陳志剛，王國強(qiáng)，劉志輝

（1.邵陽學(xué)院機(jī)械與能源工程學(xué)院，湖南 邵陽 422000；2.邵陽學(xué)院高效動(dòng)力系統(tǒng)智能制造湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 邵陽 422000）

0 引言

旋翼機(jī)雙速傳動(dòng)系統(tǒng)是一種可以實(shí)現(xiàn)兩檔速度輸出的變速系統(tǒng)，廣泛應(yīng)用于民用運(yùn)輸工具、精密設(shè)備、武器裝備等。行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性特性研究主要從建模方法、求解方法、穩(wěn)定性判斷等3 個(gè)方面展開研究。模型主要有純扭轉(zhuǎn)模型、彎扭耦合模型和扭擺橫向軸向耦合模型[1-3]，其中對(duì)于純扭模型只考慮各構(gòu)件扭轉(zhuǎn)方向的振動(dòng)，由于自由度較少，模型簡單，故又稱之為精簡模型，數(shù)學(xué)建模過程中一般只考慮齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度和綜合嚙合誤差。孫濤[4]等在考慮純扭轉(zhuǎn)的情況下建立了ZK-H 行星輪系非線性動(dòng)力學(xué)方程，通過諧波平衡的方法分析了系統(tǒng)的頻域特性；宋軼民和許偉東[5]等建立了ZK-H 型行星齒輪傳動(dòng)的修正扭轉(zhuǎn)模型并研究了其固有特性。

基于非線性動(dòng)力學(xué)模型，為了對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)有一個(gè)直觀的了解，XIANG L 等[6]通過全局分岔圖、Poincare圖、相圖、FFT 譜和最大李亞普諾夫指數(shù)對(duì)行星輪系系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析。XIANG L 等[7]通過全局分岔圖、最大李亞普諾夫指數(shù)（LLE）、Poincare 圖、相圖、FFT 譜和時(shí)間序列等方法，識(shí)別了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)對(duì)側(cè)隙變化的影響。周璐等[8]通過相軌線、Poincare 圖、時(shí)間歷程曲線和相軌線分析了齒側(cè)間隙、嚙合頻率和嚙合阻尼對(duì)系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響。

通過對(duì)純行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性特性較為深入的分析后，本研究擬針對(duì)旋翼機(jī)雙速傳動(dòng)系統(tǒng)，研究低速檔在檔狀態(tài)，采用集中參數(shù)法建立考慮時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和齒輪副綜合嚙合誤差的純扭非線性動(dòng)力學(xué)微分方程組，然后利用變步長四階龍格庫塔法對(duì)無量綱化微分方程組進(jìn)行求解，定性分析激勵(lì)頻率對(duì)旋翼機(jī)雙速傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律。

1 低速檔非線性動(dòng)力學(xué)模型

限于篇幅本次以雙速行星傳動(dòng)系統(tǒng)低速檔為對(duì)象，建模時(shí)假設(shè)各傳動(dòng)軸和軸承剛度足夠大，且不考慮運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下支撐軸承間的摩擦影響；同級(jí)同類型的行星輪各參數(shù)相同；齒輪副之間的嚙合狀態(tài)簡化為由彈簧相連接的圓柱體，彈簧的剛度系數(shù)為嚙合齒輪的嚙合剛度[9]。以圖1 所示的工況為對(duì)象，采用集中質(zhì)量法建立動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行建模和詳細(xì)分析。

圖1 旋翼機(jī)雙速傳動(dòng)系統(tǒng)低速檔在檔動(dòng)力學(xué)模型

圖中Rbs為太陽輪基圓半徑；Rp1為第一級(jí)行星齒輪的基圓半徑；Rp2為第二級(jí)行星齒輪的基圓半徑；Rbr1為內(nèi)齒圈的基圓半徑；TD為驅(qū)動(dòng)力矩；TL為負(fù)載力矩；JC為行星架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θc為行星架扭轉(zhuǎn)變形；Ksp1為太陽輪與第一級(jí)行星輪時(shí)變嚙合剛度；Csp1為太陽輪與第一級(jí)行星輪嚙合阻尼；Kp1p2為第二級(jí)行星輪與第一級(jí)行星輪時(shí)變嚙合剛度；Cp1p2為第二級(jí)行星輪與第一級(jí)行星輪嚙合阻尼；Kp2r1為內(nèi)齒圈與第二級(jí)行星輪時(shí)變嚙合剛度；Cp2r1為內(nèi)齒圈與第二級(jí)行星輪嚙合阻尼。

2 雙速傳動(dòng)系統(tǒng)低速檔在檔數(shù)學(xué)模型

定義Xsp1i、Xp1ip2i、Xr1p2i分別為齒輪副沿嚙合線方向上的動(dòng)態(tài)相對(duì)扭轉(zhuǎn)位移。根據(jù)嚙合狀態(tài)的各齒輪的相對(duì)位置關(guān)系，計(jì)算各齒輪間的相對(duì)位移：

式中：ei為齒輪副綜合嚙合誤差，一般假定按正弦函數(shù)變化[4]：

式中：Ei為各齒輪副的綜合誤差的幅值；βi為各齒輪副綜合嚙合誤差的初相位；Ω為輪系嚙合齒頻；t為時(shí)間。假設(shè)令xs=Rbsθs、xp1i=Rbp1iθp1i、xp2i=Rbp2iθp2i、xr1=Rbp1θr1，其中xs、xp1i、xp2i和xr1分別為太陽輪、行星輪1、行星輪2、內(nèi)齒圈的當(dāng)量線位移。由牛頓第二定律推導(dǎo)得到旋翼機(jī)雙速傳動(dòng)系統(tǒng)低速檔在檔運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中：Ci為齒輪副的嚙合阻尼。如：

f（X，b）為齒側(cè)間隙非線性函數(shù)如下：

3 激勵(lì)頻率影響規(guī)律

本研究的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，圖2 為旋翼機(jī)雙速傳動(dòng)系統(tǒng)低速檔模式下，以激勵(lì)頻率ωh為控制變量繪制的太陽輪和第一級(jí)行星輪形成的齒輪副a 的無量綱化位移分叉圖。由圖3 可知齒輪副a 在ω=0.62 和ω=0.78兩處存在明顯的跳躍現(xiàn)象；當(dāng)激勵(lì)頻率位于0.62≤ω≤0.78 段時(shí)，齒輪副a 以不太穩(wěn)定的周期形式運(yùn)動(dòng)；當(dāng)激勵(lì)頻率處于低頻段（ω≤0.62）時(shí)，齒輪副a 隨著激勵(lì)頻率ω的增加，振動(dòng)幅度差會(huì)有輕微的增大的趨勢(shì)；當(dāng)激勵(lì)頻率處于中低頻段（0.78≤ω≤1.19）時(shí)，齒輪副a 由單周期響應(yīng)隨著激勵(lì)頻率ω的增加，振動(dòng)幅度差明顯增大，有進(jìn)入混沌的趨勢(shì)；當(dāng)激勵(lì)頻率處于中頻段（1.19≤ω≤1.41）時(shí)，齒輪副a 的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為，隨著激勵(lì)頻率的增大，齒輪副a 由雙倍周期響應(yīng)轉(zhuǎn)向三倍周期以及多倍周期，從圖3-b 部分時(shí)域圖可以看出，再進(jìn)入混沌期前轉(zhuǎn)為雙倍周期；當(dāng)激勵(lì)頻率位于（1.41≤ω≤2.61）時(shí)，齒輪副a 進(jìn)入了混沌區(qū)，從圖3 中的c 部分相圖可以看出，線條充滿空間某一部分、相互纏繞交叉，既不重復(fù)又不封閉的曲線，當(dāng)激勵(lì)頻率位于（2.61≤ω≤2.82）時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)從雙倍周期向單倍周期變化，從圖3-d 部分時(shí)域圖可以看出；最后激勵(lì)頻率位于（2.82≤ω）時(shí)，齒輪副a 為單倍周期響應(yīng)。圖3 為激勵(lì)頻率點(diǎn)ω, 其取值分別為：0.612，1.023，1.923，2.712 時(shí)系統(tǒng)的時(shí)域圖、相圖和龐加萊截面圖。

圖2 太陽輪和第一級(jí)行星齒輪形成的齒輪副a 隨激勵(lì)頻率ω 變化的全局分叉圖

圖3 齒輪副a 不同激勵(lì)頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)域圖、相圖和龐加萊截面圖：（a）0.612；（b）1.032；（c）1.923；（d）2.712

表1 旋翼機(jī)雙速傳動(dòng)系統(tǒng)低速檔模型參數(shù)

4 結(jié)論

本研究在考慮時(shí)變嚙合剛度、齒輪副綜合嚙合誤差和齒側(cè)間隙的基礎(chǔ)上建立了旋翼機(jī)雙速傳動(dòng)系統(tǒng)低速檔在檔的非線性動(dòng)力學(xué)模型，用數(shù)值仿真的方法對(duì)系統(tǒng)方程進(jìn)行求解，得到太陽輪和第一級(jí)行星齒輪形成的齒輪副a 隨激勵(lì)頻率變化的分叉圖，由分叉圖再結(jié)合不同區(qū)域的激勵(lì)頻率展現(xiàn)出的時(shí)域圖、相圖和龐加萊截面圖，結(jié)果表明，在激勵(lì)頻率位于（0≤ω≤3）范圍內(nèi)，位于低頻段時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)幅值變化不大；主要變化在中頻段（0.78≤ω≤2.82）內(nèi)，隨著激勵(lì)頻率的增大，系統(tǒng)由單倍周期響應(yīng)逐漸從雙倍周期響應(yīng)進(jìn)入多倍周期響應(yīng)，再由雙倍周期響應(yīng)進(jìn)入混沌響應(yīng)，最后在激勵(lì)頻率為（2.61≤ω≤2.82）時(shí)段，系統(tǒng)由混沌響應(yīng)進(jìn)入雙倍周期響應(yīng)再轉(zhuǎn)為單周期響應(yīng)。