劉玉忠, 武挽月

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

切換系統(tǒng)是由一族連續(xù)(或離散)時間子系統(tǒng)和一個切換規(guī)則組成的系統(tǒng),在過去幾十年中,受到眾多研究者的關(guān)注[1]。關(guān)于時滯切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定方面已經(jīng)取得豐碩的成果,但大多是針對含狀態(tài)時滯的切換系統(tǒng),對具有輸入時滯不確定切換系統(tǒng)的研究并不多見。

輸入時滯現(xiàn)象大量存在于工程實際問題中,因此研究含輸入時滯的不確定切換系統(tǒng)具有重要理論價值和實際意義。解決具有定常輸入時滯系統(tǒng)的一個比較有效的方法是還原法,借助某種狀態(tài)變換,將原時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為非時滯系統(tǒng),且Moon[2]指出,在時延很小的情況下,還原法所建立的控制器會使系統(tǒng)具有更好的性能和更小的保守性。

本文運用改進的還原法,研究了一類帶有輸入時滯不確定切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題。LIN等[3]基于公共Lyapunov函數(shù)方法給出了輸入時滯切換系統(tǒng)二次鎮(zhèn)定的充要條件,但并沒有考慮參數(shù)不確定性和保守性。WANG[4]利用矩陣的嚴格完備性設(shè)計了一類能使含有輸入時滯不確定切換系統(tǒng)穩(wěn)定的切換策略,但不易實現(xiàn)。本文提出了一種狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法,依據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論給出了系統(tǒng)在控制器作用下穩(wěn)定的充分條件。

1 問題描述及相關(guān)引理

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下含有輸入時滯的不確定切換系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈n為狀態(tài)變量;u(t)∈p為控制變量;Ai,Bi,Ci為相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣;h為控制時延常數(shù);φ(t)是在[-h,0]上的一個可微向量值初始函數(shù);i:+=[0,∞)→M={1,2,…,m}為一個依賴于t或狀態(tài)x(t)的分段常值右連續(xù)切換信號;m為子系統(tǒng)的個數(shù);矩陣ΔAi,ΔBi,ΔCi為時變不確定性參數(shù)矩陣[5]。

1.2 還原算法

考慮如下帶有輸入時滯的切換系統(tǒng)[6]:

(2)

為了分析和設(shè)計系統(tǒng)(2)的魯棒控制器,需要用到如下引理:

引理1 Jesen不等式[7]

引理2 對于具有相應(yīng)維數(shù)的實數(shù)矩陣D,F(t),E,若FT(t)F(t)≤I,則對Ki和?ε>0,DF(t)E+ETFT(t)DT≤ε-1DDT+εETE。

2 主要結(jié)果

針對系統(tǒng)(2),有如下結(jié)果:

證明 令u(t)=Kiz(t),代入系統(tǒng)(2)有

選取Lyapunov泛函為V(t)=V1+V2[8],則

從上面2個式子可以看出V(t)>0,對V1求導(dǎo)有

再根據(jù)引理1和引理2[9]有

對V2求導(dǎo),有

于是

因為

所以

同理

由Schur補引理[11]可知Ξi<0的充分必要條件為Ψi<0,定理得證。

3 結(jié) 語

本文研究了一類帶有輸入時滯不確定切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題[12],應(yīng)用改進的還原算法,給出了系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定的充分條件,并把轉(zhuǎn)化為了簡潔清晰的LMI形式。