呂 嫣, 崔 崧, 李慧玲

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

靜電場(chǎng)是一種特殊形態(tài)的物質(zhì),它與實(shí)物物質(zhì)的區(qū)別在于看不見(jiàn)也摸不著。為了確定靜電場(chǎng)的分布,引入電場(chǎng)強(qiáng)度這個(gè)物理量,所以求解靜電場(chǎng)就是給出空間電場(chǎng)強(qiáng)度的分布[1-7]。求解靜電場(chǎng)是“電磁學(xué)”和“電動(dòng)力學(xué)”2門(mén)課程所研究的重要問(wèn)題[8-9]。在電磁學(xué)里,通常是用高斯定理來(lái)求解具有對(duì)稱性的電場(chǎng)分布,而分離變量法[10-13]是電動(dòng)力學(xué)中常用的求解靜電場(chǎng)方法。除此以外,電場(chǎng)強(qiáng)度定義法、電場(chǎng)疊加法、等效法、電勢(shì)疊加法,基于唯一性定理的試探法、鏡像法、格林函數(shù)法等都可以用來(lái)求解不同情況的靜電場(chǎng)。初學(xué)者往往分不清這些方法的適用條件,對(duì)于給定問(wèn)題不能正確合理地選擇相應(yīng)的方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算,也不熟悉各種方法的解題步驟?；谶@種情況,需要對(duì)靜電場(chǎng)求解問(wèn)題做一梳理。雖然不同的方法有不同的適用條件和解題步驟,但同一問(wèn)題有時(shí)也可以用不同方法進(jìn)行求解,這樣做的好處是可以比較各種方法的特點(diǎn)和適用性。比如考慮半徑分別為R1和R2的2個(gè)同心球面,均勻帶電,各自帶有電荷Q1和Q2。下面用不同的方法來(lái)求解空間電場(chǎng)分布,并加以比較。

1 由場(chǎng)源分布確定電場(chǎng)分布

根據(jù)場(chǎng)源電荷的分布可以由電場(chǎng)疊加原理直接求解靜電場(chǎng),因?yàn)樯鲜鰡?wèn)題具有球?qū)ΨQ性也可以由靜電場(chǎng)的高斯定理求解。

1.1 電場(chǎng)疊加法

先考慮一個(gè)均勻帶電為Q的球面。如圖1所示,取環(huán)形面元dS=2π(Rsinθ)Rdθ,dq=σdS,σ=Q/4πR2。環(huán)形面上各點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)P的距離都相等,在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為

圖1 帶電球面的電場(chǎng)Fig.1 Electric field of a charged sphere

(1)

整個(gè)帶電球面在場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為

(2)

積分可得

(3)

再考慮2個(gè)同心球面產(chǎn)生電場(chǎng)的疊加性可得

(4)

原則上可以由電場(chǎng)疊加原理求任何電場(chǎng)分布問(wèn)題,無(wú)論場(chǎng)源電荷分布均勻與否,帶電體形狀規(guī)則與否,它都是適用的,但如果場(chǎng)源電荷分布不均勻,帶電體形狀不規(guī)則,則求解是十分困難的,有時(shí)甚至是不可能的。

1.2 高斯定理法

由于電荷分布具有對(duì)稱性,相應(yīng)的電場(chǎng)分布也具有對(duì)稱性,所以該問(wèn)題還可以由高斯定理求解。高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(5)

圖2 同心帶電球面Fig.2 Concentric charged spheres

1.3 等效法

所謂等效法,就是當(dāng)電荷在某種特殊分布狀態(tài)下,對(duì)于一定的求解區(qū)域,可以將實(shí)際的電荷用一種更為簡(jiǎn)單的、典型的分布來(lái)代替,而后者的解往往是已知的或更容易求解的。當(dāng)電荷均勻分布于一個(gè)球面時(shí),球外空間的電場(chǎng)可以等效于全部電荷集中于球心時(shí)的一個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng),根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理,很容易給出上題中各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度。這種等效的方法也適用于軸對(duì)稱和平面對(duì)稱的問(wèn)題。

2 由電勢(shì)分布確定電場(chǎng)分布

電勢(shì)是描述靜電場(chǎng)性質(zhì)的另一個(gè)物理量。它與靜電場(chǎng)的關(guān)系是

(6)

2.1 電勢(shì)疊加法

先考慮一個(gè)球面的電勢(shì)。如圖1所示,取環(huán)形面元dS=2π(Rsinθ)Rdθ,dq=σdS,σ=Q/4πR2。環(huán)形面上各點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離都相等,則有

積分得

(9)

再由2個(gè)球面電勢(shì)疊加可得各區(qū)域電勢(shì)分布為

(10)

根據(jù)式(6),可求出3個(gè)區(qū)域的電場(chǎng)E1,E2,E3與前面結(jié)果完全相同。由于電勢(shì)是標(biāo)量,所以在應(yīng)用電勢(shì)疊加原理進(jìn)行計(jì)算時(shí)要比應(yīng)用電場(chǎng)疊加原理計(jì)算更為方便。式(7)應(yīng)用了點(diǎn)電荷電勢(shì)公式,由于電荷分布在有限區(qū)域,所以選擇無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢(shì)參考點(diǎn),但如果帶電體無(wú)限大則不能這樣選擇。

2.2 分離變量法

分離變量法的思想是將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊值問(wèn)題[14-16]。首先列出微分方程、邊值關(guān)系和邊界條件,然后寫(xiě)出微分方程在所選坐標(biāo)系中的通解,根據(jù)邊值關(guān)系和邊界條件確定通解中的待定系數(shù)。還是以上題為例,因界面形狀為球面,故選擇以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),任一半徑方向?yàn)闃O軸方向的球坐標(biāo)系,列出該問(wèn)題的全部定解條件:

將上述系數(shù)代回到通解中即可確定各區(qū)域中的電勢(shì),其情況與式(10)完全相同,再由式(6)可求得各區(qū)域靜電場(chǎng)與式(4)結(jié)果一致。分離變量法適用于求解區(qū)域沒(méi)有自由電荷分布的情況,此時(shí)滿足拉普拉斯方程,當(dāng)界面是比較簡(jiǎn)單的幾何曲面時(shí),可求出靜電場(chǎng)的解析解。

3 結(jié) 論

通過(guò)以上論述及對(duì)特定球?qū)ΨQ問(wèn)題的分析求解,可以使讀者了解多種求解靜電場(chǎng)的方法,開(kāi)闊物理思維。在教學(xué)中,要使學(xué)生充分了解不同求解靜電場(chǎng)方法的基本原理、解題步驟以及不同方法的特點(diǎn),提高綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,針對(duì)不同的靜電場(chǎng)問(wèn)題,能夠恰當(dāng)選取適合的求解方法并熟練應(yīng)用,也為今后解決實(shí)際靜電問(wèn)題打下基礎(chǔ)。