王 剛，李小華

（遼寧科技大學(xué) 電子信息與工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

隨著社會(huì)的發(fā)展和科技的進(jìn)步，機(jī)械臂已廣泛應(yīng)用于醫(yī)療、航空航天、農(nóng)業(yè)采摘、仿生機(jī)器人等領(lǐng)域［1-4］。在實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)械臂總會(huì)遇到各種擾動(dòng)，而且其動(dòng)力學(xué)模型不可避免地存在不確定性，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能變差，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，在控制器設(shè)計(jì)中，考慮擾動(dòng)和不確定性是十分必要的。

關(guān)于機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤控制問題，目前已有大量研究成果。按控制方法大致分為四種類型。第一類是基于PID的機(jī)械臂系統(tǒng)跟蹤控制［5-6］，其中包括一些智能PID的控制研究。如文獻(xiàn)［6］針對(duì)具有參數(shù)不確定的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)，提出一種模糊整定PID控制器，增加控制器的魯棒性和自適應(yīng)性。第二類是基于自適應(yīng)、魯棒控制方法的跟蹤控制研究，可顯著提高系統(tǒng)對(duì)不確定因素和外部干擾的適應(yīng)性［7-8］。第三類是基于韓京清提出的自抗擾控制（Active disturbance rejection control，ADRC）設(shè)計(jì)的控制器［9］，采用ADRC框架將系統(tǒng)的所有不確定性（包括內(nèi)部和外部）作為一個(gè)附加的狀態(tài)變量，利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Extended state observer，ESO）估計(jì)增廣狀態(tài)，并對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償，提高了系統(tǒng)的抗干擾性能［10-12］。第四類是基于backstepping技術(shù)的跟蹤控制研究，目前是研究的熱點(diǎn)。其中一類對(duì)系統(tǒng)中出現(xiàn)的參數(shù)不確定性采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行在線逼近，利用backstepping方法設(shè)計(jì)機(jī)械臂系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制器［13-14］；一類文獻(xiàn)針對(duì)具有外部擾動(dòng)的機(jī)械臂系統(tǒng)設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)性能控制器，只要被控量的初始值在預(yù)設(shè)性能函數(shù)范圍之內(nèi)，該控制器就能同時(shí)保證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能都達(dá)到預(yù)期效果［15-16］；另一類基于有限時(shí)間穩(wěn)定判據(jù)，針對(duì)具有外部擾動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)設(shè)計(jì)有限時(shí)間跟蹤控制器［17-18］，使系統(tǒng)的跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)或平衡點(diǎn)，且不受外部擾動(dòng)的影響。但是有限時(shí)間控制方法的停息時(shí)間受系統(tǒng)初始狀態(tài)的影響，如果初始狀態(tài)不佳，則難以達(dá)到預(yù)定的停息時(shí)間。因此，文獻(xiàn)［19］將預(yù)設(shè)性能控制和有限時(shí)間控制相結(jié)合，提出預(yù)設(shè)有限時(shí)間控制的新方法，通過使用一個(gè)預(yù)設(shè)有限時(shí)間性能函數(shù)對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行約束，使得系統(tǒng)的停息時(shí)間與初始狀態(tài)無關(guān)。這類方法在控制器設(shè)計(jì)中具有更大的優(yōu)越性。

本文針對(duì)一類具有外部干擾和不確定性的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)，結(jié)合預(yù)設(shè)有限時(shí)間控制方法和自抗擾控制方法，提出一種自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間跟蹤控制的新方法，與已有的預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間控制方法相比，它可在系統(tǒng)存在外部干擾和不確定因素時(shí)準(zhǔn)確保證系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能符合預(yù)定要求，同時(shí)更好地提高系統(tǒng)的抗干擾性。

1 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型及控制目標(biāo)

柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂如圖1所示。電機(jī)的轉(zhuǎn)子直接耦合到其驅(qū)動(dòng)的連桿上，再通過一個(gè)彈性聯(lián)軸器連接機(jī)械臂部分。這個(gè)彈性聯(lián)軸器可視為柔性關(guān)節(jié)。根據(jù)文獻(xiàn)［20］的假設(shè)，可以將柔性關(guān)節(jié)簡化成一個(gè)線性彈簧。

圖1 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型Fig.1 Model of flexible joint manipulator

已知M為機(jī)械臂質(zhì)量，g為重力加速度，L是機(jī)械臂質(zhì)心到末端距離，q是機(jī)械臂角位置，θ是電動(dòng)機(jī)軸角位置，K為彈性系數(shù)，u為控制力矩，I和J分別為連桿和電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為［21］

式中：d1和d2為有界干擾信號(hào)；Δ1和Δ2為模型不確定部分，表示為

這里ΔI，ΔJ，ΔK和ΔM分別為變量I，J，K和M的不確定部分。定義系統(tǒng)狀態(tài)變量x1=q，，則式（1）可改寫為

其中

本文的控制目標(biāo)：針對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)（3），用backstepping方法設(shè)計(jì)自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間跟蹤控制器，使得系統(tǒng)：（1）保證跟蹤誤差e1=y-yd在任意給定的有限時(shí)間內(nèi)按預(yù)設(shè)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)；（2）閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號(hào)是有界的；（3）在受到外部干擾和模型不確定情況下，實(shí)現(xiàn)該機(jī)械臂系統(tǒng)輸出的準(zhǔn)確跟蹤。

為實(shí)現(xiàn)這個(gè)控制目標(biāo)，給出如下假設(shè)、引理和定義。

假設(shè)1F1(x1)，F(xiàn)2(x1，x3)為連續(xù)未知函數(shù)，其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界。

假設(shè)2 期望軌跡yd及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界。

假設(shè)3 所有系統(tǒng)狀態(tài)xi(i=1，2，3，4)都可測量。

引理1［22］對(duì)于系統(tǒng)（3），如果存在一個(gè)正定、徑向無界、連續(xù)可微的Lyapunov函數(shù)V：Rn→R，以及常數(shù)a0＞0，b0≥0，使得下式成立則系統(tǒng)存在唯一解，且系統(tǒng)所有信號(hào)是一致最終有界的。

為了得到本文結(jié)果，先定義一個(gè)預(yù)設(shè)有限時(shí)間性能函數(shù)。

定義1［19，23］如果光滑函數(shù)ρ(t)滿足如下四個(gè)性質(zhì)（4）在t≥Tf時(shí)間后ρ(t)=ρTf，則稱這個(gè)函數(shù)為預(yù)設(shè)有限時(shí)間性能函數(shù)。

本文選擇預(yù)設(shè)有限時(shí)間性能函數(shù)為［23］

其中ρ0＞0、ρTf＞0和Tf＞0是設(shè)計(jì)參數(shù)。從式（5）可以看出，ρ(t)滿足定義1的所有條件，且已在文獻(xiàn)［23］中被證明是光滑的。為方便后面推導(dǎo)，將ρ(t)簡寫為ρ。

2 控制器設(shè)計(jì)

采用backstepping方法給出柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)（3）的自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間跟蹤控制器設(shè)計(jì)過程。

首先進(jìn)行坐標(biāo)變換

其中，α1，α2，α3是需要設(shè)計(jì)的虛擬控制律，并取

第1步 針對(duì)第一個(gè)子系統(tǒng)，選Lyapunov函數(shù)為

對(duì)其求導(dǎo)可得

令

則

取

其中，c1＞0為設(shè)計(jì)參數(shù)。將式（12）帶入式（11），可得

第2步 針對(duì)第二個(gè)子系統(tǒng)，選Lyapunov函數(shù)為

對(duì)式（14）求導(dǎo)，可得

為了避免虛擬控制反復(fù)求導(dǎo)帶來的計(jì)算復(fù)雜性，引入跟蹤微分器（Tacking differentiator，TD）對(duì)虛擬控制α1的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì)［24］。跟蹤微分器TD1

式中：v11和v12是TD1的狀態(tài)變量；λ＞0和0＜δ＜1是設(shè)計(jì)參數(shù)，通過選擇合適的值，可以使v11和v12分別跟蹤信號(hào)α1和它的微分信號(hào)α˙1。

定義跟蹤微分器（16）的估計(jì)誤差

對(duì)未知函數(shù)F1(x1)，本文使用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Extended state observer，ESO）來估計(jì)［24］，這里給出擴(kuò)張狀態(tài)觀測器建立方法。對(duì)于第二個(gè)子系統(tǒng)

其中，ω(t)是未知函數(shù)F1(x1)的導(dǎo)數(shù)，也是未知的。參照文獻(xiàn)［24］建立擴(kuò)張狀態(tài)觀測器ESO1

式中：Z11和Z12是ESO1的狀態(tài)；E1是ESO1的Z11對(duì)x2的估計(jì)誤差；狀態(tài)Z12是對(duì)x22的估計(jì)；β11＞0和β12＞0是擴(kuò)張狀態(tài)觀測器增益。

選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)β11和β12，可以使觀測器很好地估計(jì)系統(tǒng)（19）的狀態(tài)x2及被擴(kuò)張的狀態(tài)x22。定義ESO1擴(kuò)張狀態(tài)的估計(jì)誤差

將式（17）和式（21）帶入式（15），可得

取第2步的虛擬控制為

將式（23）帶入式（22），使用Young’s不等式縮放，可得

其中，c2＞1為設(shè)計(jì)參數(shù)。

第3步 針對(duì)第三個(gè)子系統(tǒng)，選Lyapunov函數(shù)為

對(duì)式（25）求導(dǎo)可得

2.2 應(yīng)對(duì)方式 干預(yù)前，兩組CSQ量表積極應(yīng)對(duì)及消極應(yīng)對(duì)評(píng)分比較，差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P>0.05)；分娩前6 h及分娩后1周，觀察組積極應(yīng)對(duì)評(píng)分均高于對(duì)照組，消極應(yīng)對(duì)評(píng)分低于對(duì)照組，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P<0.05)。見表2。

對(duì)虛擬控制α2的導(dǎo)數(shù)使用TD2進(jìn)行估計(jì)。設(shè)計(jì)TD2為

定義TD2的估計(jì)誤差

將式（28）帶入式（26），可得

取第3步的虛擬控制

將式（30）代入式（29），利用Young’s不等式可得

第4步 針對(duì)第四個(gè)子系統(tǒng)，選Lyapunov函數(shù)為

對(duì)其求導(dǎo)，可得

引入跟蹤微分器TD3對(duì)虛擬控制的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)TD3如下

定義TD3的估計(jì)誤差

對(duì)未知函數(shù)F2(x1，x3)，利用ESO2進(jìn)行估計(jì)

定義ESO2擴(kuò)張狀態(tài)的估計(jì)誤差

將式（31）、式（35）和式（37）帶入式（33），可得

取第4步的控制律為

將u帶入式（38），使用Young’s不等式縮放，可得

其中，c4＞1是設(shè)計(jì)參數(shù)。

至此，可以給出本文的結(jié)果如下。

定理1對(duì)于滿足假設(shè)1～3的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)，若有系統(tǒng)跟蹤誤差的初值根據(jù)虛擬控制律（12）、（23）和（30）以及控制律（39），則閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差可以在任意給定的有限時(shí)間內(nèi)按預(yù)設(shè)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)，且系統(tǒng)中的所有變量都是有界的，從而能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出的準(zhǔn)確跟蹤。

證明（1）穩(wěn)定性的證明。

系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為V=V4，有V≥0。在虛擬控制律（12）、（23）、（30）和控制律（39）的共同作用下有式（40）。因?yàn)門Di和ESOj的逼近誤差ηi(i=1，2，3)和εj(j=1，2)有界，所以知

有界，取a0=min{2c1，2(c2-1)，2(c3-1)，2(c4-1)}，則式（40）可寫為V˙≤-a0V+b0。根據(jù)引理1可知，閉環(huán)系統(tǒng)中所有變量是有界的。

（2）證明跟蹤誤差能在任意給定的停息時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)的任意給定的小鄰域內(nèi)。

如果取ρTf足夠小，即可實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂系統(tǒng)輸出的準(zhǔn)確跟蹤。證畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，對(duì)此類單關(guān)節(jié)柔性機(jī)械臂控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)?？紤]模型（1）參數(shù)為［25］：M=2.3 kg，L=1 m，I=2.3 kg·m2，J=0.5 kg·m2，K=15 N·m/rad，g=9.8 m/s2。模型不確定部分

其中，外部擾動(dòng)d1=sint，d2=cost，參考輸入yd=0.5(sin 0.5t+sint+sin 2t)。各狀態(tài)變量的初始值為：x1(0)=0.15，x2(0)=0.6，x3(0)=0.7，x4(0)=0.5。性能函數(shù)參數(shù)選取ρ0=0.8，Tf=2，ρTf=0.03?？刂茀?shù)選取c1=5，c2=17，c3=180，c4=180。TD1、TD2和TD3參數(shù)λ=9，δ=0.5。ESO1和ESO2參數(shù)選取β11=100，β12=300，β21=100，β22=350。

由定理1計(jì)算出系統(tǒng)的自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間跟蹤控制器，對(duì)系統(tǒng)（3）進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，所得結(jié)果如圖2～圖9所示。

圖2是機(jī)械臂輸出的位移跟蹤結(jié)果，設(shè)計(jì)的控制器能夠保證機(jī)械臂系統(tǒng)的輸出在給定的2 s時(shí)間內(nèi)跟蹤上期望軌跡，并有很好的跟蹤效果。

圖2 輸出跟蹤曲線Fig.2 Output tracking curve

圖3是跟蹤誤差曲線，跟蹤誤差能夠被預(yù)設(shè)性能函數(shù)約束，并在指定2 s的時(shí)間內(nèi)減小到事先設(shè)定范圍（-0.03，0.03）內(nèi)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能得到保證。

圖3 跟蹤誤差曲線Fig.3 Tracking error curve

圖4是系統(tǒng)的控制輸入信號(hào)。由于初始時(shí)誤差較大，故初始輸入較大，但隨著誤差的迅速減小，控制輸入也迅速減小。

圖4 系統(tǒng)控制輸入uFig.4 System control input u

圖5和圖6分別是兩個(gè)擴(kuò)張觀測器的估計(jì)效果；兩條曲線重合度較高，即擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的輸出很好地估計(jì)了F1(x1)和F2(x1，x3)，符合設(shè)計(jì)需要。

圖5 ESO1觀測效果Fig.5 Observation effect of ESO1

圖6 ESO2觀測效果Fig.6 Observation effect of ESO2

圖7～圖9分別為跟蹤微分器TD1、TD2和TD3的跟蹤效果。兩條曲線變化趨勢相同，即跟蹤微分器很好地估計(jì)系統(tǒng)的虛擬控制律，達(dá)到設(shè)計(jì)效果。

圖7 TD1的跟蹤效果Fig.7 Tracking effect of TD1

圖8 TD2的跟蹤效果Fig.8 Tracking effect of TD2

從這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文所提出的方法在系統(tǒng)存在外部干擾及模型不確定性的情況下，仍然能夠具有很好的跟蹤效果，體現(xiàn)了本文方法在抗干擾方面的優(yōu)越性。

圖9 TD3的跟蹤效果Fig.9 Tracking effect of TD3

將本文方法與文獻(xiàn)［24］中的自抗擾控制方法進(jìn)行對(duì)比，取相同的控制參數(shù)，即c1=1，c2=15，c3=c4=180，ESO和TD的參數(shù)都相同，本文方法的預(yù)設(shè)性能參數(shù)同前，兩種方法的跟蹤誤差變化曲線仿真結(jié)果如圖10所示。本文方法在2 s時(shí)間內(nèi)跟蹤誤差就進(jìn)入到預(yù)先設(shè)定的范圍（-0.03，0.03）內(nèi)，而文獻(xiàn)［24］的方法在2 s之后誤差依然在波動(dòng)，導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出跟蹤精度較差，相對(duì)穩(wěn)定性較差。因此，從跟蹤效果可以看出，本文提出的方法更有優(yōu)越性。

圖10 本文方法與文獻(xiàn)［24］方法的對(duì)比Fig.10 Comparison between the methods in this paper and in literature［24］

4 結(jié)論

本文提出一種柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的自抗擾預(yù)設(shè)定有限時(shí)間跟蹤控制的新方法，同時(shí)考慮系統(tǒng)的外部干擾、模型不確定性及未知非線性函數(shù)，將其等效為總擾動(dòng)，利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計(jì)這個(gè)總擾動(dòng)，并對(duì)其實(shí)時(shí)補(bǔ)償。該方法借助于一個(gè)有限時(shí)間性能函數(shù)，使系統(tǒng)輸出能夠在一個(gè)預(yù)先給定的停息時(shí)間內(nèi)跟蹤上參考信號(hào)，且保證跟蹤誤差按預(yù)設(shè)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)。因采用自抗擾技術(shù)，該方法具有很好的抗干擾性。停息時(shí)間是一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，因而與系統(tǒng)初始條件無關(guān)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的控制方法的有效性和抗干擾方面的優(yōu)越性。