到了TV正則化目標(biāo)函數(shù)

式中：α代表正則化參數(shù)；β代表光滑參數(shù)。

在實(shí)際的計(jì)算中，為方便求解通常把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成離散的形式，則式（15）轉(zhuǎn)化為

式中：L為對應(yīng)的灰度方陣特性的稀疏矩陣；‖LiG‖為對應(yīng)不同區(qū)域的灰度方差。

為求解式（16），本文采用Newton-Raphson算法求解目標(biāo)函數(shù)極小化，求得目標(biāo)函數(shù)的梯度值為

式中

目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣為

則基于TV正則化的Newton-Raphson迭代算法如下

算法流程圖如圖4所示。算法在達(dá)到最大迭代次數(shù)或第k次迭代的相對容差ek滿足ek=‖Gk+1-Gk‖2≤ε時(shí)停止，其中ε為預(yù)定義的相對容差。

圖4 TV正則化算法的流程圖Fig.4 Flow chart of TV regularization algorithm

3 仿真結(jié)果

在本節(jié)中，為證明TV正則化算法的優(yōu)越性，構(gòu)建不同缺陷仿真模型，并與現(xiàn)有的Tikhonov正則化算法和L1正則化算法的重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行了比較。

3.1 仿真模型的建立

為了驗(yàn)證TV正則化算法的有效性，本文在COMSOL Multiphysics環(huán)境中對EMT系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。根據(jù)第1節(jié)設(shè)計(jì)的EMT系統(tǒng)，構(gòu)建矩陣式分布傳感器仿真模型如圖5所示，采用單線圈激勵(lì)方式，對表面和內(nèi)部缺陷進(jìn)行了仿真對比實(shí)驗(yàn)。本文中使用的待測對象是方形鋁板，大小為60 mm×60 mm×10 mm。設(shè)置背景（鋁）的電導(dǎo)率為3.774 7×107S/m，空氣的電導(dǎo)率為1 S/m。根據(jù)各線圈磁場強(qiáng)度的不均勻性和測量系統(tǒng)的噪聲等級，在仿真中加入±1%的高斯噪聲，用來模擬真實(shí)環(huán)境中的噪聲。EMT系統(tǒng)的典型噪聲等級對應(yīng)的信噪比約為40 dB，噪聲的方差是0。

圖5 矩陣式分布傳感器仿真模型Fig.5 Simulation model of matrix distributed sensor

3.2 基于TV正則化算法的二維仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證算法的有效性，使用Tikhonov正則化、L1正則化和TV正則化這3種算法對6種缺陷模型的表面進(jìn)行二維圖像重建，本實(shí)驗(yàn)采用10 kHz的交流激勵(lì)頻率，重建結(jié)果如圖6所示。

圖6 6種缺陷模型的重建結(jié)果Fig.6 Reconstruction results of six defect models

圖6中第1列為仿真模型，構(gòu)建了6種不同尺寸、位置和缺陷個(gè)數(shù)的缺陷模型，編號(hào)為模型1～6，模型1～3的缺陷直徑分別為5 mm、4 mm和3 mm，模型4～6的缺陷直徑均為3 mm，所有缺陷深度均為1 mm。第2、3、4列分別對應(yīng)的是Tikhonov正則化、L1正則化和TV正則化算法的重建結(jié)果。

在重建圖像中，紅色部分是具有缺陷的低電導(dǎo)率區(qū)域，藍(lán)色部分是沒有缺陷的高電導(dǎo)率區(qū)域，綠色部分是由噪聲和算法引入的偽影。從圖6可以看出，3種算法均能對缺陷的位置和數(shù)量實(shí)現(xiàn)重建。其中Tikhonov正則化算法的成像效果最差，偽影最嚴(yán)重；當(dāng)缺陷的尺寸逐漸減小時(shí)，相較于另外2種算法，TV正則化算法在缺陷尺寸變化過程中的重建圖像效果最好。

為了定量評價(jià)算法的性能，通過電導(dǎo)率分布和重構(gòu)圖像得到相對誤差（relative error，RE）來衡量成像精度，定義如下

式中：σ*為重構(gòu)電導(dǎo)率分布；σ為真實(shí)電導(dǎo)率分布。

表1為6種缺陷模重建圖像的RE值。

表1 6種缺陷模型重建圖像的RE值Tab.1 RE values of reconstructed images of six defect models

從表1可以看出，單個(gè)缺陷重建圖像的質(zhì)量要優(yōu)于多個(gè)缺陷重建圖像的質(zhì)量。采用TV正則化算法重建的圖像具有最小的RE值，與另外2種算法相比圖像重建效果更好。每種缺陷模式采用3種算法圖像重建的時(shí)間如表2所示。

表2 6種缺陷模型的圖像重建時(shí)間Tab.2 Reconstructed image time of six defect models s

從表2可以看出，TV正則化算法運(yùn)行速度最快，Tikhonov正則化算法的速度略慢于TV正則化算法，L1正則化算法需要更多的迭代次數(shù)，因此是最慢的。

3.3 基于TV正則化算法的三維仿真結(jié)果

采用TV正則化算法對鋁板內(nèi)部缺陷模型進(jìn)行三維圖像重建，所有缺陷均為直徑3mm、深度10 mm的圓柱體。根據(jù)趨膚效應(yīng)，可以通過選擇激勵(lì)頻率檢測不同的深度，然后通過三維插值重建出三維EMT圖像[19-20]。

為了測試激勵(lì)頻率在不同檢測深度下的靈敏度，選取100 Hz、1 kHz、10 kHz激勵(lì)頻率重建不同檢測深度的缺陷圖像（如圖7所示），從而獲得不同激勵(lì)頻率下的最佳檢測深度。

圖7 不同檢測深度與激勵(lì)頻率的關(guān)系Fig.7 Relationship between different detection depths and excitation frequencies

從圖7可以看出，高頻和低頻激勵(lì)信號(hào)均可以檢測深度為1 mm的缺陷，但使用高頻激勵(lì)信號(hào)重建的圖像更接近缺陷的真實(shí)形狀。對于深度小于5 mm的內(nèi)部缺陷，低頻激勵(lì)信號(hào)不僅可以獲取缺陷的分布信息，還可以獲得缺陷的形狀信息。而隨著檢測深度的增加，最佳激勵(lì)頻率降低。例如，當(dāng)缺陷深度為9 mm時(shí)，高頻激勵(lì)信號(hào)無法檢測到缺陷。根據(jù)仿真結(jié)果，本文選取檢測深度為1 mm、5 mm和9 mm的二維圖像序列進(jìn)行三維圖像重建。3個(gè)檢測深度對應(yīng)的最佳激勵(lì)頻率分別為100 Hz、1 kHz和10 kHz。

為了驗(yàn)證TV正則化算法在三維圖像重建中的優(yōu)越性，構(gòu)建了缺陷數(shù)目為2、4、6的缺陷仿真模型，3種算法圖像重建得到的內(nèi)部缺陷二維圖像序列和三維重建圖像如圖8所示。

圖8 3種缺陷模型三維/二維重建結(jié)果Fig.8 3D/2D reconstruction results of three defect models

利用與二維重建圖像相似的誤差分析方法，對三維重建圖像進(jìn)行定量評價(jià)。對三維重建圖像的每個(gè)圖像層分別計(jì)算RE值，然后取其平均值RE3D，定義如下

式中：i=1，2，3，…，k為不同圖像層的圖像；k 為圖像層總數(shù)。

圖8中第1列為缺陷模型，其余6列為使用Tikhonov正則化、L1正則化和TV正則化3種算法得到的二維圖像序列和三維重建圖像。從圖8可以看出，3種算法均可以檢測出缺陷的數(shù)量和近似位置。表3為內(nèi)部缺陷的三維圖像重建的RE值。

表3 3種缺陷模型三維重建圖像的RE值Tab.3 RE values of 3D reconstructed images of three defect models

由表3可以看出，在三維重建圖像中，L1正則化算法和TV正則化算法的成像質(zhì)量優(yōu)于Tikhonov正則化算法。此外，與L1正則化算法相比，TV正則化算法具有更好的圖像重建效果。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證TV正則化算法在EMT重建圖像方面的有效性和可行性，進(jìn)行了真實(shí)實(shí)驗(yàn)。

本節(jié)使用第1節(jié)中9線圈矩陣式分布傳感器，待測對象是邊長60 mm，厚度10 mm的方形鋁板，在鋁板上分別構(gòu)建1個(gè)、2個(gè)、4個(gè)缺陷。在EMT系統(tǒng)中分別加入100 Hz、1 kHz、10 kHz的交流激勵(lì)頻率，得到不同深度的重建圖像，從而得到三維重建圖像，如圖9所示。表4為鋁板內(nèi)部缺陷的三維重建圖像的RE值。

圖9 真實(shí)實(shí)驗(yàn)三維/二維重建圖像Fig.9 3D/2D reconstructed images from real experiments

表4 真實(shí)實(shí)驗(yàn)三維/二維重建圖像的RE值Tab.4 RE values of 3D/2D reconstructed images of real experiments

圖9第1列為有缺陷鋁板，其余6列為使用Tikhonov正則化、L1正則化和TV正則化3種算法得到的二維圖像序列和三維重建圖像。從圖9可以看出，采用TV正則化算法重建的三維圖像最接近缺陷的真實(shí)分布。在實(shí)際測量中，由于存在系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，使得測量數(shù)據(jù)與上述數(shù)值結(jié)果存在差異。因此，在表4中得到的誤差大于在表3中得到的誤差。

5 結(jié)論

本文根據(jù)EMT系統(tǒng)圖像重建的基本原理，針對金屬缺陷的稀疏性分布特點(diǎn)，提出了一種改進(jìn)的TV正則化算法對金屬缺陷圖像進(jìn)行重建。利用COMSOL Multiphysics構(gòu)建仿真模型，使用TV正則化算法對不同個(gè)數(shù)、位置的缺陷模型進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)，并與Tikhonov正則化算法、L1正則化算法的重建圖像和相對誤差進(jìn)行了對比。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，使用改進(jìn)的TV正則化算法重建的結(jié)果與目標(biāo)缺陷原型最接近，成像效果最好，具有更小的相對誤差，可低至0.1左右。討論了激勵(lì)頻率

與檢測深度的關(guān)系，為三維圖像重建提供了依據(jù)。由此證明了EMT系統(tǒng)具有對表面和次表面缺陷非侵入性檢測的潛力。本文僅證明了利用EMT進(jìn)行金屬缺陷三維圖像重建的可行性，為了進(jìn)一步提高重建圖像的成像效果，在今后的工作中，將通過掃頻實(shí)驗(yàn)重點(diǎn)研究具有更多二維圖像層的三維缺陷成像。