唐德翔 郭昭全

摘? ?要：文章利用教學(xué)軟件對兩端固定的桿中兩列不同頻率駐波的疊加進(jìn)行了計算機(jī)動態(tài)模擬，模擬結(jié)果顯示：當(dāng)兩駐波頻率相差不大時，在短時間內(nèi)疊加的波動圖像主要反映駐波的特點(diǎn)，時間上具有準(zhǔn)同步性，空間上具有準(zhǔn)周期性，在長時間內(nèi)，兩波節(jié)之間的波動有行波的特點(diǎn)，振動強(qiáng)度在兩波節(jié)之間來回傳播;當(dāng)兩駐波頻率相差很大時，波動的整體圖像由低頻駐波決定，而局部由高頻駐波決定，并且都表現(xiàn)出強(qiáng)烈的同步特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：不同頻率;駐波疊加;計算機(jī)模擬

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）10-0016-4

在高中物理競賽輔導(dǎo)中，有學(xué)生在學(xué)習(xí)駐波后，提出了一個很有意思的問題：兩列駐波疊加后還是駐波嗎？一般的教科書只對兩列同頻率反向傳播的行波合成駐波這一情況進(jìn)行了詳細(xì)分析，而沒有對駐波之間疊加進(jìn)行討論。有文獻(xiàn)證明了兩列振動方向、波長和頻率都相同的駐波，若其波節(jié)位置錯開λ/4時，疊加后是一列行波[1];也有文獻(xiàn)進(jìn)一步討論了波節(jié)相對位置任意情況下兩列同頻率駐波疊加的情況，發(fā)現(xiàn)在一般情況下得到的是兩列傳播方向相反而振幅不等的同頻率行波[2];還有文獻(xiàn)對此給出了動態(tài)模擬[3]。

但這些文獻(xiàn)都只著眼于同頻率的駐波分析，是基于純數(shù)學(xué)的演算，沒有結(jié)合具體的物理情境。真實(shí)的駐波往往是由于傳播介質(zhì)的邊界條件限制造成的，這種情況下通常是不同頻率駐波的疊加，而不是同頻率駐波疊加。本文以兩端固定的桿中兩種不同頻率駐波疊加為例，先對其進(jìn)行理論分析，再借助幾何畫板對其動態(tài)情形進(jìn)行模擬和分析討論，以幫助學(xué)生建立不同頻率駐波疊加的物理圖像。

1? ? 理論分析

設(shè)一根長為L的桿，兩端被限制，波在桿上的傳播速度為u。桿上駐波的波長λ需滿足

當(dāng)m、n有大于1的公約數(shù)時，除了桿兩端外還有其他共同的波節(jié)，否則只有在桿兩端有共同的波節(jié)。

2? ? 兩列不同頻率駐波疊加的動態(tài)模擬及分析

1.兩列駐波有多個共同波節(jié)時的駐波圖像

取m=4，n=24，根據(jù)前文分析，疊加后駐波在x等于0，0.25L，0.5L，0.75L，L處有共同的波節(jié)。根據(jù)模擬所得動態(tài)圖情況，本文任意取兩個不同時刻的駐波圖像，如圖1所示。

由圖1可知，同一共同波節(jié)兩側(cè)的圖像是旋轉(zhuǎn)對稱的。所以，桿上質(zhì)點(diǎn)的振動和駐波疊加的波動圖像以相鄰兩共同波節(jié)之間的部分為基本單元，不同基本單元對應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)振動規(guī)律相同（最多相差相位π）。因此，只需研究兩相鄰共同波節(jié)之間的質(zhì)點(diǎn)就可以了。后文僅研究只在桿兩端點(diǎn)處有共同波節(jié)的情況，即m、n只有公約數(shù)1的情況。

2.駐波疊加的動態(tài)模擬

取m=19、n=20和m=3、n=20兩種情況，分別代表頻率差別不大和相差很大兩種典型情況模擬如下。

（1）情況1：m=19，n=20。

在0～T時間內(nèi)，兩列駐波各自完成了19次和20次完全波動，并回復(fù)到最初狀態(tài)。圖像的時間取樣分兩種方式：①在約1/20T=0.05T=T20內(nèi)，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)完成一次全振動，在此時間段內(nèi)均勻取5個時間點(diǎn)，以考察短時間內(nèi)駐波疊加波動情況，如圖2（a）所示;②在0～1/2T內(nèi)，均勻取5個時間點(diǎn)，以考察較長時間內(nèi)駐波疊加波動情況，如圖2（b）所示。

由圖2（a）可知，駐波疊加在短時間內(nèi)有如下特點(diǎn)：①振幅隨x變化成空間準(zhǔn)周期性。以t=0時刻的圖像為例，在桿上從x等于0到L，質(zhì)點(diǎn)振幅周期性變化，但振幅的局部最大值由Amax=2逐漸減小為0，顯示出空間的準(zhǔn)周期特點(diǎn)。②桿上各質(zhì)點(diǎn)振動的準(zhǔn)同步性。在t=0時，各質(zhì)點(diǎn)振動處于短時間內(nèi)的最大值;經(jīng)t=0.0128T≈1/4T20，x=0處振動位移為0，其余各質(zhì)點(diǎn)也幾乎同步達(dá)到最小，但從x等于0～L也有空間周期性波動變化并逐漸偏離更大;至t=0.0258T≈1/2T20時，各質(zhì)點(diǎn)位移再次同步達(dá)到最大，但相位與t=0時幾乎相反;再經(jīng)1/2T20，各質(zhì)點(diǎn)完成一個周期振動，幾乎回到t=0時的狀態(tài)。顯示了在一個準(zhǔn)周期T20時間內(nèi)，駐波疊加各質(zhì)點(diǎn)準(zhǔn)同步運(yùn)動的特點(diǎn)。

由2（b）可知，較長的時間內(nèi)桿上質(zhì)點(diǎn)的振動強(qiáng)度在桿兩端之間做周期性來回振蕩。在t=0時刻，x=0附近最大振幅最大（Amax≈2），而x=L附近最大振幅最?。ˋmax≈0）;在t=1/4T時，x=0與x=L處附近的最大振幅基本相等;在t=1/2T時，x=0附近最大振幅變?yōu)樽钚。ˋmax≈0），而x=L附近最大振幅達(dá)到最大（Amax≈2）;顯示振動強(qiáng)度在0～1/2T時間內(nèi)由左向右傳播的特點(diǎn)。由周期性和對稱性，很容易理解，再經(jīng)過半個周期（1/2T），x=0附近的最大振幅再次回到最大，而x=L附近的最大振幅也再次減到最小，即回到t=0時刻的狀態(tài)。由圖2（b）還可以看出，在x=L/2附近，最大振幅基本保持在Amax=1附近。表明兩駐波疊加使得振動強(qiáng)度在兩波節(jié)之間來回振蕩的特點(diǎn)，就像蹺蹺板的擺動一樣，即有振動形式和能量隨波流動傳遞現(xiàn)象，具有行波的一些特點(diǎn)。

由圖2可知，在短時間內(nèi)波動圖像主要反映的是駐波的特點(diǎn)，各質(zhì)點(diǎn)幾乎同步振動;而長時間看，兩波節(jié)之間的波動有行波的特點(diǎn)，振動在兩波節(jié)之間來回傳播。

（2）情況2：m=3，n=20。

由m=3可得慢周期為T3=1/3T，取慢周期的一半即1/2 T3內(nèi)6個時間點(diǎn)的波動圖如圖3所示。

由圖3可知，波動的整體圖像由m=3的低頻駐波決定，而局部狀態(tài)由n=20的高頻駐波決定。無論是低頻還是高頻，都表現(xiàn)出強(qiáng)烈的同步特點(diǎn)，即表現(xiàn)出兩種駐波簡單疊加的特點(diǎn)，好像高頻駐波對低頻駐波的圖像進(jìn)行了局部修飾一樣。而即使將考察時間取得更短（比如t=0～T20），這種特征也沒有變化（為節(jié)省文章篇幅，本文不再羅列這些圖像），表明在兩列駐波頻率差別較大時，疊加后的行波特征很不明顯，這與情況1中的結(jié)果明顯不同。

3? ? 結(jié)論與討論

（1）由以上模擬分析可知，兩列頻率不同的駐波疊加時，有以下一些主要波動特征：

①若兩列駐波有兩個以上的共同波節(jié)位置時，同一共同波節(jié)兩側(cè)的波動圖像具有旋轉(zhuǎn)對稱性，即兩相鄰波節(jié)之間基本單元的波動具有代表性。

②當(dāng)兩駐波頻率相差不大時，在短時間內(nèi)波動圖像主要反映的是駐波的特點(diǎn)，時間上具有準(zhǔn)同步性，空間上具有準(zhǔn)周期性;在長時間內(nèi)，兩波節(jié)之間的波動有行波的特點(diǎn)，振動強(qiáng)度在兩波節(jié)之間來回傳播。

③當(dāng)兩駐波頻率相差很大時，波動的整體圖像由低頻駐波決定，而局部由高頻駐波決定。無論是低頻還是高頻，都表現(xiàn)出強(qiáng)烈的同步特點(diǎn)，即駐波特點(diǎn)非常明顯，而行波特點(diǎn)極不明顯。

（2）本文重點(diǎn)對頻率這一參數(shù)的影響進(jìn)行了分析，對振幅A和初相位φ都做了簡單處理。很顯然，當(dāng)兩列駐波的振幅值相差很大時，小振幅駐波只是對大振幅駐波進(jìn)行了局部修飾調(diào)整，總的圖像是由大振幅振動決定的。初相位φ值若不同時，由于ωm≠ωn，總有時間t使等式（ωmt+φm）-（ωnt+φn）=2π成立，若將此時選為零時刻，則初始時刻兩列波具有相同的初相位。因此，φ值的不同并不影響兩列駐波疊加的本質(zhì)特征。

（3）不同駐波的疊加是物理學(xué)中很普遍的現(xiàn)象，除了本文討論的兩端固定桿（下轉(zhuǎn)第80頁）（上接第18頁）中的駐波，還有琴弦中的駐波，光學(xué)中的增透膜/高反膜[4]以及量子力學(xué)中勢阱中的物質(zhì)波[5]等，有時可能還有更多列駐波疊加，或者是二維、三維駐波疊加[6]，其情況必然更為復(fù)雜。本文對桿中兩列駐波疊加的討論，將有助于對更復(fù)雜情形下駐波疊加的物理圖像的構(gòu)建和理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]曲成寬.兩個駐波能疊加成一個行波[J].工科物理，2000（03）：11-12.

[2]李建青，袁松柳.關(guān)于兩個駐波疊加結(jié)果的討論[J].物理與工程，2002，12（04）：13-14.

[3]賈惠凱.兩駐波疊加為行波的討論及計算機(jī)動態(tài)模擬[J].云南師范大學(xué)學(xué)報，2003，23（01）：31-33.

[4]趙凱華.新概念物理·光學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002：125.

[5]格里菲斯（David J. Griffiths）.量子力學(xué)概論（翻譯版）[M].賈瑜，胡行，李玉曉，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009：22.

[6]漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程·力學(xué)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005：362.

[7]鄭永令，賈起民，方小敏.面向21世紀(jì)課程教材·力學(xué)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002：1435.

（欄目編輯? ? 趙保鋼）