毛北行,王東曉
(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,河南鄭州450015)
混沌系統(tǒng)的同步控制廣受關(guān)注[1-4]。近年來(lái),針對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌同步問(wèn)題的研究不斷深入,并取得了一系列研究成果[5-9]。例如,文獻(xiàn)[10]研究了超混沌分?jǐn)?shù)階Bao 系統(tǒng)的反饋同步;文獻(xiàn)[11]研究了一類分?jǐn)?shù)階不確定Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步控制;文獻(xiàn)[12]基于比例積分滑模方法研究了分?jǐn)?shù)階不確定超混沌Bao 系統(tǒng)的同步。在實(shí)際應(yīng)用中,模型的不確定性、被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)變化、測(cè)量誤差以及外部擾動(dòng)等均會(huì)影響系統(tǒng)的性能,因此,須考慮這些因素造成的影響。例如,文獻(xiàn)[13]研究了具有有界外擾和不確定項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階超混沌金融系統(tǒng)滑模同步的4種方法。R?ssler 混沌系統(tǒng)的同步亦廣受關(guān)注。例如,文獻(xiàn)[14]研究了基于back-stepping 方法對(duì)超混沌R?ssler 系統(tǒng)的控制與同步;文獻(xiàn)[15]研究了雙時(shí)滯R?ssler 系統(tǒng)的分支分析與混沌控制;文獻(xiàn)[16]研究了基于曲率指數(shù)的耦合混沌系統(tǒng)的完全同步分析。受上述結(jié)論啟發(fā),筆者利用自適應(yīng)滑??刂品椒ǎ芯苛藥в心P筒淮_定性和外擾的R?ssler混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題,得到分?jǐn)?shù)階不確定R?ssler 混沌系統(tǒng)取得適應(yīng)滑模同步的充分條件,所得結(jié)論說(shuō)明不確定R?ssler 混沌系統(tǒng)在一定條件下取得了自適應(yīng)滑模同步。最后,用數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)結(jié)論進(jìn)行了檢驗(yàn)。
定義1[17]Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為
以分?jǐn)?shù)階R?ssle 混沌系統(tǒng)
為主系統(tǒng),當(dāng)a=0.2,b=0.2,c=5.0,q=0.92 時(shí),系統(tǒng)的時(shí)域波形圖和相平面圖分別如圖1 和圖2 所示。
圖1 系統(tǒng)的時(shí)域波形圖Fig.1 Time domain of the system
圖2 系統(tǒng)的相平面圖Fig.2 Phase plane of the system
從系統(tǒng)為
其中,不確定項(xiàng)Δf(y),y=[x1,y1,z1]T,d(t)為外擾,u(t)為控制器。定義
得到誤差方程:
假設(shè)1假設(shè)不確定項(xiàng)Δf(y)和外部擾動(dòng)d(t)有界,即存在未知參數(shù)m,n>0,使得
引理1[18]若x(t)為連續(xù)可微函數(shù),則有
引理2[18]設(shè)其中,y1(t),y2(t)∈R 具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),若存在常數(shù)k>0,使 得有界,且其中,Eα,1(·)表 示 雙 參 數(shù)Mittag-Leffler 函 數(shù),則y1(t)具M(jìn)ittag-Leffler 穩(wěn)定且
定理1在假設(shè)1 條件下,設(shè)計(jì)滑模面s=設(shè)計(jì)控制器
其中,?分別為m,n的估計(jì)值,η>0。則式(1)和式(2)適應(yīng)滑模同步。
證明滑模面上由式(3)第1 個(gè)方程,得?(e2+e3)=ke2。
進(jìn)一步得到e3=?(k+1)e2,對(duì)式(3)第2 個(gè)方程兩邊同求q階微分,得到因 為所 以利 用 Laplace 變 換 ,記E2(s)=L(e2(t)),則有
由Laplace 終值定理,有
由 于e3=?(k+1)e2?e3→0,且e2→0 ?,將 其 代 入 式(3)第2 個(gè) 方 程,有=e1+ae2?e1→0。
所以,定義的滑模面具有穩(wěn)定性。
下證滑模面的可達(dá)性。
由引理2,有s→0。
以整數(shù)階R?ssle 混沌系統(tǒng)
為主系統(tǒng),從系統(tǒng)為
定義
得誤差方程
引 理3(Barbalat’s)[19]若 函 數(shù)f(t) 在[0,+∞)上一致連續(xù),且廣義積分存在,則其中,f(t)為一致連續(xù)函數(shù)。
定理2在假設(shè)1 條件下,設(shè)計(jì)滑模面s=設(shè)計(jì)控制器
其中,?分別為m,n的估計(jì)值,η>0。則式(4)和式(5)適應(yīng)滑模同步。
證 明滑 模 面 上即?(e2+e3)=?ρe2,進(jìn)一步得到e3=(ρ?1)e2,對(duì)式(6)第2 個(gè) 方 程 求 一 階 微 分,得 到因?yàn)樗?以以e2(t)為變量,則其特征值由于ρ<0,所以又由于混沌系統(tǒng)軌跡有界,所以|e2(t)|必有界,從而必 有C1=0。 否 則,若C1≠0 ?e2無(wú) 界,易 得由 于e3=(ρ?1)e2?e3→0, 將代入式(6)第2 個(gè)方程,得到e1→0。
所以,定義的滑模面具有穩(wěn)定性。
下證滑模面的可達(dá)性。
證畢!
以MATLAB 仿真程序?qū)ι鲜鱿到y(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真,選取初始值及系統(tǒng)參數(shù)為
在定理2 中,設(shè)計(jì)滑模面
在定理1 中,設(shè)計(jì)適應(yīng)律
在定理2 中,設(shè)計(jì)控制器
在定理2 中,設(shè)計(jì)適應(yīng)律
定理1 和定理2 的誤差分別如圖3 和圖4 所示,由圖3 和圖4 知,初始時(shí)刻誤差相差較大,距離原點(diǎn)較遠(yuǎn),隨著時(shí)間的推移,誤差逐漸趨于一致,趨向坐標(biāo)原點(diǎn),表明系統(tǒng)取得了滑模同步。
圖3 定理1 的誤差Fig.3 Errors in theorem 1
圖4 定理2 的誤差Fig4 Errors in theorem 2
研究了具有模型不確定性和有界外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階不確定R?ssler 混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問(wèn)題。通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)幕C妗⒖刂破骱瓦m應(yīng)律,得到分?jǐn)?shù)階不確定R?ssler 混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步的充分條件。本文方法不僅適用于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),而且可平推至整數(shù)階系統(tǒng)。