王宇鵬

（渤海大學(xué) 學(xué)報(bào)編輯部，遼寧 錦州 121013）

0 引言

近十幾年來，介觀系統(tǒng)中的熱電效應(yīng)（Thermoelectric effect）得到了廣泛的理論和實(shí)驗(yàn)研究，這些系統(tǒng)包括單個(gè)或多個(gè)半導(dǎo)體量子點(diǎn)、多種半導(dǎo)體材料制備而成的納米線、納米管等［1-2］.低維量子系統(tǒng)中熱電效應(yīng)的研究動(dòng)機(jī)主要有兩個(gè)：一是尺寸持續(xù)降低的器件中的電流會(huì)產(chǎn)生大量的廢熱而影響其正常運(yùn)行.如果能利用熱電效應(yīng)將這些熱能轉(zhuǎn)換為電能無疑是非常有意義的.另一個(gè)是大量的實(shí)驗(yàn)和理論工作已經(jīng)說明，低維量子系統(tǒng)中的熱電效應(yīng)相比于宏觀體材料中的有獨(dú)特的性質(zhì)，例如可以控制電子態(tài)密度的尖峰位置和高度、離散化的電子能級(jí)、電子與電子之間的庫倫相互作用或者聲子的散射過程等來提高熱電勢(shì)的大小和熱電轉(zhuǎn)換效率［1-2］.最重要的熱電效應(yīng)物理量為熱電勢(shì)（塞貝克系數(shù)），定義為S= -ΔV/ΔT，其中ΔV為施加在系統(tǒng)兩端的溫度差ΔT產(chǎn)生的電勢(shì)差.電能與熱能之間的轉(zhuǎn)換效率由熱電優(yōu)值因子ZT=GS2T/κ來表示，其中G為線性電導(dǎo)，T為系統(tǒng)的平衡溫度，κ為電子和聲子貢獻(xiàn)的熱導(dǎo)率之和.根據(jù)維德曼-弗蘭茲定律（Wiedemann-Franz law），宏觀熱電材料中電子和聲子的熱導(dǎo)率滿足G/κ= 3e2/(πkB)2T，即電導(dǎo)率的增大必然伴隨著聲子熱導(dǎo)率的增加，因此ZT的值很難超過1，極大限制了熱電器件和材料的工業(yè)應(yīng)用.在低維量子系統(tǒng)中，維德曼-弗蘭茲定律會(huì)被電子之間的庫倫相互作用、量子干涉效應(yīng)或特殊的器件設(shè)計(jì)等機(jī)制所打破，使這種器件和材料的廣泛應(yīng)用成為可能［1-2］.

除了在能源方面的應(yīng)用，近年來熱電效應(yīng)也被提出用于探測(cè)馬約拉納束縛態(tài)的存在.在凝聚態(tài)物理中，馬約拉納束縛態(tài)表示馬約拉納費(fèi)米子在納米管兩端形成的一對(duì)準(zhǔn)粒子激發(fā)［3-4］.這種馬約拉納束縛態(tài)不再是費(fèi)米子，而是服從非阿貝爾統(tǒng)計(jì)的任意子［3-4］，由其制備而成的量子比特除了具有通常固態(tài)器件中量子比特的一切的優(yōu)點(diǎn)之外，還有更好的“糾錯(cuò)”能力，因而成為容錯(cuò)拓?fù)淞孔佑?jì)算領(lǐng)域中新的研究熱點(diǎn)［3-7］.以往的研究證明，如果馬約拉納束縛態(tài)與兩個(gè)電極之間的量子點(diǎn)相互作用，其電子-空穴對(duì)稱性將被打破.例如，C.Y.Hou等［8］人指出，與承載馬約拉納束縛態(tài)的拓?fù)涑瑢?dǎo)納米線相互作用的量子點(diǎn)中的熱電勢(shì)滿足莫特公式.其原因是馬約拉納束縛態(tài)的電子-空穴對(duì)稱性被打破致使正、負(fù)載流子在空間發(fā)生分離而增大了熱電勢(shì).這個(gè)理論結(jié)果也可以用來測(cè)量馬約拉納束縛態(tài)的溫度.日本學(xué)者Leijnse理論證明［9］，量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)之間的相互作用能夠破壞體系的電子-空穴的對(duì)稱性，從而加強(qiáng)熱電信號(hào)而用來探測(cè)馬約拉納束縛態(tài)的存在或分離出馬約拉納束縛態(tài)的耗散衰變信息.也有歐洲的學(xué)者研究了與兩個(gè)電極和馬約拉納束縛態(tài)相互作用的量子點(diǎn)系統(tǒng)中熱電勢(shì)符號(hào)改變的效應(yīng)［10］，并用其來探測(cè)馬約拉納束縛態(tài)的存在.

近年來，一些研究者提出了利用量子點(diǎn)AHARONOV-BOHM干涉儀中的干涉效應(yīng)對(duì)馬約拉納束縛態(tài)進(jìn)行操控和測(cè)量［11-13］.例如，若具有馬約拉納束縛態(tài)的納米線與兩個(gè)電極耦合而形成多通道結(jié)構(gòu)，只要束縛態(tài)與干涉儀的耦合強(qiáng)度相同，系統(tǒng)的微分電導(dǎo)值即為零，與其它參數(shù)無關(guān)，而且零偏壓下電導(dǎo)的值在任何情況下都與穿過干涉儀中的磁通量無關(guān)［11］.如果量子點(diǎn)的電子能級(jí)與馬約拉納束縛態(tài)的能量相同，電導(dǎo)的震蕩周期在電子-空穴的對(duì)稱性作用下為π［11］.在馬約拉納束縛態(tài)與量子點(diǎn)直接耦合的干涉儀結(jié)構(gòu)中，研究者發(fā)現(xiàn)當(dāng)量子點(diǎn)的能級(jí)為零時(shí)，電導(dǎo)會(huì)在馬約拉納束縛態(tài)的作用下形成三個(gè)尖峰［13］，而且電子在不同輸運(yùn)通道中隧穿時(shí)會(huì)發(fā)生相干干涉，從而電導(dǎo)的線形為典型的非對(duì)稱Fano峰形式［13-14］.研究者們已經(jīng)證明，多通道系統(tǒng)中電子相互干涉而產(chǎn)生的Fano［13-15］效應(yīng)會(huì)破壞電子-空穴的對(duì)稱性，從而顯著提高熱電勢(shì)的值，并在一定條件下造成熱電勢(shì)符號(hào)的翻轉(zhuǎn)，即電子-空穴兩類載流子的轉(zhuǎn)換.雖然馬約拉納束縛態(tài)影響下的電子輸運(yùn)性質(zhì)已經(jīng)在量子點(diǎn)干涉儀系統(tǒng)（如圖1所示）中得到了一定的研究［11-13］，但這種系統(tǒng)中的熱電效應(yīng)還很少被考慮，是本文所要研究的內(nèi)容.本文的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，量子點(diǎn)干涉儀中馬約拉納束縛態(tài)與量子點(diǎn)之間的相互作用將削弱Fano干涉效應(yīng)對(duì)熱電效應(yīng)的影響.熱電勢(shì)的絕對(duì)值隨量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)之間的相互作用增強(qiáng)而可能會(huì)變小，并在一定的量子點(diǎn)能級(jí)范圍內(nèi)改變符號(hào)，為探測(cè)馬約拉納束縛態(tài)的存在提供了新的判據(jù).馬約拉納束縛態(tài)之間的直接相互作用使得熱電勢(shì)對(duì)量子點(diǎn)能級(jí)的曲線中重新出現(xiàn)符號(hào)相反的尖峰，并造成其符號(hào)的翻轉(zhuǎn).作為對(duì)比，本文還考慮了干涉儀中的量子點(diǎn)與另一個(gè)量子點(diǎn)中的常規(guī)費(fèi)米子相互作用的情況，以說明馬約拉納束縛態(tài)性質(zhì)的獨(dú)特性.

圖1 與溫度分別為TL和TR的兩個(gè)普通金屬電極相耦合、并與超導(dǎo)納米線一端的馬約拉納束縛態(tài)相互作用的量子點(diǎn)干涉儀.量子點(diǎn)與兩個(gè)電極的耦合強(qiáng)度分別為ΓL和ΓR，與馬約拉納束縛態(tài)的模η1的耦合強(qiáng)度為λ.兩個(gè)電極之間的直接耦合強(qiáng)度為W

1 理論模型與計(jì)算方法

如圖1所示，左右兩個(gè)普通金屬電極分別與單量子點(diǎn)耦合，并通過隧道結(jié)而直接相互作用，納米線一端的馬約拉納束縛態(tài)與量子點(diǎn)中無自旋的電子耦合，系統(tǒng)的二次量子化哈密頓量可寫為［10，13，15］

其中W為左右兩個(gè)電極之間的直接隧穿耦合強(qiáng)度和ckα分別為電極中能量為εkα的電子的產(chǎn)生和湮滅算符.d+和d分別為量子點(diǎn)中能量為εd的電子的產(chǎn)生和湮滅算符.Vkα代表量子點(diǎn)和電極中電子之間的耦合強(qiáng)度.公式（1）中最后兩項(xiàng)表示將馬約拉納束縛態(tài)變換為常規(guī)費(fèi)米子后的哈密頓及其與量子點(diǎn)之間耦合，其中馬約拉納束縛態(tài)與量子點(diǎn)的耦合強(qiáng)度為λ，兩個(gè)束縛態(tài)之間的耦合強(qiáng)度為δM.f為常規(guī)費(fèi)米子的湮滅算符，滿足反對(duì)易關(guān)系，{f，f+} =ff++f+f= 1.

流過系統(tǒng)的電流和熱流分別為［10，15］

其中積分Ln(n= 0，1，2)為［10］，

上式中的平衡費(fèi)米分布函數(shù)為f(ε) =[exp[(ε-μ)/kBT]+ 1]-1.由上面的表達(dá)式可以得到所要研究的熱電物理量，熱電勢(shì)為S= -( 1/eT)L1/L0，G=e2L0.

熱電優(yōu)值因子（Figure of merit）［16］，

公式（4）中的Tr為電子的透射系數(shù)，可以用系統(tǒng)的格林函數(shù)表示.由運(yùn)動(dòng)方程方法，系統(tǒng)的推遲格林函數(shù)的表達(dá)式為［10，15］，

上式中量子點(diǎn)與電極相互作用的自能為，

其中總線寬函數(shù)Γ=ΓL+ΓR，Γ?=Γ/( )1+x，α=4ΓLΓR/Γ2.x=π2W2ρL ρR為兩個(gè)電極之間直接耦合的強(qiáng)度，ρL R為左/右電極中電子的局域態(tài)密度.ΣMBSs為量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)相互作用的自能，其表達(dá)式為［13，17］

其中K= 1/2(ε-δM+i0+)+ 1/2(ε+δM+i0+)，以及，

根據(jù)上面的結(jié)果，可以得到透射系數(shù)為［13，17］，

2 結(jié)果與分析

在數(shù)值計(jì)算中，我們?nèi)‰姌O中的半帶寬D≡40為能量單位，并取ΓL=ΓR≡0.1D，系統(tǒng)平衡溫度T=0.0025D.如果量子點(diǎn)不與馬約拉納束縛態(tài)或另一個(gè)量子點(diǎn)相耦合且當(dāng)Tb= 0時(shí)，本文研究的器件成為量子點(diǎn)僅與兩個(gè)普通金屬電極耦合的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，此時(shí)的透射系數(shù)有典型的單個(gè)洛倫茲共振峰線形［17］.共振峰的中心位于電子入射能量ε=εd之處，它的寬度為Γ，大小達(dá)到其量子極值Tr= 1［17］，這個(gè)結(jié)果沒有在本文給出.當(dāng)背景透射概率0

當(dāng)干涉儀中的量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)相互耦合時(shí)（λ≠0），由圖2（a）中的細(xì)點(diǎn)線和虛線可知，反對(duì)稱的Fano線形被破壞，并且零能級(jí)的電導(dǎo)率值迅速減小為常數(shù)G(εd= 0 )≡0.6e2/h.值得指出的是，當(dāng)λ≠0且W= 0時(shí)，以前的研究工作已經(jīng)發(fā)現(xiàn)量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)之間的相互作用將導(dǎo)致電子的電導(dǎo)為其量子極值的一半，即G(εd= 0 )=e2/2h，是馬約拉納束縛態(tài)存在的典型表現(xiàn)，最初是在文獻(xiàn)［17］中的無自旋、無庫倫相互作用及零溫的條件下得到的.本文發(fā)現(xiàn)當(dāng)W≠0時(shí)，零能的電導(dǎo)值會(huì)由于背景散射通道的存在而增大，但仍保持為常數(shù)，同樣可以當(dāng)做馬約拉納束縛態(tài)存在的判據(jù).當(dāng)量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子耦合時(shí)，圖2（a）中的粗點(diǎn)線和虛線說明原來的共振峰變?yōu)榱斯?，并且也趨近于一個(gè)常數(shù)G(εd= 0 )≈e2/4h.

當(dāng)量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)耦合時(shí)，透射系數(shù)出現(xiàn)三個(gè)峰，對(duì)應(yīng)的三個(gè)電子態(tài).在每一個(gè)共振態(tài)處，透射系數(shù)都有相同形狀的非對(duì)稱線形.在不同的能量處，電子隧穿通過系統(tǒng)的概率不同，透射系數(shù)峰的高度相應(yīng)不同.由于電導(dǎo)是透射系數(shù)在費(fèi)米能級(jí)附近對(duì)電子能量的積分結(jié)果，因此這些透射系數(shù)的峰在溫度較高的情況下不能在電導(dǎo)的曲線中出現(xiàn).當(dāng)λ= 0時(shí)，圖2（b）中的熱電勢(shì)值在能級(jí)εd= 0處有一個(gè)零點(diǎn)，并在其兩側(cè)各有一個(gè)符號(hào)相反的峰.其產(chǎn)生的原因如下［8-10，16］：假設(shè)左側(cè)電極的溫度高于右側(cè)電極，結(jié)果在左側(cè)電極中更多的電子被激發(fā)到化學(xué)勢(shì)μ以上，同時(shí)更多的空穴處于能量低于化學(xué)勢(shì)的狀態(tài).在右側(cè)溫度較低的電極中，只有較少的電子被激發(fā)到化學(xué)勢(shì)以上，在化學(xué)勢(shì)以下空穴的數(shù)目也相對(duì)左側(cè)電極少.當(dāng)量子點(diǎn)能級(jí)高于化學(xué)勢(shì)μ時(shí)，左側(cè)電極中能量與量子點(diǎn)能級(jí)相同的電子運(yùn)動(dòng)到右側(cè)電極中，造成負(fù)的熱電勢(shì).在量子點(diǎn)能級(jí)低于化學(xué)勢(shì)時(shí)，左側(cè)電極中的空穴運(yùn)動(dòng)到右側(cè)電極，結(jié)果熱電勢(shì)的符號(hào)翻轉(zhuǎn).在量子點(diǎn)的零能級(jí)位置處，相同數(shù)量的電子和空穴向相反方向運(yùn)動(dòng)，其電流或電動(dòng)勢(shì)相互抵消，因此熱電勢(shì)為零.當(dāng)λ≠0時(shí)，熱電勢(shì)的值迅速變小.當(dāng)量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)的耦合較弱時(shí)，兩個(gè)量子點(diǎn)之間耦合造成的干涉效應(yīng)較強(qiáng)，因此熱電勢(shì)在峰的兩側(cè)各形成一個(gè)反共振的谷.隨著λ的增大，量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)的相互作用產(chǎn)生的影響占優(yōu)勢(shì)，因此兩個(gè)谷消失，熱電勢(shì)形成一個(gè)寬的峰，如圖中的細(xì)點(diǎn)線和虛線所示.如果量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子相互作用，熱電勢(shì)的零能級(jí)峰將變得更寬，如圖中粗虛線和點(diǎn)線所示.圖2（c）給出λ值不同時(shí)熱電優(yōu)值因子隨量子點(diǎn)能級(jí)的變化關(guān)系.當(dāng)量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)相互作用時(shí)，ZT的值隨λ的增加而迅速減小，同時(shí)其中心的峰分裂為兩個(gè)，分別向低能和高能方向移動(dòng)，如圖中的細(xì)線所示.然而當(dāng)量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子相互作用時(shí)，ZT的中心峰位置不發(fā)生移動(dòng)，僅僅是峰的高度降低.

圖2 不同的馬約拉納-量子點(diǎn)耦合強(qiáng)度，及兩個(gè)常規(guī)量子點(diǎn)的耦合強(qiáng)度λ條件下電導(dǎo)（a），熱電勢(shì)（b）及優(yōu)質(zhì)因子（c）隨量子點(diǎn)中電子能級(jí)的變化關(guān)系.其中背景透射系數(shù)為Tb = 1/4( )x = 0.072 ，δM = 0.圖中的細(xì)虛線和點(diǎn)線表示量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)相互耦合，較粗的虛線和點(diǎn)線表示量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子，即另一個(gè)量子點(diǎn)相互作用

當(dāng)兩個(gè)馬約拉納束縛態(tài)之間存在直接耦合δM≠0時(shí)，圖3（a）說明電導(dǎo)的值迅速增加，同時(shí)Fano效應(yīng)變?yōu)橹鲗?dǎo).圖3（b）中量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子耦合情況下的電導(dǎo)與圖3（a）中的類似，都在較大的δM值時(shí)呈現(xiàn)典型的Fano共振線形.圖3（c）說明當(dāng)δM≠0時(shí)，馬約拉納束縛態(tài)導(dǎo)致的熱電勢(shì)在特定溫度下符號(hào)翻轉(zhuǎn)的現(xiàn)象消失.即使對(duì)于很小的耦合強(qiáng)度δM= 0.01，熱電勢(shì)也在整個(gè)量子點(diǎn)能級(jí)范圍內(nèi)發(fā)生了再次的符號(hào)翻轉(zhuǎn).當(dāng)一對(duì)馬約拉納束縛態(tài)之間存在相互作用時(shí)，圖3（c）表明熱電勢(shì)的Fano線形開始變得明顯，這是由于馬約拉納束縛態(tài)之間的直接相互作用會(huì)降低其對(duì)輸運(yùn)過程影響.當(dāng)量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子耦合時(shí)，熱電勢(shì)的不對(duì)稱性變得更強(qiáng)，同時(shí)峰值也更大，可以用來分辨與量子點(diǎn)耦合的費(fèi)米子類型.

圖3 電導(dǎo)G和熱電勢(shì)S在不同的δM條件下隨量子點(diǎn)能級(jí)的變化關(guān)系.其中（a）和（c）對(duì)應(yīng)量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)相互作用，（b）和（d）代表干涉儀中的量子點(diǎn)與另一個(gè)量子點(diǎn)相互作用的情況.其它參數(shù)為，背景透射系數(shù)Tb = 1/4，耦合強(qiáng)度λ= 0.1

圖4給出δM≠0時(shí)量子點(diǎn)分別與馬約拉納束縛態(tài)（a）和常規(guī)費(fèi)米子（b）相互作用情況下的熱電優(yōu)值因子ZT隨量子點(diǎn)能級(jí)的變化關(guān)系.圖4（a）說明，當(dāng)量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)耦合，隨著δM的增大，熱電優(yōu)值因子的兩個(gè)峰向零能級(jí)處移動(dòng)，并最終合并為單峰，即馬約拉納束縛態(tài)造成的ZT峰分裂效應(yīng)消失，熱電優(yōu)值因子的值變大.當(dāng)量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子相互作用時(shí)，圖4（b）表明熱電優(yōu)值因子的值迅速增加，同時(shí)峰向高能方向移動(dòng).當(dāng)δM的值較大時(shí)，ZT的峰值能達(dá)到3左右，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)相互作用的情況.這個(gè)結(jié)果同樣可以用來區(qū)分與量子點(diǎn)耦合的費(fèi)米子類型.

圖4 熱電優(yōu)值因子在不同的條件下隨量子點(diǎn)能級(jí)的變化關(guān)系，其中圖（a）表示量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)相互作用，圖（b）表示量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子相互作用的結(jié)構(gòu).除圖中所示，其它參數(shù)與圖3中的相同

3 結(jié)論

本文研究了單量子點(diǎn)干涉儀中的熱電勢(shì)和熱電優(yōu)值因子的性質(zhì)，分別考慮量子點(diǎn)與納米線中的馬約拉納束縛態(tài)及與另一個(gè)量子點(diǎn)中的常規(guī)費(fèi)米子相互作用的兩種不同情況.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，隨著量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)相互作用的增強(qiáng)，系統(tǒng)中的Fano效應(yīng)被減弱，電導(dǎo)對(duì)量子點(diǎn)能級(jí)的依賴關(guān)系變?yōu)閱蝹€(gè)寬峰的結(jié)構(gòu).當(dāng)二者的相互作用足夠強(qiáng)時(shí)，零能級(jí)附近的電導(dǎo)峰在背景散射的作用下為G= 0.6e2/h，與沒有干涉效應(yīng)情況下的零能級(jí)電導(dǎo)峰G= 0.5e2/h的結(jié)果完全不同.而當(dāng)量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子相互作用時(shí)，電導(dǎo)的峰變得更低.當(dāng)量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)作用時(shí)，干涉儀中的熱電勢(shì)迅速變小，同時(shí)發(fā)生符號(hào)轉(zhuǎn)變的現(xiàn)象.熱電勢(shì)的符號(hào)翻轉(zhuǎn)效應(yīng)不會(huì)發(fā)生在量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子相互作用的系統(tǒng)中.當(dāng)一對(duì)馬約拉納束縛態(tài)之間存在直接的相互作用時(shí)，其對(duì)熱電輸運(yùn)性質(zhì)的影響降低，從而電導(dǎo)恢復(fù)Fano線形，并伴隨著電導(dǎo)峰的增加.熱電勢(shì)的符號(hào)在馬約拉納束縛態(tài)之間的直接相互作用下再次發(fā)生翻轉(zhuǎn)，并伴隨著數(shù)值的增加.當(dāng)量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)耦合時(shí)，熱電優(yōu)值因子的高能級(jí)和低能級(jí)處的峰因兩個(gè)束縛態(tài)之間的直接相互作用而向零能級(jí)處移動(dòng)，并最終合并為單峰.當(dāng)量子點(diǎn)與常規(guī)費(fèi)米子相互作用時(shí)，熱電優(yōu)值因子的值迅速增加，同時(shí)峰向高能方向移動(dòng).當(dāng)另一個(gè)量子點(diǎn)的能級(jí)較大時(shí)，結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱性增強(qiáng)而使得熱電優(yōu)值因子的峰值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于量子點(diǎn)與馬約拉納束縛態(tài)相互作用的情況，可以用來區(qū)分與量子點(diǎn)耦合的費(fèi)米子類型.