楊天才

(重慶市第三十七中學校 400084)

基金項目：本文系重慶市教育科學“十三五” 規(guī)劃2016年度青少年創(chuàng)新人才培養(yǎng)《普通高中培養(yǎng)青少年創(chuàng)新人才校本課程開發(fā)研究》專項課題階段性成果(課題編號：2016-CX-14)]

萬有引力是在1687年由牛頓發(fā)現(xiàn)的，庫侖力是法國物理學家查爾斯·庫侖在1785年發(fā)現(xiàn)的，它們都滿足與距離的平方成反比，即平方反比律，由他們在球體(殼)周圍產(chǎn)生的引力場強度和電場強度非常相似，在球殼內(nèi)部為零，在球體內(nèi)部強度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.具體見下表：

引力場強度電場強度定義式g=GMr2E=kQr2球體空腔內(nèi)部特點勻質(zhì)球體在空腔內(nèi)任意一點位置形成的合引力場強度為零均勻帶電球殼在其內(nèi)部任意一點位置形成的合場強為零(法拉第圓筒實驗)勻質(zhì)(或均勻)實心球體內(nèi)部的強度公式(rR)g=GMr2E=kQr2勻質(zhì)(或均勻)實心球體在空間產(chǎn)生的強度隨離球心的距離的函數(shù)圖像圖1圖2球殼在空間產(chǎn)生的強度隨離球心的距離的函數(shù)圖像圖3圖4

一、部分結(jié)論推導和應用

結(jié)論一在勻質(zhì)球體的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到的萬有引力的合力為零.

圖5

結(jié)論二均質(zhì)實心星球內(nèi)部某點的引力場強度與該點到星球球心的距離r成正比.

結(jié)論三均勻?qū)嵭膸щ娗蝮w內(nèi)部某點的電場強度與該點到球心的距離r成正比.

例1 (2012年高考全國卷)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，一礦井深度為d.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為( ).

點評題目給出了“均勻球殼對內(nèi)部質(zhì)點的萬有引力合力為零”，但大多數(shù)同學沒理解這句信息而導致本題錯誤率較高.其實礦井底部重力加速度可等效半徑為R-d的小“地球”表面的重力加速度，這樣就大大簡化了問題.

例2 假設(shè)地球是一半徑為R質(zhì)量分布均勻的球體.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，距離地球球心為r處的重力加速度大小可能為如圖6圖像中的哪一個( ).

圖6

點評本題再一次考查對“均勻球殼對內(nèi)部質(zhì)點的萬有引力合力為零”的理解，雖然不要求推導這個結(jié)論的由來，但要學生直接利用這個結(jié)論來解題.

圖7

例3 如圖7所示是某農(nóng)家院內(nèi)打出一口深度為d的水井，如果質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，地球可以看作是質(zhì)量分布均勻的球體，地球半徑為R，則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為( ).

點評本題考查天上某點和地球里某點的重力加速度之比，因它們滿足不同的規(guī)律，或者說定義域不同，分段函數(shù)的函數(shù)關(guān)系就不同，這是要注意的.

圖8

A．M、N點的電勢小于O點的電勢

B．M、N點的電場強度方向相同

點評均勻帶電球體可以理解為體電荷密度不變，即體電荷密度是每單位體積的電荷量，球體所帶電量之比為半徑之比的三次方，從而求球體表面的場強.

圖9

例5 均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場.如圖9所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM=ON=2R，已知M點的場強大小為E，則N點的場強大小為( ).

點評本題是信息題，信息題的特點是起點高、落點低，理解“均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場”，即將面電荷等效為點電荷，然后用割補法構(gòu)建一個球殼模型與題目建立聯(lián)系順利求解.

圖10

例6 (2013年高考上海卷)半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產(chǎn)生球?qū)ΨQ的電場；場強大小沿半徑分布如圖10所示，圖中E0已知，E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積.求：

(1)寫出E-r曲線下面積的單位；

(3)求球心與球表面間的電勢差ΔU；

(4)質(zhì)量為m，電荷量為q的負電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運動到2R處.

解析(1)根據(jù)關(guān)系式U=Ed可知，E-r曲線下面積表示電勢差，其單位是V(伏特).

點評本題考查E-r圖像的意義，帶電球體周圍電場的規(guī)律，以及電場力做功等問題.根據(jù)圖像與橫軸所圍的面積在數(shù)值上表示兩點間電勢差，均勻帶電球體周圍的場強可以理解為在球內(nèi)部均勻增加，外部逐漸減小.

從以上分析可以看出，萬有引力和庫侖力都是平方反比定律，由他們在球體(殼)周圍產(chǎn)生的引力場強度和電場強度非常相似，都在球殼內(nèi)部為零，在球體內(nèi)部強度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.