翁 順，朱宏平

(華中科技大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北，武漢 430074)

土木工程有限元模型廣泛應(yīng)用于抗震抗風(fēng)模擬、振動(dòng)控制、損傷識(shí)別及優(yōu)化設(shè)計(jì)等方面。有限元模型修正方法的基本思想是以結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)[1]，將試驗(yàn)得到的信息與原始有限元模型分析結(jié)果進(jìn)行綜合比較。通過(guò)優(yōu)化約束，不斷修正模型物理參數(shù)，使理論值與試驗(yàn)值基本吻合，從而獲取更精確反映實(shí)際結(jié)構(gòu)特性的有限元模型。通過(guò)對(duì)比損傷前后有限元模型參數(shù)的變化，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別?；谟邢拊Ｐ托拚膿p傷識(shí)別方法，計(jì)算過(guò)程直觀、物理意義明確，能同步識(shí)別損傷位置和損傷程度，被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程。多項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)程中也明確規(guī)定結(jié)構(gòu)安全二級(jí)評(píng)估必須實(shí)施有限元模型修正[2]。近三十年，有限元模型修正方法迅速發(fā)展[1 ? 19]，在土木工程損傷識(shí)別與健康評(píng)估中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。

有限元模型修正是一個(gè)約束優(yōu)化問(wèn)題，屬于反問(wèn)題的一種。土木工程損傷識(shí)別通常需要建立精細(xì)化的有限元模型，包含上萬(wàn)乃至百萬(wàn)自由度，且待修正參數(shù)多。有限元模型修正過(guò)程，需要重復(fù)計(jì)算整體結(jié)構(gòu)模型的特征解，即使少數(shù)甚至一個(gè)修正參數(shù)發(fā)生改變(局部損傷)，也需要重新分析整體結(jié)構(gòu)模型。大量修正參數(shù)使優(yōu)化過(guò)程容易出現(xiàn)病態(tài)或者收斂緩慢的問(wèn)題，效率極低。特別是在考慮參數(shù)不確定性、結(jié)構(gòu)非線性等問(wèn)題時(shí)，土木工程的有限元模型修正和損傷識(shí)別更是難以完成。例如，Xia 等[3]對(duì)西澳大利亞州的Balla Balla 橋進(jìn)行了模型修正，該小型橋梁有限元模型包含4200 個(gè)自由度、1200 單元和1039 個(gè)修正參數(shù)，優(yōu)化過(guò)程迭代155 次收斂，花費(fèi)約420 h。對(duì)于大型土木工程，例如青馬橋[4]、廣州塔[5]包含上百萬(wàn)自由度、上萬(wàn)修正參數(shù)，即使使用功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)，使用常規(guī)方法修正有限元模型也非常困難。

用于有限元模型修正的動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)反映整體結(jié)構(gòu)信息，但是結(jié)構(gòu)損傷通常只是發(fā)生在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域。子結(jié)構(gòu)方法根據(jù)分界面上的位移協(xié)調(diào)條件和力平衡條件將整體結(jié)構(gòu)分解為若干個(gè)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)，將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的模型修正轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的模型修正。特別是在應(yīng)用于損傷識(shí)別時(shí)，只需要重復(fù)分析某些特定(損傷區(qū)域)的子結(jié)構(gòu)，避免重復(fù)計(jì)算整體結(jié)構(gòu)特性。此外，子結(jié)構(gòu)包含的待修正參數(shù)遠(yuǎn)少于整體結(jié)構(gòu)，有助于加速大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的收斂。從而有效地減輕大型結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析和有限元模型修正的計(jì)算負(fù)擔(dān)，在大型土木工程結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中具有顯著的優(yōu)勢(shì)。

本文將首先介紹基于有限元模型修正的損傷識(shí)別原理與過(guò)程。然后，詳細(xì)闡述用于土木工程損傷識(shí)別的子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法，包括正向子結(jié)構(gòu)方法和逆向子結(jié)構(gòu)方法；總結(jié)基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法在頻域、時(shí)域、不確定性分析、非線性分析中的研究進(jìn)展。最后，將傳統(tǒng)有限元模型修正方法和子結(jié)構(gòu)有限元模型方法用于一個(gè)實(shí)際超高層建筑數(shù)值模型的損傷識(shí)別中，對(duì)比分析損傷識(shí)別的精度和效率。

1 基于有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

對(duì)于土木工程這一類體積龐大、參數(shù)多，且存在各類不確定性和非線性的結(jié)構(gòu)，按照結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)詳細(xì)建立的有限元模型不可避免存在各種偏差，如邊界誤差、材料參數(shù)誤差、離散化誤差等。必須采用有限元模型修正技術(shù)使得有限元模型能真實(shí)反映實(shí)際工程結(jié)構(gòu)動(dòng)靜力特性[5]。

現(xiàn)有的有限元模型修正方法可分為矩陣型修正方法和參數(shù)型修正方法。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)土木工程中參數(shù)不確定性問(wèn)題和非線性問(wèn)題，建立了有限元模型修正的不確定性分析方法和非線性模型修正方法。

1.1 矩陣型有限元模型修正方法

矩陣型有限元模型修正方法直接修正有限元模型的剛度、質(zhì)量、阻尼等系統(tǒng)矩陣，使得修正后的系統(tǒng)矩陣計(jì)算的響應(yīng)與實(shí)測(cè)響應(yīng)吻合。為保證系統(tǒng)矩陣原有的帶狀、稀疏特性，同時(shí)對(duì)矩陣優(yōu)化問(wèn)題施加一些約束，例如振型的正交性[6]，矩陣的對(duì)稱性或正定性[7]，使得修正后系統(tǒng)矩陣與實(shí)測(cè)的系統(tǒng)矩陣盡可能接近。為保持目標(biāo)方程的一些特性，對(duì)修正矩陣的參數(shù)也施加約束，如最小范數(shù)[7]或最小秩[8]。目標(biāo)方程通常是由質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣的攝動(dòng)矩陣和施加約束的拉格朗日乘子的疊加[1]。楊朋超等[9]總結(jié)了各種矩陣型有限元模型修正方法，考慮對(duì)稱性、模態(tài)正交性及模態(tài)參與因子等約束，采用拉格朗日乘子算法，推導(dǎo)了質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的最優(yōu)解。

矩陣型有限元模型修正方法具有修正結(jié)果準(zhǔn)確和計(jì)算量小的優(yōu)勢(shì)，修正后的模型能夠精確“復(fù)制”試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)[10]。其缺點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)的連續(xù)性、修正后矩陣的稀疏性、對(duì)稱性不能得到保證；修正后的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)矩陣難以解釋、物理意義不明確；修正后的模型只在數(shù)學(xué)結(jié)果上與實(shí)際結(jié)構(gòu)相近而不具備實(shí)際工程意義。因此，近三十年，針對(duì)矩陣型有限元模型修正方法的研究逐步減少，在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別應(yīng)用中的報(bào)道較少。

1.2 參數(shù)型有限元模型修正方法

參數(shù)型有限元模型修正方法選取結(jié)構(gòu)自身物理參數(shù)(密度、單元?jiǎng)偠取⒉牧蠀?shù)等)作為修正參數(shù)，以有限元模型的動(dòng)力響應(yīng)特征值與實(shí)際結(jié)構(gòu)試驗(yàn)值的殘差為目標(biāo)函數(shù)，重復(fù)迭代調(diào)整物理參數(shù)取值，使目標(biāo)函數(shù)最小化，有限元模型修正的流程圖如圖1 所示。由于修正參數(shù)通常為結(jié)構(gòu)物理參數(shù)，該類方法的修正結(jié)果具有明確的物理意義，修正后的參數(shù)可用于損傷識(shí)別、狀態(tài)評(píng)估。參數(shù)型有限元模型修正方法能夠克服矩陣型模型修正方法的局限性，因此得到了更加廣泛的應(yīng)用。選取修正參數(shù)、構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)、迭代優(yōu)化算法和計(jì)算靈敏度矩陣是參數(shù)型有限元模型修正方法的關(guān)鍵步驟。

圖1 參數(shù)型有限元模型修正流程圖Fig.1 Flowchart of parameter-based finite element model updating

1.2.1 修正參數(shù)

修正參數(shù)的選擇是有限元模型修正的首要關(guān)鍵步驟[11]。選擇過(guò)多的修正參數(shù)不僅導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析和靈敏度分析中的計(jì)算負(fù)荷增加，而且可能導(dǎo)致模型修正過(guò)程中的不適定或溢出問(wèn)題[12]。因此，通常選擇不確定性較大、且對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)靜力特性影響較大的部分參數(shù)進(jìn)行修正。參數(shù)選擇方法主要分為三種：1) 綜合考慮物理意義和工程經(jīng)驗(yàn)的情況下選擇修正參數(shù)，通常選擇對(duì)結(jié)構(gòu)特性影響大的參數(shù)，如材料特性(彈性模量、密度等)，幾何特性(截面面積、截面慣性矩)和邊界條件等[5]；2) 基于靈敏度分析方法，求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)相對(duì)于參數(shù)的靈敏度，選取靈敏度大的參數(shù)作為待修正參數(shù)[12 ? 13]；3) 參數(shù)子集選擇方法，從各種組合的參數(shù)子集中挑選讓目標(biāo)方程殘差最小的參數(shù)子集[14 ? 15]。

1.2.2 目標(biāo)方程

目標(biāo)函數(shù)量化了實(shí)際結(jié)構(gòu)與有限元模型之間動(dòng)態(tài)特性的差異，通常定義為實(shí)際結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與有限元模型計(jì)算特征之間的殘差，例如：

式中：XE為實(shí)際結(jié)構(gòu)試驗(yàn)測(cè)量得到的特征；XA(r)為有限元模型的計(jì)算特征，可表達(dá)為修正參數(shù)r 的函數(shù)；r 為包含所有修正參數(shù)的向量。

根據(jù)測(cè)試的數(shù)據(jù)類型分類，用于構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的特征包括靜力數(shù)據(jù)(位移、應(yīng)變、應(yīng)力等)和動(dòng)力數(shù)據(jù)(頻率、振型、頻響函數(shù)等)[16]。靜力數(shù)據(jù)精度高，但對(duì)大型土木工程施加較大的靜力荷載難以實(shí)施，且測(cè)試會(huì)妨礙工程正常運(yùn)營(yíng)。因此，基于靜力數(shù)據(jù)的模型修正方法在實(shí)時(shí)在線結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中應(yīng)用較少[10 ? 11]。大量研究集中在基于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的有限元模型修正方法上[1, 10 ? 11]。

用于構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)包括頻域特征和時(shí)域特征。在頻域內(nèi)，頻率和振型是最早和最廣泛應(yīng)用于有限元模型修正和損傷識(shí)別的特征指標(biāo)。實(shí)測(cè)頻率可以直接運(yùn)用到有限元模型修正中。限于傳感器數(shù)目，實(shí)測(cè)振型的自由度要少于計(jì)算振型，需要通過(guò)模態(tài)縮聚或模態(tài)擴(kuò)展技術(shù)與振型自由度相匹配[17 ? 18]。頻率和振型可以分別用于構(gòu)建目標(biāo)方程[19 ? 20]，也可以通過(guò)權(quán)重系數(shù)[20 ? 21]聯(lián)合構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。由于頻率和振型往往對(duì)局部小損傷不敏感，且受噪聲影響大，導(dǎo)致?lián)p傷識(shí)別的精度較低[19 ? 20]。Meruane[22]用從傳遞矩陣中識(shí)別反共振頻率代替振型來(lái)構(gòu)建目標(biāo)方程，反共振頻率的識(shí)別難度小且精度高，同時(shí)包括了頻率和振型的結(jié)構(gòu)信息。一些模態(tài)參數(shù)的衍生指標(biāo)，如模態(tài)應(yīng)變能[23]、模態(tài)柔度[24]、應(yīng)變振型[21]、小波時(shí)頻數(shù)據(jù)[25]等，比頻率、振型對(duì)結(jié)構(gòu)局部變化更為敏感，也常用來(lái)構(gòu)建目標(biāo)方程。除模態(tài)參數(shù)外，頻響函數(shù)也用于構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)[26]。Lin 和Zhu[27]通過(guò)推導(dǎo)頻響函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度，提出自動(dòng)選擇有限頻率點(diǎn)方法，讓目標(biāo)函數(shù)包含盡可能多的信息，并將基于頻響函數(shù)的有限元模型修正方法應(yīng)用到有阻尼結(jié)構(gòu)。Gang 等[28]通過(guò)恰當(dāng)選擇測(cè)量頻率點(diǎn)和擴(kuò)充自由度，改進(jìn)有限元模型修正的精度和收斂性。

時(shí)域指標(biāo)直接運(yùn)用實(shí)測(cè)響應(yīng)數(shù)據(jù)及其衍生量作為目標(biāo)函數(shù)。最直接的時(shí)域指標(biāo)為直接測(cè)量的結(jié)構(gòu)加速度、速度、位移等指標(biāo)[29]，以實(shí)測(cè)時(shí)域數(shù)據(jù)與模型時(shí)域數(shù)據(jù)的殘差構(gòu)建目標(biāo)方程。與頻域指標(biāo)相比，時(shí)域指標(biāo)避免了數(shù)據(jù)時(shí)頻轉(zhuǎn)換的誤差，適用于非線性結(jié)構(gòu)等沒(méi)有表現(xiàn)模態(tài)特征的結(jié)構(gòu)；并且時(shí)域數(shù)據(jù)點(diǎn)較多，有利于保證有限元模型修正中優(yōu)化方程式的正定性[16]。

一些研究將動(dòng)力數(shù)據(jù)和靜力數(shù)據(jù)聯(lián)合起來(lái)構(gòu)建目標(biāo)方程，增加了數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)，同時(shí)也使有限元修正模型更能真實(shí)全面反映實(shí)際結(jié)構(gòu)特性。張啟偉和范立礎(chǔ)[30]采用基于靜動(dòng)力數(shù)據(jù)的有限元模型修正對(duì)一個(gè)懸臂梁進(jìn)行了損傷識(shí)別。

1.2.3 優(yōu)化算法

有限元模型修正是一個(gè)參數(shù)優(yōu)化過(guò)程，即尋找一組最優(yōu)參數(shù)使目標(biāo)方程最小化。常用的優(yōu)化算法，包括靈敏度算法[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[31]、仿生優(yōu)化算法[32 ? 34]等。其中，基于靈敏度分析的優(yōu)化算法[5]，利用結(jié)構(gòu)特征解對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的敏感程度，根據(jù)解的搜索方向進(jìn)行迭代優(yōu)化，具有搜索速度快、超線性收斂等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程的損傷識(shí)別和健康評(píng)估。其缺點(diǎn)是計(jì)算靈敏度矩陣耗時(shí)，且在非平滑連續(xù)處結(jié)構(gòu)的靈敏度不存在?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化算法是一種類似于人類神經(jīng)系統(tǒng)的信息處理技術(shù)，它通過(guò)學(xué)習(xí)有限元模型數(shù)據(jù)推出輸入與輸出的關(guān)系。雖然神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有超強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力和非線性映射能力，但是其學(xué)習(xí)的準(zhǔn)確度需要大量的學(xué)習(xí)樣本來(lái)保證[31]。仿生優(yōu)化算法包括遺傳算法[32]、粒子群算法[33]、蟻群算法[34]等。這種優(yōu)化算法依據(jù)生物智能選擇能耗最小、資源安排最高效得到啟發(fā)，仿生優(yōu)化算法的發(fā)展依托處理設(shè)備計(jì)算速度與功能的提高。

1.2.4 靈敏度矩陣

靈敏度即是目標(biāo)方程關(guān)于修正參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，其一方面可以用于選取最優(yōu)的修正參數(shù)，另一方面可給優(yōu)化目標(biāo)方程提供快速的搜索方向，加快優(yōu)化過(guò)程收斂。

以頻域指標(biāo)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時(shí)，計(jì)算特征值(頻率)和特征向量(振型)靈敏度主要包括三類方法：1) 有限差分法，估計(jì)特征解靈敏度為設(shè)計(jì)點(diǎn)特征解與其附近有限步長(zhǎng)點(diǎn)的特征解關(guān)于步長(zhǎng)的斜率[35]。該方法的誤差與步長(zhǎng)的選取有關(guān)；2) 模態(tài)法[36]，將特征向量靈敏度表達(dá)為所有特征向量的線性組合，該方法需要計(jì)算所有特征向量，大型結(jié)構(gòu)通常采用模態(tài)截?cái)嗟姆椒ㄈ〔糠帜B(tài)，會(huì)影響計(jì)算精度；3) Nelson 的方法[37]，是將特征向量靈敏度表達(dá)為一個(gè)齊次項(xiàng)和非齊次項(xiàng)之和，精度和效率較高。在這三種方法的基礎(chǔ)上，還發(fā)展出其他的計(jì)算方法，包括幾何法[38]、Lanczos 法[39]、迭代法[40]、奇異分解法[41]、攝動(dòng)法[42]、子結(jié)構(gòu)法[43]、模型縮聚法[44]等。頻響函數(shù)靈敏度的計(jì)算可通過(guò)模態(tài)疊加法，將頻響函數(shù)靈敏度表示為所有模態(tài)的疊加，進(jìn)而通過(guò)模態(tài)截?cái)嗟姆椒ㄌ岣哂?jì)算效率，通過(guò)補(bǔ)充舍棄模態(tài)的貢獻(xiàn)以提高計(jì)算精度[45]。時(shí)域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)靈敏度的計(jì)算，可對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求偏導(dǎo)，通過(guò)Newmark 方法或者Newton Rapson 方法計(jì)算偏導(dǎo)方程的響應(yīng)，作為時(shí)域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)靈敏度[46]。

參數(shù)型有限元模型修正方法優(yōu)化結(jié)構(gòu)物理參數(shù)，物理意義明確，對(duì)實(shí)際工程損傷評(píng)估具有指導(dǎo)意義；靈敏度分析為參數(shù)優(yōu)化提供快速搜索方向，是一種被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程的有限元模型修正方法。該類方法的進(jìn)步在一定程度上得益于優(yōu)化算法、靈敏度計(jì)算等數(shù)學(xué)方法的發(fā)展，以及硬件設(shè)備計(jì)算能力的提高，未來(lái)將在大型土木工程損傷評(píng)估中發(fā)揮越來(lái)越重要的作用。

1.3 不確定性有限元模型修正方法

有限元模型和測(cè)試數(shù)據(jù)都存在不確定性。模型不確定包括材料制作誤差、材料本構(gòu)關(guān)系建模誤差、邊界條件建模誤差、單元?jiǎng)澐终`差、非結(jié)構(gòu)特性建模誤差等[47]。測(cè)量不確定性主要包括測(cè)量噪聲和數(shù)據(jù)處理誤差。常用三種方法來(lái)考慮模型修正過(guò)程中的不確定性：蒙特卡洛法、攝動(dòng)法、貝葉斯法。

蒙特卡洛法生成大量服從特定概率密度分布的樣本點(diǎn)，對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)參數(shù)分別進(jìn)行有限元模型修正，然后從修正結(jié)果中估計(jì)修正參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性[48]。Mares 等[49]詳細(xì)闡述了蒙特卡洛法及其在概率參數(shù)估計(jì)上的應(yīng)用。蒙特卡洛法需要生成大量的分析數(shù)據(jù)來(lái)保證其修正結(jié)果的精度，計(jì)算效率低。

攝動(dòng)法通過(guò)引入微小變化量考慮不確定性[50]，給有限元模型修正方程的每個(gè)變量一個(gè)微小變化量，推導(dǎo)一個(gè)近似的微分方程來(lái)求解函數(shù)的不確定性，參數(shù)的一階矩和二階矩常用來(lái)估計(jì)參數(shù)的均值和方差。與傳統(tǒng)的基于靈敏度的有限元模型修正方法一樣，攝動(dòng)法要求修正參數(shù)的初值要接近真實(shí)值，當(dāng)攝動(dòng)量較大時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差，需要使用高階攝動(dòng)方程[51]。

基于貝葉斯理論的有限元模型修正方法，根據(jù)主觀已知修正參數(shù)先驗(yàn)分布信息和測(cè)試數(shù)據(jù)信息，識(shí)別修正參數(shù)的后驗(yàn)概率密度分布。Beck 和Karafygiotis[52 ? 53]詳細(xì)闡述了基于貝葉斯理論的模型修正過(guò)程，該方法不僅能獲得修正參數(shù)的最優(yōu)解，還能從它們聯(lián)合概率分布中評(píng)估參數(shù)不確定性水平。Lam 等[54]從環(huán)境數(shù)據(jù)中評(píng)估參數(shù)不確定性水平，并基于貝葉斯模型修正方法對(duì)IASC-ASCE基準(zhǔn)模型進(jìn)行了損傷識(shí)別。Yuen 和Katafygiotis[55]將該方法擴(kuò)展到隨機(jī)模型輸入未知的情況。該方法不需要響應(yīng)是平穩(wěn)的，也不需要基于輸入譜密度的參數(shù)先驗(yàn)信息。Cheung 和Beck[56]提出利用混合蒙特卡洛來(lái)求解貝葉斯模型修正問(wèn)題，適合于求解高緯度參數(shù)空間的優(yōu)化問(wèn)題，且不局限于模型的類別(線性或非線性)和測(cè)試數(shù)據(jù)的類型。

有限元模型和測(cè)試數(shù)據(jù)的不確定性會(huì)影響有限元模型修正和損傷識(shí)別的結(jié)果，研究參數(shù)識(shí)別過(guò)程中的不確定性問(wèn)題勢(shì)在必行。隨著統(tǒng)計(jì)理論與大數(shù)據(jù)分析方法的發(fā)展，為不確定性分析提供新的契機(jī)，這也將為考慮不確定性分析的有限元模型修正和損傷識(shí)別創(chuàng)造良好的條件。

1.4 非線性有限元模型修正方法

嚴(yán)格來(lái)講土木工程結(jié)構(gòu)是非線性的，線性只是特例或一種簡(jiǎn)化方法。例如，混凝土等材料本身的非線性引起的結(jié)構(gòu)非線性、結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形時(shí)產(chǎn)生的幾何非線性、結(jié)構(gòu)阻尼耗散的非線性、結(jié)構(gòu)邊界條件及狀態(tài)的非線性等。結(jié)構(gòu)的各種損傷也呈現(xiàn)出典型的非線性特征，如裂縫的產(chǎn)生和發(fā)展、節(jié)點(diǎn)的松動(dòng)和滑移、剛度退化等。土木工程結(jié)構(gòu)遭受地震、強(qiáng)風(fēng)等較強(qiáng)的荷載激勵(lì)時(shí)，表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性特征，必須采用非線性模型。目前，線性系統(tǒng)的模態(tài)分析理論并不適用于非線性系統(tǒng)，非線性有限元模型修正方法的發(fā)展沒(méi)有線性模型修正方法成熟，非線性有限元模型修正技術(shù)尚待進(jìn)一步發(fā)展[16]。

非線性模型修正方法主要包括頻域內(nèi)的諧波平衡方法[57]、本構(gòu)方程誤差法[58 ? 59]和時(shí)域內(nèi)的恢復(fù)力面法[60]、本征正交分解[61]。頻域方法一般將非線性特征表達(dá)為線性貢獻(xiàn)和非線性貢獻(xiàn)的疊加[59]，或?qū)⒎蔷€性貢獻(xiàn)的多維度高階特征線性化[58]。由于線性化過(guò)程損失了一些結(jié)構(gòu)信息，該方法不適用于復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu)的有限元模型修正[62]。時(shí)域方法通過(guò)輸入輸出振動(dòng)方程識(shí)別出非線性方程的恢復(fù)力[60]，或者將時(shí)間序列數(shù)據(jù)分解為非線性系統(tǒng)的正交基[61]，進(jìn)而以恢復(fù)力或非線性正交基構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)來(lái)修正非線性參數(shù)。Silva等[63]比較了頻域的非線性模型修正方法(諧波平衡法、本構(gòu)方程誤差法)和時(shí)域的非線性模型修正方法(恢復(fù)力面法、本征正交分解)，認(rèn)為時(shí)域方法比頻域方法計(jì)算效率高，其中恢復(fù)力面法是耗時(shí)最小且識(shí)別結(jié)果精度最高的模型修正方法。

土木工程結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)是非線性的，非線性有限元模型修正和損傷識(shí)別更能反映土木工程的本質(zhì)特征。隨著非線性動(dòng)力分析的發(fā)展和設(shè)備計(jì)算能力的提高，非線性有限元模型修正將為土木工程損傷評(píng)估提供更貼切、更可靠的信息。

1.5 基于有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

當(dāng)結(jié)構(gòu)損傷導(dǎo)致其剛度參數(shù)發(fā)生變化，運(yùn)用有限元模型修正方法來(lái)識(shí)別損傷前后結(jié)構(gòu)的剛度參數(shù)變化，從而根據(jù)剛度參數(shù)變化的位置和程度實(shí)現(xiàn)損傷的定位和定量?；谟邢拊Ｐ托拚膿p傷識(shí)別過(guò)程分為兩個(gè)階段，具體流程如圖2所示。

圖2 基于有限元模型修正的損傷識(shí)別過(guò)程Fig.2 Flowchart of damage identification based on finite element model updating

第一個(gè)過(guò)程，建立結(jié)構(gòu)未損狀態(tài)下的有限元模型，即基準(zhǔn)模型。初始有限元模型尚不能準(zhǔn)確反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的特性，需要通過(guò)對(duì)其材料參數(shù)、截面尺寸、約束條件進(jìn)行修正，避免初始建模誤差對(duì)第二個(gè)過(guò)程中損傷識(shí)別結(jié)果的影響。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)過(guò)程的有限元模型修正完成，將修正好的模型作為精準(zhǔn)的未損狀態(tài)結(jié)構(gòu)有限元模型。在第二個(gè)過(guò)程中，由于第一個(gè)過(guò)程已經(jīng)對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量約束等進(jìn)行修正，則認(rèn)為只有損傷造成剛度變化，其他因素是不變的。因此，以單元?jiǎng)偠茸鳛榇拚齾?shù)，利用現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的損傷結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)基準(zhǔn)模型進(jìn)行模型修正，得到損傷后的剛度參數(shù)，從而識(shí)別損傷位置和損傷程度。

Brownjohn 等[64]利用實(shí)測(cè)振型和頻率，采用基于靈敏度的有限元模型修正方法識(shí)別了實(shí)際橋梁的損傷狀況。Fritzen 等[65]利用基于頻響函數(shù)靈敏度的有限元修正方法識(shí)別實(shí)際結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度。Abdel[66]、Jaishi 和Ren[23]分別推導(dǎo)了模態(tài)曲率靈敏度和模態(tài)柔度靈敏度的計(jì)算方法，建立了基于模態(tài)曲率和模態(tài)柔度的有限元模型修正方法，完成實(shí)際橋梁的損傷識(shí)別。Lu 和Law[67]提出了基于動(dòng)力響應(yīng)靈敏度的模型修正方法，識(shí)別了一個(gè)小型橋梁的損傷狀況。針對(duì)實(shí)際工程的損傷識(shí)別中，為提高有限元模型修正計(jì)算效率，通常會(huì)采用簡(jiǎn)化的有限元模型，或者從有限元模型的眾多不確定性參數(shù)中選取少數(shù)待修正參數(shù)，在不同程度上通過(guò)犧牲有限元模型的精度來(lái)提高模型修正過(guò)程的效率，修正后的模型難以準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的一些真實(shí)損傷狀況。

基于有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，計(jì)算過(guò)程直觀、物理意義明確，能識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷發(fā)生的位置和損傷程度，并根據(jù)模型物理參數(shù)的變化評(píng)估結(jié)構(gòu)安全狀況，是了解和掌握結(jié)構(gòu)安全狀況最直接、最準(zhǔn)確的途徑。然而，土木工程結(jié)構(gòu)有限元模型龐大，不確定性參數(shù)多，導(dǎo)致基于有限元模型修正的損傷識(shí)別過(guò)程效率低、精度差，特別是在考慮不確定性和非線性后，耗時(shí)巨大甚至是無(wú)法實(shí)施。雖然現(xiàn)有硬件設(shè)備具有日益強(qiáng)大的計(jì)算能力，為大型土木工程有限元模型修正計(jì)算創(chuàng)造了良好的條件，但是大型土木工程精細(xì)化有限元模型修正和損傷識(shí)別仍然難以實(shí)現(xiàn)[3 ? 5]，計(jì)算方法上的突破仍然是土木工程研究者與實(shí)踐者需要努力的方向。

2 基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

為保證損傷識(shí)別的精度，土木工程通常需要建立比較精細(xì)的有限元模型，包含大量單元、節(jié)點(diǎn)、自由度和待修正參數(shù)。有限元模型修正屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的逆問(wèn)題，大尺寸模型的動(dòng)力分析精度極低，大量待識(shí)別參數(shù)使參數(shù)識(shí)別過(guò)程容易出現(xiàn)病態(tài)或者收斂緩慢的問(wèn)題。

用于有限元模型修正的動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)反映整體結(jié)構(gòu)信息，但是結(jié)構(gòu)損傷通常只是發(fā)生在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域。子結(jié)構(gòu)方法將整體結(jié)構(gòu)分解為獨(dú)立的子結(jié)構(gòu)，通過(guò)協(xié)調(diào)條件將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的分析，是解決有限元模型修正精度低、效率低的有效方法。子結(jié)構(gòu)方法應(yīng)用于大型土木工程結(jié)構(gòu)有限元模型修正有如下優(yōu)勢(shì)[68 ? 70]：

1) 各子結(jié)構(gòu)之間相互獨(dú)立，采用不同的方法獨(dú)立分析，獨(dú)立存儲(chǔ)，并行計(jì)算；

2) 將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的分析，子結(jié)構(gòu)模型尺寸遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)模型，將減少模型分析時(shí)間，從而降低對(duì)分析計(jì)算設(shè)備的需求；

3) 獨(dú)立子結(jié)構(gòu)修正參數(shù)的數(shù)量遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)修正參數(shù)的數(shù)量，從而加速優(yōu)化過(guò)程的收斂，獲取更精確的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果。

4) 子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法用于損傷識(shí)別中，由于損傷往往發(fā)生在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域，只需對(duì)少數(shù)關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，避免了對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行反復(fù)運(yùn)算。

子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法分為兩類：第一類為正向子結(jié)構(gòu)方法，通過(guò)子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)組集得到整體結(jié)構(gòu)特征參數(shù)，進(jìn)而修正結(jié)構(gòu)參數(shù)使得整體模型特征參數(shù)與測(cè)量得到的整體特征參數(shù)相吻合；第二類為逆向子結(jié)構(gòu)方法，將整體結(jié)構(gòu)試驗(yàn)特征參數(shù)分解為獨(dú)立子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)特征參數(shù)，進(jìn)而修正獨(dú)立子結(jié)構(gòu)模型。

2.1 正向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法

正向子結(jié)構(gòu)方法的核心思想是將整體結(jié)構(gòu)特征參數(shù)表達(dá)為獨(dú)立子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)的疊加。該方法的過(guò)程是[70]：首先，將整體結(jié)構(gòu)有限元模型劃分為若干個(gè)獨(dú)立的子結(jié)構(gòu)模型，計(jì)算子結(jié)構(gòu)模型的振動(dòng)特性；然后，組集子結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性得到整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性；最后，通過(guò)優(yōu)化過(guò)程調(diào)整子結(jié)構(gòu)物理參數(shù)，使得整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性與實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)損傷識(shí)別(如圖3 所示)。用作有限元模型修正的振動(dòng)特性包括頻域特性(頻率、振型、頻響函數(shù)等)和時(shí)域特性(加速度、位移等時(shí)程響應(yīng))。

圖3 正向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正流程圖Fig.3 Flowchart of model updating based on forward substructure

1) 基于子結(jié)構(gòu)的頻域特征計(jì)算方法

頻域子結(jié)構(gòu)方法主要用來(lái)快速計(jì)算結(jié)構(gòu)的特征解(頻率)和特征向量(振型)。Kron 子結(jié)構(gòu)[68]方法通過(guò)拉格朗日乘子和虛功原理在相鄰子結(jié)構(gòu)界面施加位移約束組集各個(gè)子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)。該方法精度高，且適用于復(fù)雜的分界面，但是Kron 子結(jié)構(gòu)方法需要計(jì)算每個(gè)子結(jié)構(gòu)所有階模態(tài)，效率極低，對(duì)較大子結(jié)構(gòu)難以完成。Weng 等[69]只保留了部分模態(tài)來(lái)改進(jìn)Kron 子結(jié)構(gòu)方法的計(jì)算效率，同時(shí)通過(guò)剩余柔度補(bǔ)充舍棄模態(tài)的貢獻(xiàn)來(lái)保證方法的精度，該方法也被擴(kuò)展到快速計(jì)算特征解靈敏度[71]。模態(tài)綜合法是將結(jié)構(gòu)特征解表達(dá)為子結(jié)構(gòu)模態(tài)的疊加[72 ? 75]。子結(jié)構(gòu)模態(tài)分為正交模態(tài)、剛體模態(tài)、約束模態(tài)和附加模態(tài)。根據(jù)子結(jié)構(gòu)界面約束類型，模態(tài)綜合法分為固定界面模態(tài)綜合法和自由界面模態(tài)綜合法。子結(jié)構(gòu)方法也被用來(lái)通過(guò)子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)快速計(jì)算整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)[75 ? 80]。Klerk 等[75]綜述了基于子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)計(jì)算方法，包括阻抗耦合法[76]、導(dǎo)納耦合法[77]、拉格朗日乘子耦合法[78]。Lim 和Li[79]用最小二乘法和縮聚的奇異值分解法來(lái)改進(jìn)子結(jié)構(gòu)方法計(jì)算頻響函數(shù)的精度。Law 和Ihlenfeldt[80]將基于子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)計(jì)算方法拓展到計(jì)算結(jié)構(gòu)多點(diǎn)柔度特征。

2) 基于子結(jié)構(gòu)的時(shí)域特征計(jì)算方法

時(shí)域子結(jié)構(gòu)方法快速計(jì)算結(jié)構(gòu)時(shí)程響應(yīng)[81,82]和脈沖響應(yīng)函數(shù)[83]。Zhu 等[82]基于Kron 子結(jié)構(gòu)方法將整體結(jié)構(gòu)時(shí)程響應(yīng)表達(dá)為獨(dú)立子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的疊加，為提高計(jì)算效率只保留了部分子結(jié)構(gòu)低階模態(tài)，舍棄的高階模態(tài)的貢獻(xiàn)通過(guò)考慮一階效應(yīng)和二階效應(yīng)的指標(biāo)來(lái)補(bǔ)償，并推導(dǎo)了基于子結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)靈敏度計(jì)算方法，應(yīng)用于超高層建筑的損傷識(shí)別。Gruber 等[84 ? 85]將模態(tài)綜合法拓展到時(shí)域計(jì)算結(jié)構(gòu)位移，并轉(zhuǎn)換到狀態(tài)域計(jì)算非比例阻尼線性系統(tǒng)時(shí)程響應(yīng)。時(shí)域子結(jié)構(gòu)方法通過(guò)一定約束條件組集子結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，也被用于快速計(jì)算整體結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)函數(shù)。Gordis[83,86]通過(guò)對(duì)子結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行杜哈梅積分和模態(tài)疊加法得到整體結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)函數(shù)，用于瞬時(shí)沖擊或敲擊荷載作用下的動(dòng)力分析和模型修正?；谧咏Y(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)計(jì)算方法也被應(yīng)用到剛性-彈性混合節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)的有限元模型修正中[87]。

在正向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正過(guò)程中，當(dāng)結(jié)構(gòu)損傷引起局部參數(shù)發(fā)生改變，只需要重新計(jì)算一個(gè)或者幾個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，其他子結(jié)構(gòu)保持不變，即可快速計(jì)算整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，通過(guò)修正少數(shù)子結(jié)構(gòu)模型實(shí)現(xiàn)損傷識(shí)別，極大地提高了有限元模型修正的效率。

2.2 逆向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法

逆向子結(jié)構(gòu)方法通過(guò)探索整體結(jié)構(gòu)與獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的位移、力等參數(shù)的相似性，以及子結(jié)構(gòu)分界面處位移平衡、力協(xié)調(diào)等約束條件，建立整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性與獨(dú)立子結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性之間的聯(lián)系。進(jìn)而，將整體結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)特征參數(shù)分解為獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)特征參數(shù)。將子結(jié)構(gòu)完全從整體結(jié)構(gòu)中分離出來(lái)，成為獨(dú)立自由的個(gè)體。最后，建立獨(dú)立子結(jié)構(gòu)有限元模型，以獨(dú)立子結(jié)構(gòu)模型的特征參數(shù)和子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)特征參數(shù)的殘差作為優(yōu)化目標(biāo)，以獨(dú)立自由的子結(jié)構(gòu)模型為修正對(duì)象，其他的子結(jié)構(gòu)并不參與模型修正過(guò)程，基于逆向子結(jié)構(gòu)的有限元模型修正過(guò)程如圖4 所示。逆向子結(jié)構(gòu)方法的實(shí)質(zhì)是將整體結(jié)構(gòu)上測(cè)得的特征參數(shù)通過(guò)建立數(shù)學(xué)方程分解為局部區(qū)域的特征參數(shù)，進(jìn)而對(duì)某一個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正。從整體結(jié)構(gòu)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取的子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)包括頻域特征參數(shù)和時(shí)域特性參數(shù)。

圖4 逆向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正流程圖Fig.4 Flowchart of model updating based on inverse substructure

1) 頻域內(nèi)逆向子結(jié)構(gòu)法

頻域逆向子結(jié)構(gòu)方法的關(guān)鍵是建立子結(jié)構(gòu)特征解和整體結(jié)構(gòu)特征解的關(guān)系，然后再?gòu)恼w結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取出子結(jié)構(gòu)頻域特征參數(shù)。Doebling 等[88]根據(jù)預(yù)先假定的子結(jié)構(gòu)連接性和應(yīng)變能量分布從整體剛度和柔度矩陣中提取出了子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，進(jìn)而從形狀方程和幾何關(guān)系中計(jì)算子結(jié)構(gòu)特征向量，并通過(guò)線性最小二乘法求解子結(jié)構(gòu)特征值。Alvin 和Park[89]依據(jù)力法基本原理，基于力轉(zhuǎn)換矩陣從整體柔度矩陣中提取出子結(jié)構(gòu)柔度矩陣。由于轉(zhuǎn)換矩陣的計(jì)算非常耗時(shí)，這種方法主要用于簡(jiǎn)單梁結(jié)構(gòu)的計(jì)算。Park和Reich[90]綜述了從整體測(cè)量數(shù)據(jù)中提取子結(jié)構(gòu)特征的柔度法，包括自由-自由子結(jié)構(gòu)柔度法、基于變形的柔度法、基于應(yīng)變的柔度法。Hou 等[91]根據(jù)虛擬變形方法推導(dǎo)了子結(jié)構(gòu)隔離方法，將其他子結(jié)構(gòu)對(duì)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的作用等效為一個(gè)虛擬力，利用分界面的虛擬力變形隔離出一個(gè)不受其余子結(jié)構(gòu)影響的目標(biāo)子結(jié)構(gòu)。

Weng 等[92]根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件和力平衡方程從整體模態(tài)數(shù)據(jù)提取出了子結(jié)構(gòu)柔度矩陣，并建立正交投影算子剔除子結(jié)構(gòu)剛體模態(tài)用于自由子結(jié)構(gòu)的分析[93]。從子結(jié)構(gòu)柔度矩陣中提取子結(jié)構(gòu)頻率和振型，以獨(dú)立子結(jié)構(gòu)為對(duì)象構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算靈敏度矩陣，并修正獨(dú)立子結(jié)構(gòu)模型[94]。由于結(jié)構(gòu)損傷通常發(fā)生在局部區(qū)域，子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)比整體結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)對(duì)損傷更加敏感。該方法用于廣州塔的有限元模型修正和損傷識(shí)別[94]，局部小損傷對(duì)子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的改變量為1.84%，而對(duì)整體結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的改變量?jī)H為0.01%，證實(shí)了子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)比整體結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)對(duì)局部損傷更加敏感。以所提取的子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)修正目標(biāo)子結(jié)構(gòu)有限元模型，系統(tǒng)方程的尺寸從21 690×21 690 縮小為2736×2736，基于逆向子結(jié)構(gòu)的有限元模型修正時(shí)間為整體有限元模型修正時(shí)間的10%，極大地提高了基于有限元模型修正的損傷識(shí)別的精度和效率。

2) 時(shí)域內(nèi)逆向子結(jié)構(gòu)法

在時(shí)域內(nèi)，如果能提取目標(biāo)子結(jié)構(gòu)與其他子結(jié)構(gòu)的界面力，那么就可以將界面力當(dāng)作輸入力作用在目標(biāo)子結(jié)構(gòu)上，將目標(biāo)子結(jié)構(gòu)從整體結(jié)構(gòu)中分離出來(lái)，作為一個(gè)獨(dú)立的結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析[95]，并對(duì)該獨(dú)立子結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正和損傷識(shí)別。因此，時(shí)域內(nèi)逆向子結(jié)構(gòu)方法的關(guān)鍵是獲取目標(biāo)子結(jié)構(gòu)與其他子結(jié)構(gòu)的界面力。

獲取子結(jié)構(gòu)界面力最直接的方法是測(cè)量界面處的響應(yīng)，通過(guò)界面處的響應(yīng)來(lái)計(jì)算界面力。Koh等[95]測(cè)量每個(gè)子結(jié)構(gòu)分界面結(jié)點(diǎn)的位移、速度、加速度，通過(guò)參數(shù)優(yōu)化方法識(shí)別其他子結(jié)構(gòu)對(duì)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的界面力。Yun 和Lee[96]構(gòu)建界面處加速度響應(yīng)與界面力的時(shí)間序列模型，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法從復(fù)雜結(jié)構(gòu)中提取子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)和子結(jié)構(gòu)界面力[97]。這些方法需要測(cè)量界面處所有自由度的響應(yīng)數(shù)據(jù)，在實(shí)驗(yàn)室模型試驗(yàn)中取得較好的結(jié)果。在實(shí)際工程中，測(cè)量目標(biāo)子結(jié)構(gòu)所有界面結(jié)點(diǎn)的所有響應(yīng)難以實(shí)施。一些研究試圖通過(guò)數(shù)學(xué)變換來(lái)消除目標(biāo)子結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程中與界面結(jié)點(diǎn)有關(guān)的項(xiàng)，以避免測(cè)量子結(jié)構(gòu)界面處所有結(jié)點(diǎn)響應(yīng)。Koh 和Shankar[98]使用傳遞方程來(lái)關(guān)聯(lián)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的響應(yīng)和另一個(gè)結(jié)點(diǎn)的激勵(lì)，測(cè)量同樣激勵(lì)條件下目標(biāo)子結(jié)構(gòu)上多組響應(yīng)數(shù)據(jù)，建立轉(zhuǎn)換矩陣將子結(jié)構(gòu)界面上未測(cè)量的響應(yīng)轉(zhuǎn)換為已測(cè)響應(yīng)的函數(shù)。Tee 等[99]將模型縮聚和恢復(fù)方法融合，解決子結(jié)構(gòu)界面處不完備測(cè)量的問(wèn)題。

針對(duì)實(shí)際工程中目標(biāo)子結(jié)構(gòu)界面處測(cè)量不完備的難題，另一種處理方法是將子結(jié)構(gòu)界面力當(dāng)作未知參數(shù)，在有限元模型修正過(guò)程中與其余待識(shí)別參數(shù)同步識(shí)別。Li 和Law[100]融合響應(yīng)重構(gòu)方法和傳遞方程，采用基于靈敏度的有限元模型修正方法同步識(shí)別子結(jié)構(gòu)界面力和損傷參數(shù)。Zhu等[101]將移動(dòng)荷載和子結(jié)構(gòu)界面力表示為切比雪夫多項(xiàng)式，推導(dǎo)了在狀態(tài)域內(nèi)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)關(guān)于結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)偠葏?shù)和切比雪夫多項(xiàng)式因子的靈敏度，通過(guò)子結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)和靈敏度分析方法同步識(shí)別移動(dòng)列車(chē)荷載作用下軌道參數(shù)和列車(chē)荷載。

逆向子結(jié)構(gòu)方法建立整體結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特征與獨(dú)立子結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特征的聯(lián)系，將子結(jié)構(gòu)完全從整體結(jié)構(gòu)中分離出來(lái)，成為獨(dú)立自由的個(gè)體，對(duì)獨(dú)立自由的子結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行有限元模型修正。用于大型土木工程的損傷識(shí)別時(shí)，只需要建立局部損傷區(qū)域的有限元模型，修正獨(dú)立的局部子結(jié)構(gòu)模型，而其他大部分未損區(qū)域不參與有限元建模和修正過(guò)程，是提高大型結(jié)構(gòu)有限元模型修正計(jì)算效率最理想的途徑。由于整體結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)參數(shù)包含測(cè)量噪聲等誤差，且整體結(jié)構(gòu)特征參數(shù)與子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)關(guān)系復(fù)雜，在提取子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)時(shí)這些誤差會(huì)被放大和積累，因此，如何在數(shù)學(xué)方法上降低整體-子結(jié)構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性，提高子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)特征參數(shù)的精度，是目前逆向子結(jié)構(gòu)方法亟待解決的難題。

2.3 考慮不確定性的子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法

大型結(jié)構(gòu)有限元模型修正過(guò)程非常耗時(shí)，考慮不確定性分析后，需要對(duì)大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)分析，勢(shì)必進(jìn)一步增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。一方面，子結(jié)構(gòu)方法可以對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)分別建立統(tǒng)計(jì)模型，對(duì)包含支座、損傷等不確定性較大的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行重復(fù)統(tǒng)計(jì)分析，避免了反復(fù)分析整個(gè)結(jié)構(gòu)。另一方面，對(duì)每個(gè)子結(jié)構(gòu)分別建立統(tǒng)計(jì)模型，而不是對(duì)整體結(jié)構(gòu)建立統(tǒng)一的統(tǒng)計(jì)模型，精度更高。

Beck 等[102]將貝葉斯方法引入子結(jié)構(gòu)方法中，通過(guò)子結(jié)構(gòu)參數(shù)的先驗(yàn)概率估計(jì)整體結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，減少了不確定性有限元模型修正的時(shí)間。Tran 等[103]將子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法與蒙特卡洛方法相結(jié)合，Chentouf 等[104]評(píng)估了兩種模態(tài)綜合法在基于蒙特卡洛不確定分析中的魯棒性。蒙特卡洛方法產(chǎn)生大量樣本點(diǎn)，并對(duì)大量樣本點(diǎn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)有限元模型修正和損傷識(shí)別計(jì)算，子結(jié)構(gòu)方法有效減少了大量重復(fù)計(jì)算負(fù)擔(dān)。梁鋒[105]將子結(jié)構(gòu)方法與攝動(dòng)法相結(jié)合，建立子結(jié)構(gòu)物理參數(shù)、子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)、整體結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)、整體結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)參數(shù)的定量關(guān)系，基于攝動(dòng)法推導(dǎo)了不確定性參數(shù)的一階和二階統(tǒng)計(jì)矩，提高了大型結(jié)構(gòu)不確定性分析的效率。

子結(jié)構(gòu)方法可以對(duì)各獨(dú)立子結(jié)構(gòu)分別建立統(tǒng)計(jì)模型，不僅精度更高，而且將重復(fù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算限制在少數(shù)子結(jié)構(gòu)內(nèi)，為大型結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別及其概率估計(jì)提供了高效率、高精度的途徑。

2.4 非線性子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法

土木工程非線性通常存在于結(jié)構(gòu)的局部位置，例如非線性支撐或非線性連接，結(jié)構(gòu)損傷也是一種局部非線性發(fā)展過(guò)程。局部非線性特征使整個(gè)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)非線性行為，必須對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性動(dòng)力分析。常用直接積分法、諧波平衡法求解非線性方程，大型結(jié)構(gòu)的非線性計(jì)算非常耗時(shí)。子結(jié)構(gòu)方法考慮局部非線性特征分別建立非線性子結(jié)構(gòu)和線性子結(jié)構(gòu)，對(duì)線性子結(jié)構(gòu)采用線性疊加、動(dòng)態(tài)縮聚等高效的動(dòng)力分析方法，將耗時(shí)的非線性動(dòng)力分析限制在局部子結(jié)構(gòu)內(nèi)，極大地提高非線性動(dòng)力分析及有限元模型修正的效率。

Praveen 和Padmanabhan[106]依據(jù)整體結(jié)構(gòu)的非線性特征，將剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分為主自由度和從自由度，與非線性區(qū)域和外力自由度相關(guān)的部分作為主自由度，其余的線性區(qū)域作為從自由度。對(duì)主自由度進(jìn)行耗時(shí)的非線性動(dòng)力分析，非線性修正力施加到線性部分作為非線性效應(yīng)影響，以提高計(jì)算效率。Weng 等[107]將整體非線性結(jié)構(gòu)分解為線性子結(jié)構(gòu)和非線性子結(jié)構(gòu)，將線性子結(jié)構(gòu)表達(dá)為低階模態(tài)的疊加從而縮減線性子結(jié)構(gòu)方程尺寸，非線性結(jié)構(gòu)保持原狀。由于土木工程中大部分區(qū)域?yàn)榫€性，耗時(shí)的非線性動(dòng)力分析和參數(shù)識(shí)別被限制在少數(shù)非線性子結(jié)構(gòu)內(nèi)，所計(jì)算的地震荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)被用于非線性參數(shù)識(shí)別中。Apiwattanalunggarn 等[108]引入子結(jié)構(gòu)非線性正交模態(tài)，通過(guò)模態(tài)綜合法縮減線性子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)非線性正交模態(tài)縮減非線性子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，非線性正交模態(tài)是線性正交模態(tài)的拓展，它們通過(guò)線性約束模態(tài)耦合起來(lái)[109]。

非線性子結(jié)構(gòu)方法將耗時(shí)的非線性動(dòng)力分析限制在局部子結(jié)構(gòu)內(nèi)，并極大地縮聚線性子結(jié)構(gòu)尺寸，為土木工程局部非線性動(dòng)力分析、參數(shù)識(shí)別和損傷識(shí)別開(kāi)辟了一個(gè)高效的途徑。

2.5 基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

由于土木工程損傷通常發(fā)生在局部區(qū)域，在判定結(jié)構(gòu)損傷區(qū)域后，可只對(duì)發(fā)生損傷的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正，而其他大部分未損結(jié)構(gòu)保持不變，將提高損傷識(shí)別的精度和效率。

Weng 等[70]推導(dǎo)了基于正向子結(jié)構(gòu)的特征解和特征解靈敏度求解方法，建立了基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，完成澳大利亞Balla Balla 橋的損傷識(shí)別；并進(jìn)一步提取獨(dú)立子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)柔度矩陣，建立了逆向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法，應(yīng)用于廣州塔的損傷識(shí)別[92,94]。Zhu 等[83]利用子結(jié)構(gòu)方法推導(dǎo)結(jié)構(gòu)位移和位移靈敏度的快速計(jì)算方法，通過(guò)子結(jié)構(gòu)有限元模型修正過(guò)程對(duì)武漢長(zhǎng)江航運(yùn)中心進(jìn)行損傷識(shí)別。Yu 等[110]推導(dǎo)了固定界面模態(tài)綜合法、自由界面模態(tài)綜合法[111]計(jì)算結(jié)構(gòu)特征靈敏度，并基于特征解和特征靈敏度對(duì)一框架建筑進(jìn)行了損傷識(shí)別。Lam 和Yang[112]綜合貝葉斯模型修正和子結(jié)構(gòu)方法，依據(jù)試驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了鋼塔的損傷識(shí)別。Jensen 等[113]在時(shí)域內(nèi)建立了貝葉斯模型修正和損傷識(shí)別方法，其中子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法用來(lái)縮小模型的尺寸。Xu 等[29]提出了多尺度子結(jié)構(gòu)模型修正方法，首先在子結(jié)構(gòu)層面識(shí)別出損傷的子結(jié)構(gòu)，然后在單元層面識(shí)別出損傷發(fā)生的單元和程度。

土木工程結(jié)構(gòu)龐大而損傷往往只是發(fā)生在局部區(qū)域，子結(jié)構(gòu)方法將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的分析，將耗時(shí)的優(yōu)化計(jì)算、不確定性分析和非線性計(jì)算限制在局部子結(jié)構(gòu)內(nèi)，避免對(duì)整體結(jié)構(gòu)大尺寸方程實(shí)施各類耗時(shí)的運(yùn)算，在保證損傷識(shí)別高精度的同時(shí)提高損傷識(shí)別的效率，為土木工程基于有限元模型修正的損傷識(shí)別開(kāi)辟了新的途徑。

3 工程應(yīng)用

本節(jié)將上述有限元模型修正方法和子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法用于超高層建筑武漢長(zhǎng)江航運(yùn)中心模型的損傷識(shí)別。武漢長(zhǎng)江航運(yùn)中心大樓地上66 層，建筑高度335 m，如圖5 所示。主體結(jié)構(gòu)為第1 層～第64 層，高度306 m，采用外框架-核心筒結(jié)構(gòu)體系。外框架由4 根鋼管混凝土柱和16 根型鋼混凝土柱構(gòu)成，截面尺寸50 m×50 m。核心筒為鋼筋混凝土剪力墻，截面尺寸30 m×30 m。

依據(jù)施工圖紙建立該實(shí)際工程有限元模型，包含9112 個(gè)單元、3950 個(gè)結(jié)點(diǎn)、23 364 個(gè)自由度。首先，采用現(xiàn)場(chǎng)模態(tài)試驗(yàn)測(cè)得的頻率和振型修正有限元模型的剛度參數(shù)，完成第一階段有限元模型修正。然后，以修正后的有限元模型為基礎(chǔ)，進(jìn)行第二階段有限元模型修正，即損傷識(shí)別。

圖5 武漢長(zhǎng)江航運(yùn)中心及其有限元模型Fig.5 Wuhan Yangtze River Navigation Center and its finite element model

在第二階段有限元模型修正過(guò)程中，分別采用傳統(tǒng)的有限元模型修正和子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法作對(duì)比分析。在采用子結(jié)構(gòu)方法時(shí)，將有限元模型劃分為9 個(gè)子結(jié)構(gòu)。由于該實(shí)際工程目前沒(méi)有發(fā)生損傷，因此數(shù)值模擬結(jié)構(gòu)損傷。對(duì)局部區(qū)域(子結(jié)構(gòu)3)中單元21 和單元77(剪力墻單元)的單元?jiǎng)偠确謩e折減20%和30%來(lái)模擬損傷，對(duì)整體有限元模型施加如圖6 所示水平地震荷載作用，地震荷載持續(xù)30 s，采樣頻率是0.03 s，總的時(shí)間步為1001，采用Newmark 法計(jì)算損傷后模型的動(dòng)位移作為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。有限元模型修正過(guò)程中，目標(biāo)方程為試驗(yàn)動(dòng)位移和有限元模型計(jì)算位移的殘差，當(dāng)目標(biāo)方程小于2 × 10?15時(shí)，模型修正過(guò)程停止。有限元模型修正的待修正參數(shù)選為第三個(gè)子結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)所有單元的剛度，共336 個(gè)剛度參數(shù)。傳統(tǒng)以整體結(jié)構(gòu)為對(duì)象進(jìn)行有限元模型修正時(shí)，一般取所有單元?jiǎng)偠葏?shù)為待修正參數(shù)，即9112 個(gè)單元參數(shù)，現(xiàn)有計(jì)算設(shè)備難以完成對(duì)9112 個(gè)單元參數(shù)的優(yōu)化。因此，本算例中兩種有限元模型修正方法均采用336 個(gè)修正參數(shù)，即以整體結(jié)構(gòu)為對(duì)象進(jìn)行損傷識(shí)別時(shí)只取局部336 個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

圖6 地震荷載激勵(lì)Fig.6 Earthquake excitation

首先采用基于正向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，每個(gè)子結(jié)構(gòu)只保留了少量的低階模態(tài)來(lái)組集得到縮聚的振動(dòng)方程，進(jìn)而計(jì)算出整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)位移，并對(duì)縮聚的振動(dòng)方程求偏導(dǎo)計(jì)算動(dòng)位移靈敏度。在振動(dòng)方程中補(bǔ)充一個(gè)額外項(xiàng)來(lái)考慮舍棄的高階模態(tài)的貢獻(xiàn)。保留的模態(tài)數(shù)量會(huì)影響子結(jié)構(gòu)方法的精度，保留的模態(tài)越多，精度越高。但是，保留模態(tài)的數(shù)目越多，計(jì)算效率會(huì)大大降低。模型修正越接近最優(yōu)解，對(duì)位移和位移靈敏度的精度要求越高。因此，為了同時(shí)保證子結(jié)構(gòu)模型修正的精度和效率，在不同模型修正階段保留不同數(shù)量的模態(tài)。最初的前6 階迭代中，保留30 階模態(tài)。隨著有限元模型修正過(guò)程逐漸接近收斂，保留模態(tài)的數(shù)目不斷增加。在最后的3 次迭代中，保留130 階模態(tài)。有限元模型修正過(guò)程在滿足目標(biāo)方程小于2 × 10?15時(shí)完成運(yùn)算?；谧咏Y(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別結(jié)果如圖7所示，識(shí)別出單元21 和77 的剛度折減值分別為0.2 和0.3，而其他單元識(shí)別的剛度折減值均為0，該方法高精度地識(shí)別出預(yù)先設(shè)定的損傷位置和損傷程度。同樣也應(yīng)用傳統(tǒng)的基于整體結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，采用相同的目標(biāo)函數(shù)、靈敏度計(jì)算和優(yōu)化過(guò)程。由于本算例數(shù)值模擬結(jié)構(gòu)損傷，且未考慮不確定性和噪聲影響，傳統(tǒng)的基于整體結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法同樣能高精度地識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度。

圖7 基于有限元模型修正的損傷識(shí)別結(jié)果Fig.7 Damage identification by finite element model updating

表1 比較了兩種方法的迭代過(guò)程和計(jì)算時(shí)間，圖8 對(duì)比了兩種方法的收斂曲線?；谧咏Y(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，當(dāng)模態(tài)保留30 階時(shí)，振動(dòng)方程和靈敏度方程的尺寸被縮聚為270×270，每次迭代花費(fèi)時(shí)間為0.18 h。在最后3 次迭代，振動(dòng)方程/靈敏度方程的尺寸為1170×1170，每次迭代花費(fèi)時(shí)間為0.90 h。子結(jié)構(gòu)方法總共需要23 個(gè)迭代步和9.78 h 收斂。整體結(jié)構(gòu)方法計(jì)算整體模型的動(dòng)力響應(yīng)與靈敏度，振動(dòng)方程/靈敏度方程尺寸為23 364×23 364，每個(gè)迭代步花費(fèi)14.17 h，一共花費(fèi)了14 個(gè)迭代步和198.38 h 達(dá)到收斂。綜上所述，在相同收斂條件、相同計(jì)算精度的前提下，基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法花費(fèi)的時(shí)間是傳統(tǒng)整體模型修正方法的4.93%。

表1 有限元模型修正計(jì)算時(shí)間和迭代步數(shù)的比較Table 1 Comparison of computational time and iterations by finite element model updating

子結(jié)構(gòu)有限元模型修正能極大地提高損傷識(shí)別的效率，原因主要在如下三個(gè)方面：1) 子結(jié)構(gòu)方法極大地縮減了模型尺寸，當(dāng)子結(jié)構(gòu)模態(tài)保留30 階時(shí)，振動(dòng)方程和靈敏度方程的尺寸由23 364×23 364 縮減為270×270；2) 計(jì)算靈敏度是一個(gè)比較耗時(shí)的過(guò)程，在采用子結(jié)構(gòu)方法計(jì)算靈敏度時(shí)，各個(gè)子結(jié)構(gòu)是相互獨(dú)立的，通過(guò)計(jì)算第3 個(gè)子結(jié)構(gòu)的靈敏度矩陣來(lái)組集得到整體結(jié)構(gòu)的靈敏度，而其余8 個(gè)子結(jié)構(gòu)的靈敏度矩陣為零，對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)計(jì)算靈敏度比對(duì)整體結(jié)構(gòu)計(jì)算靈敏度效率高；3) 局部子結(jié)構(gòu)的待修正參數(shù)遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)，本算例中對(duì)子結(jié)構(gòu)方法和整體結(jié)構(gòu)方法均取局部336 個(gè)修正參數(shù)，整體結(jié)構(gòu)有限元模型修正消耗198.38 h。在實(shí)際結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中，以整體結(jié)構(gòu)為對(duì)象時(shí)，一般取所有單元?jiǎng)偠葏?shù)為待修正參數(shù)，也即9112 個(gè)單元參數(shù)?？梢灶A(yù)測(cè)，同時(shí)優(yōu)化9112 個(gè)單元參數(shù)的耗時(shí)將成級(jí)數(shù)倍增加，現(xiàn)有的計(jì)算設(shè)備難以完成。

圖8 整體結(jié)構(gòu)有限元模型修正和子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的收斂曲線Fig.8 Convergence of global-based and substructurebased finite element model updating process

4 結(jié)論

本文詳細(xì)介紹了有限元模型修正方法及其在土木工程損傷識(shí)別中的應(yīng)用，并總結(jié)了不確定性和非線性有限元模型修正方法。土木工程結(jié)構(gòu)龐大而損傷往往發(fā)生在局部區(qū)域，針對(duì)大型土木工程有限元模型修正效率低的難題，詳細(xì)闡述了子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法，并介紹了適合于土木結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的正向子結(jié)構(gòu)方法和逆向子結(jié)構(gòu)方法。主要結(jié)論如下：

(1)基于有限元模型修正的損傷識(shí)別方法計(jì)算過(guò)程直觀、物理意義明確，能同步識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度，是一種直接、有效的土木工程損傷識(shí)別技術(shù)。然而，土木工程有限元模型包含大量節(jié)點(diǎn)、單元和待修正參數(shù)，大型結(jié)構(gòu)有限元模型修正效率極低，甚至無(wú)法完成。

(2)土木工程尺寸龐大而損傷通常發(fā)生在局部區(qū)域，子結(jié)構(gòu)方法將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的分析，將耗時(shí)的優(yōu)化計(jì)算、不確定性分析和非線性計(jì)算限制在局部子結(jié)構(gòu)內(nèi)，通過(guò)局部子結(jié)構(gòu)有限元模型修正實(shí)現(xiàn)損傷識(shí)別，有效提高了損傷識(shí)別的精度和效率，為傳統(tǒng)基于有限元模型修正的損傷識(shí)別技術(shù)開(kāi)辟了新的途徑。

基于有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域已經(jīng)取得了較好的理論成果和工程應(yīng)用，多個(gè)結(jié)構(gòu)健康評(píng)估規(guī)范中均規(guī)定結(jié)構(gòu)二次評(píng)估需要實(shí)施基于有限元模型修正的損傷識(shí)別，該方法正在為結(jié)構(gòu)安全評(píng)估提供越來(lái)越重要的信息?；谟邢拊Ｐ托拚膿p傷識(shí)別方法與子結(jié)構(gòu)方法、貝葉斯方法、人工智能與大數(shù)據(jù)方法等先進(jìn)方法的深入融合，以及計(jì)算設(shè)備的高速化、智能化，將推動(dòng)土木工程安全評(píng)估進(jìn)一步向高精高效、智能化、信息化的可持續(xù)方向發(fā)展。