覃海藝，馬 寧

（上海交通大學塑性成形技術與裝備研究院，上海200030）

1 引言

車輪作為汽車一個重要安全部件，在使用之前需通過多種安全性能測試試驗，其中，彎曲疲勞試驗是用于檢測車輪安全性能的主要測試標準之一[1-2]。隨著有限元技術與計算機計算能力的發(fā)展，人們開始用有限元分析技術替代試驗，大大縮短和節(jié)約產品設計周期和成本。就車輪彎曲疲勞試驗而言，已有多位學者采用有限元技術來模擬實際產品試驗過程[3-5]，但縱觀這些論文的研究方法和過程，發(fā)現(xiàn)人們對有限元分析過程的關鍵步驟介紹甚少，甚至有些學者對影響計算精度的重要環(huán)節(jié)認識不足，對影響分析結果的重要參數(shù)把控不嚴，分析得到的結果準確性值得再考證。

將以某幅板式鋼制薄壁車輪為研究對象，詳細描述用有限元分析方法來模擬車輪彎曲疲勞壽命的方法與步驟，著重講述影響計算精度的因素和注意事項，為此類車輪的彎曲疲勞試驗提供一套完整可靠的有限元分析方法指南。

2 車輪彎曲疲勞試驗方法

參照GB/T 5909-2014 商用車輛車輪性能要求和試驗方法，車輪彎曲疲勞試驗方法，如圖1 所示。

將輪輞內側圓面固定于試驗臺上，在輪輻安裝點用螺栓連接一根長度固定的剛性力臂，在力臂自由端施加一個外力F，力的大小依法規(guī)要求而定，力與力臂的軸線垂直并繞軸線轉動，力每旋轉一周，記車輪疲勞壽命1 次，直至車輪發(fā)生破壞，力所轉動的圈數(shù)，即為車輪的疲勞壽命次數(shù)。

圖1 車輪彎曲疲勞試驗方法Fig.1 Wheels Bending Fatigue Test

3 有限元分析步驟

3.1 有限元網(wǎng)格模型建立

本算例的分析對象為一幅板式鋼制車輪，車輪最小直徑為340mm，輪輻厚度3.4mm，輪輞厚度2.4mm，是典型的薄壁構件。參照文獻[6]的研究成果，認為網(wǎng)格類型、單元尺寸、厚度方向的單元層數(shù)、單元積分形式等參數(shù)都是影響薄壁車輪計算精度的主要因素之一。當采用全積分六面體單元，單元長高比接近1：1 時，厚度方向只需兩層單元就可以得到較好的應力計算精度。單元長高比越大，全積分單元剪切鎖死問題越明顯，計算精度越差。雖然減縮積分單元可以得到較準確的位移計算結果，但由于減縮積分單元積分點個數(shù)較少，其應力分析結果誤差比較大，厚度方向單元個數(shù)需5 層以上才能得到較合理的應力分析結果。但厚度方向單元層數(shù)過多會導致單元過于細長，對應力計算精度有影響。而要同時保證厚度方向單元個數(shù)足夠多及單元尺寸不細長，就只能加密結構表面單元數(shù)量，這樣又會導致單元總數(shù)過多，計算時間過長，甚至電腦無法計算。減縮積分單元還有個最大的缺陷就是對臨近塑性變形區(qū)域的位移和應力分析精度都比較差，因此認為減縮積分單元不適合薄壁彎曲結構件的應力分析。本算例的鋼制車輪選用全積分六面體單元較為理想，但必須嚴格控制單元長高比不能過大。

綜合以上討論，分析采用六面體全積分單元對車輪進行有限元網(wǎng)格劃分?？紤]到應力是后期疲勞分析的主要輸入?yún)?shù)，經權衡計算時間和應力計算精度，除了螺栓孔附近，對車輪其它位置的厚度方向只設2 層單元，同時控制輪輻平均單元長高比在1.2 以內，輪輞平均單元長高比在1.5 以內，整個車輪共8.7 萬個單元，13.2 萬個節(jié)點，如圖2 所示。

圖2 有限元網(wǎng)格模型Fig.2 Finite Element Model

3.2 材料參數(shù)確定

通過拉伸試驗得到的是材料“工程應力-應變”曲線，它反映的是外力與結構初始截面積的比值，是一種名義應力。而有限元分析是變形逐步積累后的應力結果，它反映的是外力與結構變形時刻實際截面積的比值，是結構真實應力的表現(xiàn)，因此在進行有限元分析之前應把材料“工程應力-應變”曲線轉化為“真應力-應變”曲線，轉化公式如下[7]：

式中：σ 和ε—工程斷裂應力和應變；σT和εT—真實斷裂應力和應變。

3.3 邊界條件施加

邊界條件包括外力、接觸關系和固定約束等，根據(jù)試驗要求，如圖1 所示。對輪輞內側圓面施加固定約束，焊縫位置設為共節(jié)點，有接觸關系的區(qū)域設置為接觸邊界條件，如輪輻與輪輞、螺栓與車輪、車輪與剛性力臂等之間都需設置接觸關系。由于力F的大小不變，力的方向近似在平面內呈圓周旋轉變化，為了在有限元分析中完成這種變方向的外力加載，可在旋轉平面（xy 平面）內構造兩個隨旋轉角度θ 變化的力函數(shù)f（x）和f（y）：

其中，0≤θ≤2π。

3.4 螺栓預緊力施加

螺栓預緊力大小對車輪應力分布，尤其是對螺栓孔周圍的應力分布有較大的影響，有限元分析中應充分考慮螺栓預緊力的作用，常見的螺栓預緊力施加方法有[8-9]：

（1）初始穿透法。預先給螺栓與車輪一定的接觸穿透量，分析中通過接觸反力來實現(xiàn)螺栓的預緊。

（2）降溫收縮法。給螺栓設置溫降條件，使螺栓在溫度變化過程中發(fā)生收縮，從而產生預緊效果。

（3）斷面加力法。把螺栓截面進行打斷，在兩個斷截面直接施加大小相等，方向相反的螺栓預緊力。

其中，法（1）和（2）是預加位移法，法（3）是預加力法。在螺栓預緊過程中，不但車輪發(fā)生了變形，螺栓本身也發(fā)生了變形，車輪與螺栓之間的相對變形在有限元分析之前是很難估算出來的，因此當采用法（1）和法（2）時，需反復試算和調整螺栓初始位置，直至螺栓所產生的預緊力大小接近實際預緊力。法（3）雖然可直接施加預緊力進行分析，但在車輪實際變形過程中，螺栓所受拉力是變化的，即螺栓內力并不總是等于預緊力大小，因此當螺栓受力變化較大時，法（3）產生的誤差也會較大。本算例采用法（1）進行螺栓預緊，根據(jù)螺栓直徑建立近似同等大小的螺栓有限元模型，參照實際預緊力大小，通過多次計算，反復調整螺栓與車輪的初始相對位置，使螺栓初始拉力近似等于實際預緊力大小。

3.5 加載時間步設置

疲勞分析需要考察外力旋轉一周車輪的應力變化情況，實際分析過程中，是用有限個加載時間步近似描述外力整個旋轉周期。車輪形狀和對稱特性不同，一周內的加載時間步個數(shù)也不一樣。如圖2 車輪，共12 個風孔、4 個螺栓孔和4 個突起加強包。螺栓孔和加強包近似在同一圓周上，相當于在這一個圓周上循環(huán)出現(xiàn)了3 個特征：螺栓孔、有加強包區(qū)域和無加強包區(qū)域（8 個）。為了更好的獲得這3 個特征的最大應力值，在外力旋轉一周的時間內，加載時間步應為“8+4+4=16”的倍數(shù)個。同理，為了更好的獲得風孔和風孔間的最大應力值，加載時間步應為24 的倍數(shù)個。綜合以上，最少加載時間步數(shù)應為16 與24 的公倍數(shù)個，即車輪旋轉一周至少要輸出48 個時間點的應力值。

3.6 提交計算

不同求解器生成計算文件的方法不同，提交計算文件的方式也有不同。完成了有限元網(wǎng)格劃分、單元屬性分配、材料參數(shù)設定、邊界條件施加、加載時間步設置等一系列主要步驟后，就可生成計算文件并提交計算。

4 應力分析結果合理性判斷

由于車輪結構對稱，外力循環(huán)對稱，因此應力分析結果合理與否，可從以下幾點進行判斷：

（1）結構對稱點的應力應具有循環(huán)對稱性，最大應力值按結構的對稱性循環(huán)出現(xiàn)。結構上4 個對稱點的“應力-時間”變化曲線，可見4 個點的應力曲線形態(tài)相同，峰值在時間軸上交替循環(huán)出現(xiàn)，說明應力分布較合理，如圖3 所示。在車輪旋轉一周內，如果車輪上某點的應力值隨時間沒有明顯的正弦或余弦曲線變化，則說明車輪在旋轉過程中產生了顫動，這通常是由于計算模型設置不合理造成的，包括網(wǎng)格尺寸不對稱、局部網(wǎng)格質量較差、螺栓預緊力不均、固定約束不對稱等問題。

圖3 對稱點應力曲線形態(tài)相同F(xiàn)ig.3 Stress Curves Have the Same Shape on Symmetrical Points

（2）力F 作用點的位移大小應近似為一定值，否則說明車輪在旋轉過程是跳動的，是不符合車輪實際運動狀態(tài)的。如圖4 所示，隨時間t 的變化，力作用點位移近似呈一水平線，但當把曲線放大，發(fā)現(xiàn)其又略呈正弦曲線變化，這種微小的波動也正反映了車輪非完全軸對稱的特性。

圖4 力F 作用點的位移變化Fig.4 Displacement of Force Point

（3）由于S-N 曲線具有對數(shù)線性關系[8]，即S 與N 具有一一對應關系，因此當采用任意一組材料的S-N曲線來進行疲勞壽命計算時，最小壽命位置和實測破壞點應是一致的，雖然此時疲勞壽命值與實測結果有可能不同。采用某近似材料S-N曲線對車輪進行疲勞分析后得到的最小壽命位置（螺栓孔附近，圓圈所示）和實測破壞點結果對比，可見，兩者出現(xiàn)的位置基本一致，說明計算得到的應力結果和試驗應力結果較為一致，如圖5 所示。

圖5 有限元最小壽命位置與實測破壞點一致Fig.5 Crackle Points are the Same

5 疲勞分析過程

5.1 S-N 曲線的數(shù)學表達式

S-N 曲線是結構應力水平（S）與失效壽命（N）之間的關系式，一般認為當N 在（104～106）次范圍時，S 與N 的關系式可用冪函數(shù)近似表示為[10-11]：

或用雙對數(shù)曲線表示為：

式中：m 與C—與材料有關的參數(shù)，其中A=lg（C）/m，B=-1/m。

由表達式（4）可知，lg（S）與lg（N）呈線性關系，如圖6 所示。當已知坐標值（lg（N1），lg（S1））及（lg（N2），lg（S2）），就可計算出A和B 的值，從而可近似確定S-N 曲線的表達式。

圖6 S-N 曲線Fig.6 S-N Curve

5.2 試驗過程與結果

試驗過程車輪的安裝狀態(tài)，通過緊固件作用使輪輞內側圓面緊貼于剛性試驗臺上，剛性彎矩力臂倒插于試驗臺中部鏤空位置，車輪與彎矩力臂采用螺栓進行連接（螺母扭矩為100N·m），試驗臺下部安裝電機（轉速為400r/min），用于驅動力臂產生旋轉彎曲力，整個試驗過程監(jiān)控和數(shù)據(jù)采樣由專門的試驗機控制系統(tǒng)自動完成，如圖7 所示。

圖7 車輪試驗Fig.7 Wheel Test

根據(jù)產品抽樣試驗要求，需分別用兩個彎曲力F1和F2（其中，F(xiàn)1=1369N，F(xiàn)2=2054N）對車輪進行彎曲疲勞試驗，每個彎曲力進行6 組，共12 組試驗結果，如表1 所示。

表1 車輪彎曲疲勞壽命次數(shù)Tab.1 Bending Fatigue Life of Wheels

由表1 可知，彎曲力相同，疲勞壽命卻有較大的不同，說明試驗結果具有分散性。事實上，影響疲勞壽命的因素很多，這種分散性在疲勞試驗中是普遍存在的，因此產品同一批次的疲勞壽命不會是同一定值，而是落在某一帶寬范圍內的區(qū)間值。經觀察表1 數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，雖然實測數(shù)據(jù)點有一定的波動性，但測試結果基本遵循了“彎曲力越大壽命越小”的規(guī)律，說明試驗結果具有一定的穩(wěn)定性和可靠性。在此，可取彎曲力相同的試驗壽命平均值N1和N2近似作為結構分別對應于外力F1和F2的壽命值，即在力F1及在F2的作用下，車輪的平均壽命分別為384453 次和162292 次。

通常材料S-N 曲線試驗比較耗時耗力，目前能獲得的（商業(yè)疲勞軟件材料庫）為數(shù)不多的材料S-N 曲線，大多都是軟件開發(fā)商收集或通過原材料標準樣件測試而得。輻板式鋼制車輪是經過金屬板料塑性加工而成，實際產品材料力學性能相對原材料有較大的不同，車輪疲勞試驗加載方式、結構尺寸與標準材料樣件測試方法也不同，因此要獲得車輪實際的材料S-N 曲線是比較困難的，如何獲得車輪潛在的S-N 曲線是準確預測車輪壽命的關鍵。

5.3 S-N 曲線近似預測

S-N 曲線中的S 指的是應力幅值，有限元分析結果輸出的通常是某點的應力值，而不是應力幅值?；谟邢拊治鼋Y果，借助疲勞分析軟件，選定某個強度極限與車輪材料相近的金屬材料S-N 曲線，如表達式（5），就可算出結構上某點對應于該材料的壽命值N，再把N 代入表達式（5），就可反算出該點的應力幅值S。

lg（S）=3.6507-0.2lg（N） （5）

現(xiàn)參照表1 的試驗結果，對同一款車輪分別做了F1及F2兩種外力作用下的有限元應力分析，并采用式（5）的S-N 曲線表達式，在MSC.Fatigue 疲勞分析系統(tǒng)中進行疲勞壽命分析。由分析結果可得在F1及F2作用下結構的最小壽命分別為105.36次和105.18次，由此得到方程組：

從而求得lg（S1）=2.5788，lg（S2）=2.6146，即F1及F2作用下結構最小壽命點的應力幅值分別為102.5788=379.2MPa 和102.6146=411.7MPa?，F(xiàn)把表1 的數(shù)據(jù)N1、N2，及以上求得的lg（S1）、lg（S2）分別代入式（4），可得方程組：

圖8 S-N 曲線預測效果驗證Fig.8 Verification of Prediction Effect of S-N Curve

進一步求得A=3.1122，B=-0.0955，由此可得車輪材料S-N曲線近似表達式為：現(xiàn)用表達式（8）去預測某款材料牌號相同、結構相近的車輪疲勞壽命，與試驗結果對比，如圖8 所示。可知有限元分析得最小壽命在輪輻頂上，和實測破壞點位置一致。此時有限元分析得到車輪壽命為14.1 萬次，實測車輪平均壽命為12.6 萬次，有限元壽命分析結果落在車輪實測數(shù)據(jù)區(qū)間內（9.5～17.3 萬次），認為有限元壽命預測結果具有一定的可靠性。

6 結論

詳細介紹了用有限元法模擬薄壁鋼制車輪彎曲疲勞試驗的方法和過程，得到以下結論：

（1）由于為薄壁結構，不宜采用減縮積分單元，可采用全積分六面體單元，單元長高比不宜太大，最好控制在1.5：1 以內，且結構厚度方向單元個數(shù)不能低于兩層。

（2）應采用材料“真應力-應變”曲線進行計算。

（3）應考慮螺栓預緊力的作用，常見的螺栓預緊力施加方法有初始穿透法、降溫收縮法和斷面加力法等。

（4）為了更好的獲得車輪應力分布，計算加載時間步個數(shù)應根據(jù)車輪螺栓孔、風孔、加強筋等特征的分布狀態(tài)來設定。

（5）可對應力分析結果合理與否進行判斷：結構對稱點的應力應是循環(huán)對稱出現(xiàn)；加載點位移應近似為一定值；如有試驗結果，采用任一條S-N 曲線進行疲勞分析得到的最低壽命點位置應和試驗結果一致。

（6）以車輪疲勞試驗結果為參照，結合S-N 曲線數(shù)學表達式，可近似預測車輪潛在的材料S-N 曲線，基于此S-N 曲線去進行疲勞分析，可獲得較合理的壽命結果。