何勇

[摘? 要] “實際問題與一元一次方程”既是中考的一個重點，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點. 文章反思學(xué)生實際學(xué)習(xí)中存在的障礙，將抽象語義轉(zhuǎn)化為直觀圖表，從而讓學(xué)生清晰地提煉出等量關(guān)系、列出相應(yīng)的方程、建立具體問題中數(shù)量關(guān)系的有效模型. 將抽象語義轉(zhuǎn)化為直觀圖表的方式，能讓學(xué)生突破障礙，形成尋找關(guān)鍵詞、設(shè)計圖表填空、建立數(shù)學(xué)模型、列方程求解的思考路徑，并思考將抽象變直觀、從問題到模型、從未知到等式的通性通法.

[關(guān)鍵詞] 一元一次方程;實際問題;學(xué)習(xí)障礙;直觀圖表;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

明確學(xué)習(xí)任務(wù)，鋪墊課后教學(xué)思考

“方程”的學(xué)習(xí)貫穿整個中學(xué)階段，是初中應(yīng)用題的起始和關(guān)鍵. 學(xué)習(xí)“列方程解應(yīng)用題”，學(xué)生需要經(jīng)歷這樣的過程：由列算式轉(zhuǎn)變?yōu)榱械仁?把所設(shè)未知數(shù)當(dāng)作已知數(shù).

學(xué)習(xí)“方程”時，學(xué)生需要轉(zhuǎn)變思維方式，運用方程思想解應(yīng)用題，將抽象語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型，尋找等量關(guān)系并列出方程. 而初一的學(xué)生在這些方面處于發(fā)展階段，學(xué)習(xí)起來具有一定的難度. 學(xué)生在學(xué)習(xí)“實際問題與一元一次方程”的過程中，由于缺乏日常生活體驗，難以理解實際問題的語義，且未知信息與已知信息收集、加工困難，遇到復(fù)雜的實際問題容易產(chǎn)生畏懼心理，所以面對應(yīng)用題他們往往無從下手. 因此，在“實際問題與一元一次方程”的教學(xué)過程中，教師可以將一些實際問題中的抽象語義提煉出來，并將其轉(zhuǎn)化為圖表，讓學(xué)生借助圖表描述和分析問題. 這樣的方式可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確加工信息、尋找等量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型，探索出問題解決的通性通法，從而培育學(xué)生靈動的數(shù)學(xué)探究素養(yǎng).

實施上述教學(xué)的目標(biāo)是讓學(xué)生自覺、主動地提煉關(guān)鍵詞語并用圖表來加以表示，然后通過其中的數(shù)量關(guān)系列方程從而解決問題. 上述教學(xué)方式能讓學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙，建立自信，能促進(jìn)學(xué)生直觀素養(yǎng)、模型思想的形成，并能讓學(xué)生總結(jié)出“提煉語義到圖表、策略到程序、問題到模型、求解實際問題”的通性通法.

善用學(xué)案導(dǎo)學(xué)，疑難觸碰發(fā)現(xiàn)障礙

活動：學(xué)案導(dǎo)學(xué)，獨自思考現(xiàn)障礙

試題1：在美術(shù)館舉辦的一次畫展中，展出的國畫和油畫共有100幅，其中油畫作品數(shù)量是國畫作品數(shù)量的2倍多7幅，求展出的國畫作品有多少幅.

試題2：甲隊有66人，乙隊有48人，現(xiàn)要從甲隊調(diào)出一部分人前往乙隊，使乙隊的人數(shù)是甲隊的2倍，求應(yīng)從甲隊調(diào)多少人去乙隊.

師生活動：對于學(xué)案導(dǎo)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生齊讀題后獨自思考，教師觀察大家的做題情況，發(fā)現(xiàn)并記錄學(xué)生存在的思維障礙.

設(shè)計意圖與思考 從兩道較簡單的實際應(yīng)用題入手，讓學(xué)生用一元一次方程求解. 通過觀察，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍存在的思維障礙主要來自以下方面：（1）缺乏生活經(jīng)驗，讀不懂題意，不知道提取關(guān)鍵詞;（2）找不著或找不準(zhǔn)等量關(guān)系，即使能找到等量關(guān)系，也不知如何設(shè)未知數(shù)、列方程;（3）對應(yīng)用題抱有恐懼心理、逃避心理，缺乏自信，不積極動腦思考;（4）習(xí)慣于用算術(shù)方法分析問題，不適應(yīng)用方程思想分析應(yīng)用題;（5）不重視分析等量關(guān)系，習(xí)慣套用題型，并用算術(shù)方法分析已知數(shù)與未知數(shù);（6）不能將未知量轉(zhuǎn)化為已知量，對等量關(guān)系缺乏理解，不能建立數(shù)學(xué)模型.

以上思維障礙的分析，為提取關(guān)鍵詞、列圖表解應(yīng)用題做了鋪墊.

發(fā)揮主體能動，圖表直觀建構(gòu)模型

1. 圖表填空，直觀、形象樹自信

例1 在美術(shù)館舉辦的一次畫展中，展出的國畫和油畫共有100幅，其中油畫作品數(shù)量是國畫作品數(shù)量的2倍多7幅，求展出的國畫作品有多少幅.

思路分析：設(shè)展出的國畫作品有x幅.

關(guān)鍵詞：國畫、油畫、總和.

等量語義：國畫數(shù)量+油畫數(shù)量=100.

列出方程：x+（2x+7）=100.

例2 甲隊有66人，乙隊有48人，現(xiàn)要從甲隊調(diào)出一部分人前往乙隊，使乙隊的人數(shù)是甲隊的2倍，求應(yīng)從甲隊調(diào)多少人去乙隊.

思路分析：設(shè)應(yīng)從甲隊調(diào)x人去乙隊.

關(guān)鍵詞：甲隊、乙隊，調(diào)配前、調(diào)配后.

等量語義：調(diào)配后乙隊的人數(shù)=調(diào)配后甲隊人數(shù)×2.

列出方程：48+x=2（66-x）.

師生活動：教師在PPT中展示題目，學(xué)生小組交流找出題目中的關(guān)鍵詞，并設(shè)未知數(shù)，教師引導(dǎo)學(xué)生把未知數(shù)x當(dāng)作已知條件，播放圖表，并讓學(xué)生填表. 學(xué)生經(jīng)歷了從實際問題中抽象出關(guān)鍵詞、找等量語義、分析數(shù)據(jù)、填寫圖表、建立模型、列出方程、板書解答的過程，這樣的過程是一個完整分析問題、解決問題的過程.

設(shè)計意圖與思考 從抽象語義中提取關(guān)鍵詞、轉(zhuǎn)化等量語義，引導(dǎo)學(xué)生把未知當(dāng)已知并填圖表，這樣的過程能讓學(xué)生產(chǎn)生強烈的探索欲望，能增強他們解決應(yīng)用題的數(shù)學(xué)自信，能促使他們快速集中精神投入新課的學(xué)習(xí).

2. 模仿操作，突破障礙成通法

問題1：一艘船從甲碼頭到乙碼頭順?biāo)校昧? h;從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用了2.5 h. 已知水流的速度是3 km/h，求該船在靜水中的平均速度.

思路分析：設(shè)該船在靜水中的平均速度為x km/h.？搖

關(guān)鍵詞：速度、時間、路程，順?biāo)⒛媪?

等量語義：順?biāo)烦?順?biāo)畷r間×順?biāo)俣?，逆流路?逆流時間×逆流速度，順?biāo)畷r間×順?biāo)俣?逆流時間×逆流速度.

列出方程：2（x+3）=2.5（x-3）.

問題2：甲、乙兩人需要加工400個零件，甲與乙先一起加工4 h，然后甲單獨加工6 h后完成了任務(wù). 已知甲比乙每小時少加工2個零件，求甲、乙每小時各加工多少個零件.

思路分析：設(shè)甲每小時加工x個零件，則乙每小時加工（x+2）個零件.

關(guān)鍵詞：甲、乙，工作效率、工作時間、工作總量.

等量語義：甲工作總量+乙工作總量=400.

列出方程：（4+6）x+4（x+2）=400.

師生活動：學(xué)生通過獨立思考?？嫉膶嶋H應(yīng)用題，模仿“例1”“例2”提取關(guān)鍵詞、轉(zhuǎn)化等量語義，然后進(jìn)行圖表分析、鞏固練習(xí). 上述教學(xué)過程，教師引導(dǎo)，學(xué)生給出思路分析、關(guān)鍵詞、等量語義、圖表，然后獨立完成解答，解題結(jié)束后小組交流、核對答案，教師用PPT展示解題分析過程.

設(shè)計意圖與思考 獨立完成、分組討論、交流釋疑，不僅能讓學(xué)生鞏固圖表法的應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的深度和廣度，還能讓學(xué)生從不同的角度組織感性材料，不斷地變換事物的非本質(zhì)屬性，突出圖表法的本質(zhì)屬性. 當(dāng)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系較為隱蔽，條件較多，不易理清脈絡(luò)時，學(xué)生可根據(jù)題意圈出關(guān)鍵詞、轉(zhuǎn)化等量語義、畫出表格，把題中的已知量、未知量、隱蔽條件和所求問題對應(yīng)填入表格，這樣就能快速地看出數(shù)量之間的關(guān)系，找出解題路徑. 利用圖表直觀建模是學(xué)生自身知識結(jié)構(gòu)發(fā)展的需要，也是增強學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力的有效手段，學(xué)生在探究和共同思考的過程中還能活躍思維.

3. 程序強化，共同探索展成果

問題3：某小組計劃做一批“中國結(jié)”. 如果每人做5個，那么會多做9個;如果每人做4個，那么會少做15個. 該小組共有多少名成員？他們計劃做多少個“中國結(jié)”？

思路分析：設(shè)該小組共有x名成員.

關(guān)鍵詞：方案一、方案二，工作效率、人數(shù)、計劃總數(shù)

等量語義：方案一的計劃總數(shù)=方案二的計劃總數(shù).

列出方程：5x-9=4x+15.

問題4：8年前父親的年齡是兒子年齡的4倍，現(xiàn)在兒子的年齡是父親年齡的一半. 求現(xiàn)在父親和兒子的年齡分別是多少歲.

思路分析：設(shè)現(xiàn)在兒子的年齡是x歲.

關(guān)鍵詞語：8年前、現(xiàn)在，父親的年齡、兒子的年齡.

等量語義：8年前父親的年齡+8=現(xiàn)在父親的年齡.

列出方程：4（x-8）+8=2x.

問題5：某商品的標(biāo)價為200元/件，七五折銷售后仍盈利20%，則該商品的進(jìn)價為每件多少元？

思路分析：設(shè)該商品的進(jìn)價為每件x元.

關(guān)鍵詞：某商品，售價、進(jìn)價、利潤.

等量語義：利潤=售價-進(jìn)價，利潤=利潤率×進(jìn)價.

列出方程：200×0.75-x=20%x.

師生活動：對于?？嫉哪挲g、經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用題，教師不參與、不給予引導(dǎo)，由學(xué)生獨立思考完成，能強化他們的建模解題程序，讓他們領(lǐng)悟通性通法. 學(xué)生獨立完成后，小組交流探討、核對答案，教師投影展示部分學(xué)生的解答過程.

設(shè)計意圖與思考？搖 教學(xué)過程中，教師檢測學(xué)生圈出關(guān)鍵詞、轉(zhuǎn)化等量語義、利用圖表直觀求解實際應(yīng)用題的學(xué)習(xí)效果，圍繞?？嫉膽?yīng)用題讓學(xué)生進(jìn)行多角度、多方向、多層次的變式思考與探索，豐富了課堂容量. 學(xué)生在討論中互相補充思維不嚴(yán)密、不完善的地方，以加深認(rèn)識，避免錯誤. 上述教學(xué)過程能讓學(xué)生深刻理解用方程解應(yīng)用題的通性通法.

勤做課后反思，拓展延伸回歸課堂

1. 反思回歸

要想在應(yīng)用題教學(xué)中提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，需要教師不斷地引導(dǎo)學(xué)生簡化題目，并直觀形象地去尋找解題思路. 教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生在讀懂題意的基礎(chǔ)上，通過轉(zhuǎn)化等量語義、列表構(gòu)圖來描述問題. 用一元一次方程解決實際問題的思維流程圖如圖1所示.

簡化語義、轉(zhuǎn)化等量語義、方程模型是應(yīng)用題學(xué)習(xí)的重點和難點. 本節(jié)課借助提取關(guān)鍵詞、等量語義，設(shè)計直觀圖表的方法進(jìn)行教學(xué)，化抽象為直觀.學(xué)習(xí)的目標(biāo)不應(yīng)僅限于解決某道應(yīng)用題，還應(yīng)通過類似的問題進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，以達(dá)到融會貫通，會一道通一類的效果.

2. 師生維度

要解決應(yīng)用題，簡化語義、轉(zhuǎn)化等量語義、圖表填空不是唯一的方法，也不是必須使用的方法，這只是學(xué)習(xí)過程中總結(jié)出的一種方法和經(jīng)驗. 但通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷了由實際問題抽象出方程模型的過程，能進(jìn)一步體會模型思想，并會用一元一次方程解決一些實際問題. 這樣輕松自如的解題過程，能讓學(xué)生感受成功、強化自信、活躍思維，能提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為他們核心素養(yǎng)的提高夯實基礎(chǔ).

教學(xué)“實際問題與一元一次方程”時，筆者按照上述的設(shè)計在所任教的班級以及借班教學(xué)中均取得了極好的反饋，學(xué)生表示這樣的方法很容易掌握. 在教學(xué)過程中，教師變傳授知識為引導(dǎo)學(xué)生思考，并給予學(xué)生充分的思考時間，學(xué)生則經(jīng)歷了問題情境難理解、圖表直觀易思考、遷移練習(xí)強程序、建模解題樹自信等一系列過程，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

3. 素養(yǎng)體現(xiàn)

上述教學(xué)過程，內(nèi)容豐富，層層遞進(jìn)，培養(yǎng)了學(xué)生閱讀題目、圈出關(guān)鍵詞、轉(zhuǎn)化等量語義、設(shè)計圖表填空、列方程建模的數(shù)學(xué)探究素養(yǎng)，能提高學(xué)生對問題類型的辨識能力，能有效提高學(xué)生尋找等量關(guān)系的速度，能提高學(xué)生利用等量關(guān)系或者抓住不變量列方程的建模能力，能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識求解生活實際問題、建立簡單數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是一個漸進(jìn)的過程，在教學(xué)過程中教師應(yīng)多從簡化和直觀兩方面去引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生，并不斷反思、總結(jié)自己的教學(xué)過程，長期躬耕探究.

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