戴回娟

不知同學(xué)們是否有這樣的感受：“銳角三角函數(shù)”這一章在學(xué)習(xí)時并不感到困難，但到了做作業(yè)或考試時卻經(jīng)常出錯。這方面的錯誤類型較多，下面列舉部分典型錯誤，以期同學(xué)們引以為戒。

一、忽視范圍致多解

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的對邊分別是a、b，且滿足a2-ab-b2=0，求tanA。

【錯解】a2-ab-b2=0，所以，所以

。所以

或

。

【錯因分析】這個解答錯在哪里呢？一般來說，求出多解時要考慮是否都符合條件。顯然，tanA不能為

。造成這一錯誤的原因是忽略了銳角三角函數(shù)值的范圍。銳角三角函數(shù)值是直角三角形邊的比值，所以sinA>O、cosA >O、tanA >O。更需要注意的是：當(dāng)A為銳角時，O

【正解】求出

后，因?yàn)閠anA>0，所以tanA=

。

因此，無論是在解題過程中還是解題結(jié)束后，我們都需要反思：這樣的過程正確嗎？概念運(yùn)用正確嗎？結(jié)果符合題干要求嗎？符合實(shí)際意義嗎？我們只有養(yǎng)成反思的習(xí)慣，才能提高自身的思維品質(zhì)。

二、毫無根據(jù)地想當(dāng)然

例2 如圖1，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AD=4，AC=2

，求sin∠CAB的值。

【錯解】Rt△ACB中，因?yàn)锳D=4，AC=2

，所以

=2，

。因?yàn)锳D平分∠CAB，所以

。

【錯因分析】這是錯誤地以為由角成倍數(shù)關(guān)系可以推出對應(yīng)的三角函數(shù)值也成倍數(shù)關(guān)系，即由∠CAB=2∠CAD想當(dāng)然地得到sin∠CAB=2sin∠CAD。這個判斷正確嗎？我們不妨看一個特例：60°=2×30°，而sin60°=

，很明顯，sin60°≠2sin30°。其

實(shí)我們可以給出二倍角正弦關(guān)系的幾何證明：如圖2，△ABC內(nèi)接于⊙0，其中AB為⊙0的直徑，連接OC，作CDIAB，D為垂足，設(shè)∠A=a，則∠BOC=2a，則sin2a

由此可見sin2a≠2sina。產(chǎn)生這個錯誤的原因是解題無依據(jù)，全憑自己的想象。

【正解】Rt△ABC中，因?yàn)锳D=4， AC=

，所以

，所以

，所以∠CA D=30°。因?yàn)锳D平分∠CAB，所以∠CA B=60°，所以

。

數(shù)學(xué)是邏輯的科學(xué)，由數(shù)學(xué)的定義、公理、定理、公式、定律組成嚴(yán)密的邏輯體系。解題要言之有理、言而有據(jù)，形成理性精神。

三、考慮不周致漏解

例3 在△ABC中，AB=

，AC=13，

，則BC邊的長為 。

【錯解】17。

【錯因分析】我們來看滿足AB=12

、AC=13的△ABC是什么形狀。由

得∠B=45°，如圖3，作∠B=45°，在∠B一邊上截取AB=

，過點(diǎn)A作另一邊的垂線，D為垂足，可得△ABD為等腰直角三角形，從而AD=12。以A為圓心，13為半徑畫弧交直線BD于點(diǎn)C，由于AD

【正解】由上可知：在Rt△ADC中，CD=

。當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時，BC=12-5=7;當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)時，BC=12+5 =17。綜上所述，BC=7或17。

數(shù)學(xué)解題講究嚴(yán)謹(jǐn)。由于考慮不周密、不嚴(yán)謹(jǐn)，我們在遇到圖形問題時會因?yàn)槲恢貌蝗鴮?dǎo)致漏解，遇到代數(shù)問題時會因?yàn)闆]有排除而導(dǎo)致多解。所以解題時我們一定要以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度、踏實(shí)的精神，仔細(xì)思考、認(rèn)真反思，確保解題過程完整、結(jié)果完美。 （作者單位：江蘇省泰興市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）