Saadat Fatima，Hashmi Abdul Rehman，朱磊磊

(1.南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 210094；2.浙江大學(xué)能源工程學(xué)院，杭州 310027)

點(diǎn)-體流動(dòng)過(guò)程在工程界和自然界十分常見(jiàn)，所謂點(diǎn)-體流動(dòng)是指由一個(gè)點(diǎn)向一個(gè)體積區(qū)域輸送流體。為了提高輸送效率，通常在該體積區(qū)域內(nèi)嵌流道，流道區(qū)流阻較小，其體積可代表輸送流體的投資成本，非流道區(qū)一般是功能區(qū)，流體主要通過(guò)滲透?jìng)鬏?，流阻較大。流道區(qū)體積越大，總輸送流阻和耗功越小，但對(duì)應(yīng)的功能區(qū)體積也越小，因此二者之間存在權(quán)衡關(guān)系。在給定流道體積時(shí)，流道結(jié)構(gòu)有均勻流道(單一尺度流道)和多尺度流道兩類，經(jīng)過(guò)優(yōu)化的多尺度流道在很多情況下要優(yōu)于均勻流道，因此多尺度流道的設(shè)計(jì)引起了普遍重視。在多尺度流道設(shè)計(jì)時(shí)，有兩種常見(jiàn)結(jié)構(gòu)：樹(shù)狀流道和網(wǎng)狀流道。網(wǎng)狀流道在流道局部出現(xiàn)堵塞等非設(shè)計(jì)工況時(shí)，仍能維持較好的性能，即可靠性較高[1]。樹(shù)狀流道在可靠性方面不及網(wǎng)狀流道，但因其流道體積利用率高，在微電子冷卻、燃料電池流場(chǎng)設(shè)計(jì)和流體分布器等多種工程應(yīng)用中引起了普遍關(guān)注[2-7]。

早期對(duì)樹(shù)狀流道的代表性研究是Murray做出的[8]，其結(jié)果后來(lái)被命名為Murray定律，該定律建立了樹(shù)狀流道層流流動(dòng)時(shí)的優(yōu)化直徑比。Bejan及其合作者系統(tǒng)研究了樹(shù)狀流道在電子器件散熱、流動(dòng)分配器等多方面的應(yīng)用，其所提出的構(gòu)形理論激發(fā)了大量的有關(guān)樹(shù)狀流道在傳熱傳質(zhì)等領(lǐng)域的研究。Bejan和Errera[9]對(duì)多孔介質(zhì)的點(diǎn)-體傳質(zhì)問(wèn)題進(jìn)行了研究，優(yōu)化了多孔介質(zhì)中高滲透率材料(或間隙)的結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明優(yōu)化的樹(shù)狀結(jié)構(gòu)較之均勻結(jié)構(gòu)性能更佳。Chen等[10]采用達(dá)西流和哈根-泊肅葉流模型研究了面-點(diǎn)流動(dòng)過(guò)程，對(duì)一級(jí)分叉結(jié)構(gòu)給出了均勻流道和樹(shù)狀流道兩種設(shè)計(jì)何者占優(yōu)的判別條件。本文在前人流動(dòng)優(yōu)化的基礎(chǔ)上[9-10]，研究?jī)?nèi)嵌樹(shù)狀流道的薄片結(jié)構(gòu)的流-熱-力特性和非設(shè)計(jì)工況特性，為工程設(shè)計(jì)優(yōu)化提供參考。

1 幾何模型

1.1 設(shè)計(jì)工況

圖1給出了內(nèi)嵌流道的扇形薄片結(jié)構(gòu)示意圖，此圖以二維為例，如果是三維結(jié)構(gòu)，流道為圓管，其直徑最大不超過(guò)薄片厚度，薄片厚度則遠(yuǎn)小于扇形直徑。圖1(a)采用均勻流道(直徑數(shù)n=1)，流道數(shù)m=5只是舉例，其優(yōu)化值由設(shè)計(jì)決定；圖1(b)采用樹(shù)狀流道，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，本文僅討論只有一級(jí)分叉的情況(直徑數(shù)n=2)，此時(shí)樹(shù)狀流道相當(dāng)于Y形流道，樹(shù)數(shù)m=3也只是舉例，其優(yōu)化值也由設(shè)計(jì)決定。流道區(qū)以外的區(qū)域假設(shè)為多孔介質(zhì)區(qū)(即功能區(qū))。流體從扇形根部流入，在流道區(qū)(低阻區(qū))和多孔介質(zhì)區(qū)(高阻區(qū))內(nèi)流動(dòng)，最終在整個(gè)區(qū)域沿垂直于區(qū)域面積的方向(令其為法向)流出。在分析耐熱和承載能力時(shí)，沿法向有外加熱流輸入薄片，同時(shí)薄片承受外加的均勻載荷。

流道體積是流體輸送的投資成本，定義流道體積比φ為流道體積Vf與整個(gè)薄片體積V之比：

(1)

對(duì)于二維情況，流道體積比變?yōu)榱鞯烂娣e比，即流道面積Af與整個(gè)薄片表面積A之比：

圖1 內(nèi)嵌流道的扇形薄片結(jié)構(gòu)

(2)

對(duì)于樹(shù)狀結(jié)構(gòu)，當(dāng)n= 2時(shí)，定義流道直徑比β和長(zhǎng)度比γ分別為：

(3)

(4)

式(3)和式(4)中，d1和d2分別為樹(shù)狀上下游兩級(jí)流道的直徑，l1和l2分別為樹(shù)狀上下游兩級(jí)流道的長(zhǎng)度。

1.2 非設(shè)計(jì)條件

樹(shù)狀流道的一個(gè)主要缺陷是當(dāng)流道某處出現(xiàn)阻塞等非設(shè)計(jì)條件時(shí)，其下游的流體輸送將受到較大影響。圖2給出了各種可能的阻塞位置，其中圖2(a)和圖2(b)中阻塞發(fā)生于流道中，圖2(c)和圖2(d)阻塞發(fā)生于功能區(qū)。很顯然，發(fā)生流動(dòng)入口處的阻塞(即A1和B1)影響最大，本文僅以A1和B1為例。對(duì)于二維設(shè)計(jì)，取A1和B1充滿入口流道界面，其阻塞面積為1.92 mm2。

圖2 各種可能的阻塞位置

2 數(shù)值模型

2.1 流動(dòng)傳熱模型

假設(shè)流體(水)輸送過(guò)程包括流道區(qū)的穩(wěn)態(tài)層流和功能區(qū)的多孔介質(zhì)內(nèi)達(dá)西流。流道區(qū)流體的連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程分別為：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

功能區(qū)采用多孔介質(zhì)模型，其具體方程細(xì)節(jié)可見(jiàn)多孔介質(zhì)流動(dòng)傳熱相關(guān)文獻(xiàn)，如文獻(xiàn)[11]或數(shù)值模擬軟件手冊(cè)文獻(xiàn)[12]。流動(dòng)傳熱模型的邊界條件為：扇形區(qū)域根部入口流量為1.182 9 ×10-6kg·m/s，入口溫度為300 K，外緣出口壓力為0 Pa(表壓力)，上表面熱流密度為1 000 W/m2，底面和外緣絕熱。固體熱物性為密度700 kg/m3，比熱為2 310 J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)0.173 W/(m·K)。

以上流動(dòng)傳熱模型采用基于壓力-速度耦合算法的商用軟件ANSYS Fluent求解[12]，求解時(shí)連續(xù)方程和動(dòng)量方程的殘差取為10-4，能量方程的殘差取為10-6，相鄰網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果相差最大不超過(guò)1%，對(duì)于不同的算例網(wǎng)格單元數(shù)從幾百萬(wàn)到一千多萬(wàn)不等。為了評(píng)價(jià)流體輸送和耐熱性能，取最大壓降ΔPmax和最高溫度Tmax作為指標(biāo)，顯然，ΔPmax和Tmax越小，性能越好。

2.2 應(yīng)力應(yīng)變模型

為了分析流道設(shè)計(jì)對(duì)薄片結(jié)構(gòu)承載能力的影響，建立應(yīng)力應(yīng)變模型。假設(shè)薄片表面承受均勻靜態(tài)載荷，功能區(qū)近似為純固體結(jié)構(gòu)，變形為小量。詳細(xì)的應(yīng)力應(yīng)變模型方程可見(jiàn)材料力學(xué)文獻(xiàn)或數(shù)值模擬軟件手冊(cè)，如文獻(xiàn)[13]。應(yīng)力應(yīng)變模型的邊界條件為：流道入口處為固定點(diǎn)，薄片頂面壓力為10 Pa。除熱物性外的其它物性包括泊松比為0.33，楊氏模量為50，體積彈性模量為4.90×107Pa，剪切模量為1.87×107Pa。網(wǎng)格獨(dú)立性校核時(shí)，相鄰網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果相差最大不超過(guò)1%。

本文采用商用軟件ANSYS Workbench[13]的靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析功能計(jì)算應(yīng)力應(yīng)變，應(yīng)力計(jì)算結(jié)果采用von Mises應(yīng)力表示，即：

(10)

為了比較采用均勻流道和樹(shù)狀流道的兩種薄片的承載能力，采用最大應(yīng)力σmax和最大變形δmax作為指標(biāo)，顯然，σmax和δmax越小越好。

3 結(jié)果和討論

3.1 二維流動(dòng)優(yōu)化特性

表1給出了均勻流道(φ=5%，n=1)和樹(shù)狀流道(φ=5%，n=2，β=γ=0.5)的最大壓降。當(dāng)流道數(shù)m為3時(shí)，兩種流道的最大壓降均存在最小值，且樹(shù)狀流道的最大壓降最小值更低，這說(shuō)明樹(shù)狀流道流阻更小，在輸送同樣流量時(shí)耗功更小、更節(jié)能。二維流動(dòng)優(yōu)化簡(jiǎn)單易行，其結(jié)果(m=3)可近似用于三維結(jié)構(gòu)性能分析。

表1 均勻流道和樹(shù)狀流道最大壓降對(duì)比

3.2 三維傳熱特性

基于二維流道優(yōu)化結(jié)果(m=3，β=γ=0.5)，圖3給出了三維結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)條件下最大壓降和最高溫度(圖中ψ為功能區(qū)孔隙率)。由圖3可知，在給定條件下，樹(shù)狀流道最大壓降顯著低于均勻流道，樹(shù)狀流道的最高溫度低于均勻流道，說(shuō)明樹(shù)狀流道不僅具有更小的流阻，也同時(shí)具有更強(qiáng)的傳熱性能。事實(shí)上，在均勻流道下游區(qū)域的中間位置，流道的影響距離較遠(yuǎn)，而樹(shù)狀流道則可以在整個(gè)區(qū)域更好地分配流阻和熱阻，從而使得最大流阻和最高溫度下降。三維結(jié)構(gòu)中間厚度處截面溫度場(chǎng)見(jiàn)圖4，由圖4可見(jiàn)，二者分布特性差異較大，樹(shù)狀流道的高溫區(qū)(接近最高溫度的區(qū)域)較少。

薄片中出現(xiàn)阻塞時(shí)對(duì)流道和傳熱會(huì)產(chǎn)生影響，顯然阻塞發(fā)生于薄片根部流道時(shí)(例如A1，B1)影響最大。圖5為阻塞分別產(chǎn)生于A1和B1時(shí)三維結(jié)構(gòu)最大壓降和最高溫度。與圖3相比，對(duì)均勻流道和樹(shù)狀流道，阻塞均導(dǎo)致流阻顯著增大，對(duì)于均勻流道最高溫度變化輕微，對(duì)于樹(shù)狀流道，阻塞導(dǎo)致最高溫度有一定升高(即傳熱能力下降，不利于散熱)。

圖3 三維結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)條件下最大壓降和最高溫度

3.3 應(yīng)力應(yīng)變特性

表2給出了在優(yōu)化流道設(shè)計(jì)條件下的最大應(yīng)力σmax和最大應(yīng)變?chǔ)膍ax的計(jì)算結(jié)果，對(duì)于均勻流道(φ=5%，n=1，m=3)；對(duì)于樹(shù)狀流道(φ=5%，n=2，m=3，β=γ=0.5)。由表2可見(jiàn)，無(wú)論有無(wú)阻塞，樹(shù)狀流道結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力和最大變形均明顯低于相應(yīng)的均勻流道，這說(shuō)明樹(shù)狀流道具有更好的承載能力；在A1和B1有阻塞時(shí)，無(wú)論樹(shù)狀流道結(jié)構(gòu)還是均勻流道結(jié)構(gòu)，最大應(yīng)力和最大應(yīng)變均低于相應(yīng)的無(wú)阻塞工況，這是因?yàn)樽枞沟昧鞯揽臻g變?yōu)楣腆w，增強(qiáng)了薄片結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和承載能力。

圖4 三維結(jié)構(gòu)中間厚度處截面溫度場(chǎng)

圖5 阻塞分別產(chǎn)生于A1和B1時(shí)三維結(jié)構(gòu)最大壓降和最高溫度

表2 優(yōu)化流道設(shè)計(jì)條件下的最大應(yīng)力和最大應(yīng)變

4 結(jié)語(yǔ)

1)薄片結(jié)構(gòu)內(nèi)嵌流道用于流體輸運(yùn)和傳熱時(shí)，優(yōu)化的樹(shù)狀結(jié)構(gòu)比均勻結(jié)構(gòu)流阻更低、耗功更小，同時(shí)傳熱能力和承載能力也更強(qiáng)，即樹(shù)狀流道結(jié)構(gòu)在流-熱-力性能三方面均優(yōu)于均勻流道結(jié)構(gòu)。

2)當(dāng)薄片結(jié)構(gòu)出現(xiàn)根部阻塞時(shí)，與無(wú)阻塞工況相比，均勻結(jié)構(gòu)和樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的流阻均顯著增大，且阻塞對(duì)樹(shù)狀流道傳熱能力(最高溫度)的影響更大些，最大應(yīng)力和最大變形則均減小。