姚裕豐，王惠

（上海海事大學(xué)文理學(xué)院，上海 201306）

代數(shù)的導(dǎo)子指該代數(shù)上滿足Leibniz 法則的線性變換。代數(shù)上導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu)對該代數(shù)的研究至關(guān)重要。SEMRL[1]最先引入代數(shù)的2-局部導(dǎo)子概念，并研究了2-局部導(dǎo)子的性質(zhì)。代數(shù)的2-局部導(dǎo)子對該代數(shù)性質(zhì)的研究有重要作用。

近年來，在特征零的代數(shù)閉域上對一些重要李代數(shù)的2-局部導(dǎo)子的研究取得了一定進(jìn)展。AYUPOV 等[2]證明了有限維半單李代數(shù)的每個2-局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子，且每個維數(shù)大于2 的冪零李代數(shù)均存在一個非導(dǎo)子的 2- 局部導(dǎo)子。YUSUPOV[3]證明了無限維Witt 代數(shù)的每個2-局部導(dǎo)子均為導(dǎo)子，并給出了無限維李代數(shù)的一些非導(dǎo)子的2-局部導(dǎo)子的例子。ZHAO 等[4]證明了秩為n的Witt 代數(shù)及其部分子代數(shù)的2-局部導(dǎo)子均為導(dǎo)子。

在素特征p＞3 的代數(shù)閉域F上，Witt 代數(shù)W1是變量X的截頭多項(xiàng)式代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)，這是WITT 在20 世紀(jì)30 年代發(fā)現(xiàn)的素特征域上第一個非典型單李代數(shù)。Witt 代數(shù)的每個導(dǎo)子均為內(nèi)導(dǎo)子[5]。更一般地，文獻(xiàn)［6］確定了素特征域上Jacobson-Witt 代數(shù)的2-局部導(dǎo)子。本文研究Witt 代數(shù)及其極大子代數(shù)的2-局部導(dǎo)子。

下文第1 部分給出素特征域上Witt 代數(shù)的定義及基本性質(zhì)。第2 部分證明Witt 代數(shù)的每個2-局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子，從而將文獻(xiàn)［3-4］中的主要結(jié)果推廣至素特征域。第3 部分證明Witt 代數(shù)的極大子代數(shù)的每個2-局部導(dǎo)子均為導(dǎo)子。

1 預(yù)備知識

假設(shè)F是特征p＞3 的代數(shù)閉域，所有線性空間（代數(shù)）均定義在F上且是有限維的。

1.1 李代數(shù)的導(dǎo)子和2-局部導(dǎo)子

設(shè)L是域F上的李代數(shù)，則L上的導(dǎo)子D：L→L是L上的線性變換且滿足：

記Der(L)為L的所有導(dǎo)子的集合，則Der(L)將通常的換位運(yùn)算作為一個李代數(shù)，稱其為L的導(dǎo)子代數(shù)。對于任意的x∈L，定義

則ad(x)∈Der(L)。令

則ad(L)是Der(L)的理想。

L的2-局部導(dǎo)子Δ 是L上的變換（不一定是線性 變 換），且對于任意的x，y∈L，存 在Dx，y∈Der(L)，滿足

1.2 Witt 代數(shù)

域F上的Witt 代數(shù)W1即為Α上所有導(dǎo)子的李代數(shù)。記ei=Xi+1?，?1≤i≤p?2，由文獻(xiàn)［5］，有

其中，W1上的李括積定義為

下文若不特別說明，均假設(shè)g=W1，則g有自然的Z-階化：

其 中，g[i]=FXi+1?，?1≤i≤p?2。 結(jié)合該階化，g有以下Z-濾過：

其中，

特別地，g0是g的極大子代數(shù)。

對于x∈g(或g0)，定義x在g(或g0)中的中心化子為

則zg(x) 是g的子代數(shù)，zg0(x)是g0的子代數(shù)。進(jìn)一步，有zg0(x)?zg(x)，x∈g0。

對g及g0中的元素中心化子，有以下刻畫：

引理1[7]設(shè)g=W1是域F上的Witt 代數(shù)，x∈gigi+1。，則

特別地，有

從而，有

引理2[5]設(shè)g=W1為域F上的Witt 代數(shù)，則

引理2 說明Witt 代數(shù)上每個導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子。

類似于引理2，以下結(jié)論表明Witt 代數(shù)g的極大子代數(shù)g0的每個導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子。

引理3設(shè)g=W1為域F上 的Witt 代數(shù)，g0=spanF{ei|0 ≤i≤p?2}是g的極大子代數(shù)，則

證明對于t∈Z，令

則

即Der(g0)是Z-階化代數(shù)。

下證Der(g0)的每個階化部分

步驟1首先注意到g0的Z-階化結(jié)構(gòu)，顯然有Der(g0)[t]=0，t≥p?1 或t≤1?p。

步驟2當(dāng)t=0 時，任取D0∈Der(g0)[0]，設(shè)

將D0作用于[e0，e1]=e1等式兩邊，得

從而有a0=0。將D0作用于

等式兩邊，得

從而有

將D0作用于[e1，e4]=3[e2，e3]等式兩邊，得

由式（1）和式（2），進(jìn)一步得

因此

步 驟 3當(dāng) 1≤t≤p?2 時 ， 任 取Dt∈Der(g0)[t]，則 有

設(shè)

將Dt作用于

等式兩邊，得

因此有

從而有

即

因此

步 驟 4當(dāng) 2 ?p≤t≤?1 時 ，任 取Dt∈Der(g0)[t]，則 有

設(shè)

將Dt作用于[e0，e?t]=?te?t等式兩邊，得

從而有

將Dt作用于

等式兩邊，得

從而有aj=0， ?t+1≤j≤p?2。

因此，Dt=0，2 ?p≤t≤?1。

綜 上 所 述，有Der(g0)[t]=ad(g0)[t]，t∈Z。因此，Der(g0)=ad(g0)。

證畢。

2 Witt 代數(shù)的2-局部導(dǎo)子

g=W1是 域F上 的Witt 代 數(shù)。由引理2 知，若Δ 是g的2-局部導(dǎo)子，則對于任意的x，y∈g，存在ax，y∈g，使得

本節(jié)將證明g的每個2-局部導(dǎo)子均為導(dǎo)子。為此，需以下引理。

引理4設(shè)Δ 是g的一個2-局部導(dǎo)子，且

證 明任 取i∈{1，2，…，p?2}。 由 于Δ 是g的2-局部導(dǎo)子，因此存在ae0，ei∈g，使得

由于Δ(e0)=0，有ae0，ei∈zg(e0)。故由引理1 知，存在b∈F，使得ae0，ei=be0，有

由于Δ 是g的2-局部導(dǎo)子，則存在ae?1，ei∈g，使得

由于Δ(e?1)=0，從而有ae?1，ei∈zg(e?1)。故由引理1知，存在c∈F，使得ae?1，ei=ce?1。有

由式（3）和式（4）知，b=c=0。因此，

證畢。

由引理4，進(jìn)一步得到

引理5設(shè)Δ 是g的2-局部導(dǎo)子，且

則Δ ≡0。

證明由2-局部導(dǎo)子的定義，顯然有Δ(0)=0。 由引理4 知，對于任意的?1≤i≤p?2，有Δ(ei)=0。

（?。﹍＞0。

一方面，由于Δ 是g的2-局部導(dǎo)子，存在ae?1，x∈g，使得

由引理1 知，存在b∈F，使得ae?1，x=be?1，故

另一方面，由2-局部導(dǎo)子的定義，存在ae0，x∈g，使得

由引理1 知，存在d∈F，使得ae0，x=de0，故

比較式（5）和式（6）的階化最高項(xiàng)，知d=0，由式（6）知，Δ(x)=0。

（ⅱ）l=0。

此時，x=c?1e?1+c0e0，由式（5）得

又由2-局部導(dǎo)子的定義知，存在ae1，x∈g，使得

由引理1 知，存在k1，k2∈F，使得

因此有

由式（7）和式（8），可得b=k1=k2=0，從而有Δ(x)=0。

（ⅲ）l=?1。

此時，x=c?1e?1，由2-局部導(dǎo)子的定義，存在ae?1，x∈g，使得

由引理1 知，存在b∈F，使得ae?1，x=be?1。因此，

證畢。

定理1設(shè)g=W1是域F上的Witt 代數(shù)，則g的任一2-局部導(dǎo)子均為g的導(dǎo)子。

證明設(shè)Δ 是g的任一2-局部導(dǎo)子，則存在De?1，e0∈Der(g)，使得

令Δ1=Δ ?De?1，e0，則Δ1是g的2-局部導(dǎo)子，且滿足

由引理5 知，Δ1≡0，即Δ=De?1，e0。因此，Δ 是g的導(dǎo)子。

證畢。

3 極大子代數(shù)g0 的2-局部導(dǎo)子

g=W1是域F上的 Witt 代數(shù) ，g0=spanF{ei|0 ≤i≤p?2}是g的極大子代數(shù)。由引理3 知，若Δ 是g0的2-局部導(dǎo)子，則對任意的x，y∈g0，存 在ax，y∈g0，使 得 Δ(x)=[ax，y，x]，Δ(y)=[ax，y，y]。

引理6設(shè)Δ 是g0的2-局部導(dǎo)子，且

證明任取i∈{2，3，…，p?2}，由于Δ 是g0的2-局部導(dǎo)子，存在ae0，ei∈g0，使得

由 于Δ(e0)=0，從 而 有ae0，ei∈zg0(e0)。故 由 引 理1知，存在b∈F，使得ae0，ei=be0，有

由于Δ 是g0的2-局部導(dǎo)子，則存在ae1，ei∈g0，使得

由 于Δ(e1)=0，從 而 有ae1，ei∈zg0(e1)。故 由 引理1 知，存在k1，k2∈F，使得ae1，ei=k1e1+k2ep?2，有

由式（9）和式（10）知，b=0。因此，

證畢。

由引理6，進(jìn)一步得到

引理7設(shè)Δ 是g0的2-局部導(dǎo)子，且

則Δ ≡0。

證明由2-局部導(dǎo)子的定義，顯然有Δ(0)=0。 由引理6 知，對于任意的0 ≤i≤p?2，有Δ(ei)=0。為證明本引理結(jié)論，對任意的0 ≠x=只需證Δ(x)=0。為此，令

（?。﹍=0。

若ck=0，1≤k≤p?2，則x=c0e0。

一方面，存在ae0，x∈g0，使 得0=Δ(e0)=[ae0，x，e0]。 故由引理1 知，存 在b∈F，使 得ae0，x=be0，有

若存在1≤k≤p?2，使得ck≠0，則令

由于Δ 是g0的2-局部導(dǎo)子，存在ae0，x∈g0，使得

由引理1 知，存在b∈F，使得ae0，x=be0，從而有

另一方面，存在ae1，x∈g0，使得

由引理1 知，存在k1，k2∈F，使 得ae1，x=k1e1+k2ep?2，從而有

比較式（11）和式（12）的最低項(xiàng)和最高項(xiàng)知，如果k1≠0，則l′=1。比較式（11）和式（12）的各項(xiàng)系數(shù)，可得cl″=0，矛盾，因此k1=0。如果k2≠0，比較式（11）和式（12）知，l′=l″=p?2，從而有x=c0e0+cp?2ep?2。又由2-局部導(dǎo)子的定義，可知存在ae2，x∈g0，有

由引理1 知，存在b1，b2∈F，使得

從而有

比較式（12）和式（13），可得k2=b1=b2=0。因此Δ(x)=0。

（ⅱ）l＞0。

由于Δ 是g0的2-局部導(dǎo)子，一方面，存在ae0，x∈g0，使得

由引理1 知，存在b∈F，使得ae0，x=be0。從而有

另一方面，存在ae1，x∈g0，使得

由 引 理1 知，存 在k1，k2∈F，使 得ae1，x=k1e1+k2ep?2，從而有

比較式（14）和式（15）的最低項(xiàng)，知b=0，從而有

證畢。

定理2設(shè)g=W1是域F上 的Witt 代數(shù)，g0=spanF{ei|0 ≤i≤p?2}是g的 極 大 子 代 數(shù)，則g0的任一2-局部導(dǎo)子均為g0的導(dǎo)子。

證明設(shè)Δ 是g0的任一2-局部導(dǎo)子，則存在De0，e1∈Der(g0)，使得

令Δ1=Δ ?De0，e1，則Δ1是g0的2-局部導(dǎo)子，且滿足

由 引 理7 知，Δ1≡0，即Δ=De0，e1。 因 此Δ 是g0的導(dǎo)子。

證畢。

4 結(jié) 論

討論了特征p＞3 的代數(shù)閉域上Witt 代數(shù)g及其極大子代數(shù)g0的2-局部導(dǎo)子的性質(zhì)（引理4～引理7），得到Witt 代數(shù)g及其極大子代數(shù)g0的所有2-局部導(dǎo)子均為導(dǎo)子（定理1 和定理2）。