管景強

[摘 要]“天平砝碼稱重問題”除了可以運用嘗試列舉法分析解決外，還可以引入二進制和三進制來解決。根據(jù)天平單邊放砝碼稱重和兩邊放砝碼稱重兩種不同情況，將所要稱出的質(zhì)量轉化為相應的二進制數(shù)和三進制數(shù)的位權展開式，通過分析位權展開式中的位權個數(shù)及每一位的位權，就可以明確砝碼的具體擺法，得出最少需要砝碼的個數(shù)及砝碼的質(zhì)量。

[關鍵詞]天平;砝碼稱重;二進制;三進制;位權展開式

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0028-02

解決“天平砝碼稱重問題”時，可以采用嘗試列舉法來得出所需砝碼的質(zhì)量。實際上，我們還可以從砝碼的擺法入手，引入二進制和三進制來迅速解決問題。

一、天平單邊放砝碼稱重

【例1】在天平左邊放砝碼，右邊放物體稱質(zhì)量，最少應該準備幾個砝碼，就能稱出1克到15克的所有整克數(shù)的質(zhì)量？這幾個砝碼分別是多少克？

我們可以從稱1克的物體入手，列表分析：

由上表可以知道，最少應該準備4個砝碼，分別是1克、2克、4克、8克的各1個。到這里，善于思考的學生可能會有兩個疑問：1.稱1克到15克的質(zhì)量為什么最少需要4個砝碼？2.所需砝碼的質(zhì)量為什么均形如[2n]克？如1克、2克、4克、8克，分別對應[20]克、[21]克、[22]克、[23]克。下面就從砝碼的擺法來討論。

1.稱1克到15克的質(zhì)量為什么最少需要4個砝碼？

對于砝碼 a1來說，由于只能放在天平的一邊，所以只有放在盤中與放在盤外兩種不同擺法（如下圖）。當砝碼a1放在盤中時，砝碼a1參與稱重，可以稱出砝碼a1本身的質(zhì)量;當砝碼a1放在盤外時，砝碼a1不參與稱重，稱出的質(zhì)量可以看成0克。如果有n個砝碼，每個砝碼都有放在盤中與放在盤外兩種不同擺法，根據(jù)乘法原理，n個砝碼就有[2n]種不同擺法。去掉所有砝碼都放在盤外的擺法（這種擺法稱重為0克），那么n個砝碼就有（[2n]-1）種不同擺法。

當砝碼的質(zhì)量各不相等且任意一個砝碼的質(zhì)量都不等于其他兩個或幾個砝碼的質(zhì)量的和時，不同擺法稱出的質(zhì)量也都不相同。這時，（[2n]-1）種不同擺法可以稱出（[2n]-1）種不同質(zhì)量，不同擺法數(shù)等于能稱出的不同質(zhì)量數(shù)。

當砝碼的質(zhì)量不滿足“各不相等且任意一個砝碼的質(zhì)量都不等于其他兩個或幾個砝碼的質(zhì)量的和”時，就會出現(xiàn)不同擺法可以稱出同一種質(zhì)量。這時，（[2n]-1）種不同擺法可以稱出的不同質(zhì)量數(shù)小于（[2n]-1）種，不同擺法數(shù)大于能稱出的不同質(zhì)量數(shù)。

綜上，不同擺法數(shù)大于或等于能稱出的不同質(zhì)量數(shù)。本例中要求稱出1克到15克共15種不同的質(zhì)量，那么[2n]-1≥15。解得n≥4，所以最少需要4個砝碼。

2.所需砝碼的質(zhì)量為什么均形如[2n]克？

設要稱的物體的質(zhì)量為y克，所需砝碼的質(zhì)量分別為a1、a2、a3……an克，那么對于y克這個質(zhì)量，一定有一種擺法與它對應。由此可以得到下面的式子：

y=（ ）×a1+（?）×a2+（ ）×a3+…+（?）×an

其中（ ）×a1表示砝碼a1擺放好所稱出的質(zhì)量，（ ）×a2表示砝碼a2擺放好所稱出的質(zhì)量，（ ）×a3表示砝碼a3擺放好所稱出的質(zhì)量……（ ）×an表示砝碼an擺放好所稱出的質(zhì)量。而每部分（ ）里的數(shù)只有1和0兩種可能，當（?）里是1時，表示將這個砝碼放在盤中，砝碼參與稱重;當（?）里是0時，表示將這個砝碼放在盤外，砝碼不參與稱重。

由于（ ）里只能是1或0，所以y=（ ）×a1+（?）×a2+（ ）×a3+…+（ ? ）×an，實際上就是把十進制數(shù)y轉化成二進制數(shù)的位權展開式。把1克到15克分別轉化為二進制數(shù)的位權展開式，就得到它們各自天平左邊需要放入的砝碼質(zhì)量（見下表）。

從表中可以看出，所需砝碼的質(zhì)量都是二進制數(shù)位權展開式中的位權，所以均形如[2n]克。

從砝碼的擺法入手，利用不同擺法與所稱出質(zhì)量之間的關系先求出最少需要砝碼的個數(shù)，接著通過砝碼的擺法引入二進制來求出所需砝碼的質(zhì)量。實際上，最少需要砝碼的個數(shù)和所需砝碼的質(zhì)量通過“（[15]）10=（[1111]）2=1×[23]+1×[22]+1×[21]+1×[20]”就可以得到。上式中，最重的15克轉化為二進制數(shù)的位權展開式后有4個位權，分別是[23]、[22]、[21]、[20]，那么1克到14克轉化為二進制數(shù)的位權展開式后的位權肯定不會超過4個，所以最少需要砝碼的個數(shù)就是位權數(shù)4，而位權[23]、[22]、[21]、[20]就是所需砝碼的質(zhì)量。

二、天平兩邊放砝碼稱重

【例2】一臺天平要稱出質(zhì)量為1克、2克……69克的物品，允許在天平兩邊都放砝碼，最少要準備幾個砝碼？這幾個砝碼分別是多少克？

當天平單邊放砝碼稱重時，可以引入二進制來解決。那么天平兩邊放砝碼稱重，可以引入幾進制來解決呢？不妨順著例1的思路繼續(xù)從砝碼的擺法入手，先求出最少需要幾個砝碼。

由于砝碼a1可以放在天平的兩邊，所以它有放在左盤中、放在右盤中、放在盤外三種不同擺法（如下圖）。如果有n個砝碼，根據(jù)乘法原理，n個砝碼就有[3n]種不同擺法。去掉所有砝碼都放在盤外的擺法（這種擺法稱重為0克），那么n個砝碼就有（[3n]-1）種不同擺法。又因為天平是對稱的，如果把天平左右兩盤放置的東西對換，這兩種擺法稱的是同一種質(zhì)量，所以n個砝碼可以看成有（[3n]-1）/2種不同擺法。

根據(jù)不同擺法與所稱出質(zhì)量之間的關系，不同擺法數(shù)大于或等于能稱出的不同質(zhì)量數(shù)（當每個砝碼的質(zhì)量各不相等且任意一個砝碼的質(zhì)量都不等于其他兩個或幾個砝碼的質(zhì)量的和或差時，（[3n]-1）/2種不同擺法可以稱出（[3n]-1）/2種不同質(zhì)量），所以（[3n]-1）/2≥69。解得n≥5，所以最少需要5個砝碼。

繼續(xù)設要稱的物品的質(zhì)量為y克，需要砝碼的質(zhì)量分別為a1、a2、a3……an克，那么對于y克這個質(zhì)量，同樣可以得到下面的式子：

其中（?）×a1表示砝碼a1擺放好所稱出的質(zhì)量，（?）×a2表示砝碼a2擺放好所稱出的質(zhì)量，（ ）×a3表示砝碼a3擺放好所稱出的質(zhì)量……（ ）×an表示砝碼an擺放好所稱出的質(zhì)量。而每部分（ ）里的數(shù)有三種可能，分別是1、0、-1。當（ ）里是1時，表示將這個砝碼放在左盤中，砝碼參與稱重;當（ ）里是0時，表示將這個砝碼放在盤外，砝碼不參與稱重;當（?）里是-1時，表示將這個砝碼放在右盤中，砝碼參與稱重。

由于（）里只能是1、0或-1，所以y=（ ）×a1+（ ）×a2+（?）×a3+…+（ ）×an，實際上就是把十進制數(shù)y轉化成三進制數(shù)的位權展開式。需要注意的是，三進制一般有兩種表現(xiàn)形式：一種是以0、1、2為數(shù)碼的普通三進制;另一種是以1、0、-1為數(shù)碼的對稱三進制。這里應該轉化成對稱三進制，因為在天平的左、右盤中都放上砝碼時，所稱出的物品質(zhì)量應該等于兩邊的砝碼質(zhì)量相減，所以（?）里要用到1和-1。下面將本例中最重的69克轉化成對稱三進制數(shù)的位權展開式。

由上式可得，要稱出最重的69克，需要把[34]克的砝碼放在天平的左盤，把[32]克、[31]克的砝碼放在天平的右盤，把[33]克、[30]克的砝碼放在盤外，即81克的砝碼放在天平的左盤，9克、3克的砝碼放在天平的右盤，27克、1克的砝碼不放。這時81-12=69，即可稱出69克的質(zhì)量。同理，1克到68克也可以通過把十進制數(shù)轉化成對稱三進制數(shù)的位權展開式來得到相應的砝碼擺法，且它們對應的三進制數(shù)的位權展開式的位權肯定不會超過5個。因此，最少需要砝碼的個數(shù)就是這里的位權數(shù)5，而位權[34]、[33]、[32]、[31]、[30]就是所需砝碼的質(zhì)量。此外，[34]克、[33]克、[32]克、[31]克、[30]克這5個砝碼最少可以稱1克（1×[30]=1）的質(zhì)量，最多可以稱121克（1×[34]+1×[33]+1×[32]+1×[31]+1×[30]=121）的質(zhì)量。

綜上所述，解決“天平砝碼稱重問題”可以從砝碼的擺法入手，將所要稱出的最重質(zhì)量轉化為二進制數(shù)（天平單邊放砝碼稱重）或三進制數(shù)（天平兩邊放砝碼稱重）的位權展開式，位權個數(shù)就是最少需要砝碼的個數(shù)，而每一個位權就是所需砝碼的質(zhì)量。

（責編 吳美玲）