曹澤乾 臧曉艷 岳成林 梁 瑜

（1.中車唐山機(jī)車車輛有限公司，唐山 266111；2.中車工業(yè)研究院有限公司，北京 100071）

磁懸浮列車是一種現(xiàn)代高科技軌道交通工具。它通過電磁力實(shí)現(xiàn)列車與軌道之間的無接觸的懸浮和導(dǎo)向，并利用直線電機(jī)產(chǎn)生的電磁力牽引列車運(yùn)行。其中，軌道不平順對(duì)高速磁懸浮列車的運(yùn)行穩(wěn)定性和乘坐舒適度有明顯影響。Shi J 等提出了一種適用于高速磁懸浮線路運(yùn)行的測(cè)量原理和數(shù)據(jù)處理方法，用于分析磁懸浮線路的不平順[1]。為了研究磁懸浮列車懸浮模塊的橫向動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性，Chen X H 等通過合理的假設(shè)簡(jiǎn)化了運(yùn)動(dòng)方程，建立了最簡(jiǎn)單的橫向動(dòng)力學(xué)模型來描述懸浮模塊的橫向動(dòng)力學(xué)特性[2]。通過搭建單電磁鐵懸浮模型，張建國(guó)等從電流剛度、氣隙剛度以及懸浮力等3 個(gè)方面分析電流和懸浮間隙對(duì)懸浮特性的影響[3]。Wang Z L 等提出了高速磁浮線路水平曲線軌道線形的優(yōu)化解[4]。李萬磊等針對(duì)磁懸浮列車快變信號(hào)特征的特點(diǎn)，利用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）和短時(shí)傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform，STFT）方法分析信號(hào)，提升了磁懸浮列車非平穩(wěn)信號(hào)的提取能力[5]。陳武等針對(duì)磁懸浮列車轉(zhuǎn)向架進(jìn)行有限元分析時(shí)，提出了一種以彈性支撐為邊界約束條件，以列車輕量化為目標(biāo)的設(shè)計(jì)分析方法[6]。黎松奇等提出了一種根據(jù)車軌耦合振動(dòng)過程中車輛能夠獲知數(shù)據(jù)和辨識(shí)軌道主要參數(shù)的方法，并根據(jù)獲知參數(shù)設(shè)計(jì)控制算法抑制車軌耦合振動(dòng)[7-8]。梁鑫等針對(duì)磁浮列車車軌的耦合振動(dòng)開展了理論分析、數(shù)值仿真和試驗(yàn)研究[9]。Min D J 等基于韓國(guó)城市軌道磁懸浮系統(tǒng)建立了一個(gè)詳細(xì)的三維磁懸浮車輛和導(dǎo)軌模型，并研究了耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性[10]。Zhang L 等提出了一種基于現(xiàn)場(chǎng)振動(dòng)試驗(yàn)和模型修正方法的實(shí)用車輛/導(dǎo)軌模型，并通過有限元方法建立導(dǎo)軌，提供了一種實(shí)用的響應(yīng)預(yù)測(cè)和分析方法[11]。

綜上所述，在高速磁懸浮動(dòng)力學(xué)研究中，人們對(duì)列車性能和動(dòng)態(tài)特性已開展了深入研究。未來高速磁懸浮列車有望達(dá)到600km/h 的超高速運(yùn)行速度，而其線路動(dòng)態(tài)適應(yīng)性的研究是磁懸浮車輛的共性問題，且對(duì)設(shè)計(jì)和研發(fā)磁懸浮車輛和線路系統(tǒng)具有重要意義。因此，本文采用磁浮鐵路行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)[12]，基于UM 動(dòng)力學(xué)軟件完成磁懸浮列車的動(dòng)力學(xué)建模，并研究高速磁懸浮列車在600km/h 超高速速度范圍內(nèi)在直線、平面曲線和豎曲線的動(dòng)態(tài)適應(yīng)性，以考評(píng)當(dāng)前設(shè)計(jì)方案的動(dòng)態(tài)服役性能。

1 高速磁懸浮列車動(dòng)力學(xué)建模

開展動(dòng)力學(xué)分析的首要任務(wù)是開展磁懸浮列車的動(dòng)力學(xué)建模。磁懸浮列車在動(dòng)力學(xué)組成方面，主要包括車體和懸浮架。其中，懸浮架構(gòu)架上安裝有懸浮電磁鐵、導(dǎo)向電磁鐵以及搖枕等，且不同部件相對(duì)于懸浮架具有不同的運(yùn)動(dòng)關(guān)系?；赨M 動(dòng)力學(xué)軟件建立的動(dòng)力學(xué)模型，如圖1和圖2 所示。動(dòng)力學(xué)建模時(shí)，設(shè)定懸浮電磁鐵和導(dǎo)向電磁鐵相對(duì)于懸浮架構(gòu)架具有6 個(gè)自由度，通過橡膠關(guān)節(jié)（力元）與構(gòu)架相連。搖臂相對(duì)于構(gòu)架具有側(cè)滾自由度，左右側(cè)搖臂之間通過扭轉(zhuǎn)彈簧進(jìn)行連接，而搖臂外側(cè)設(shè)有相對(duì)于搖臂側(cè)滾的吊桿。吊桿的另一端通過橡膠關(guān)節(jié)與車體連接，亦可簡(jiǎn)化為力元形式。搖臂下方布置有空氣彈簧，可支撐車體的重量，并可提供較低的垂向剛度，降低車體的自振頻率。

圖1 高速磁懸浮列車的動(dòng)力學(xué)模型

圖2 懸浮架的動(dòng)力學(xué)模型

單個(gè)懸浮架與車體、電磁鐵以及搖臂等部件之間連接的拓?fù)潢P(guān)系，如圖3 所示。懸浮電磁鐵和軌道之間存在電磁懸浮力，而導(dǎo)向電磁鐵和軌道之間存在橫向的電磁作用力，即導(dǎo)向力。通過鉸接定義部件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，而部件間的作用也可通過彈簧-阻尼力元的形式來體現(xiàn)。動(dòng)力學(xué)建模的關(guān)鍵點(diǎn)是如何準(zhǔn)確反映磁軌相互作用力。

磁軌相互作用力從力學(xué)本質(zhì)上分析，在線性振動(dòng)范圍內(nèi)仍可簡(jiǎn)化為彈簧-阻尼力元，但這無法反映磁軌間隙大波動(dòng)條件下磁軌相互作用力的非線性特征。而單極磁鐵模型是磁懸浮列車仿真中最常用的模型，能夠較為準(zhǔn)確地反映控制電流與間隙之間的反饋關(guān)系。該模型假設(shè)忽略導(dǎo)磁體磁阻和電磁回路漏磁等情況，因此電磁力F 和磁鐵常數(shù)κ可分別表示為：

式中，I 為電流；S 為磁鐵間隙；κ 為磁鐵常數(shù)；A 為磁極面積；N 為磁鐵線圈匝數(shù)；μ0為真空磁導(dǎo)率[9]。

圖3 磁懸浮列車拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

單極磁鐵模型的電壓方程為：

式中，R 為電阻；U 為電壓；L 為電感，取決于間隙和磁鐵常數(shù)。

線路不平順是激發(fā)磁懸浮列車振動(dòng)的主要激擾源。針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)[1]以上海磁浮線路為研究對(duì)象開展了不平順測(cè)試，并擬合了功率譜密度函數(shù)。本文基于文獻(xiàn)[1]的功率譜密度函數(shù)，通過變換數(shù)據(jù)得到仿真中采用的不平順形式，從而在一定程度上可以較真實(shí)地反映高速磁懸浮列車線路軌道不平順的幾何狀態(tài)。隨運(yùn)行距離變化的不平順數(shù)據(jù)，如圖4 所示。

線路平縱斷面的設(shè)置可通過定義直線、緩和曲線、圓曲線以及橫坡角等來實(shí)現(xiàn)。通過定義磁鐵和軌道的電磁力元，可實(shí)現(xiàn)磁軌相互作用力的動(dòng)態(tài)傳遞過程。高速磁懸浮列車軌道線路曲線的設(shè)置效果，如圖5 所示。

圖4 高速磁懸浮列車線路軌道的不平順數(shù)據(jù)

圖5 高速磁懸浮列車軌道線路曲線的設(shè)置效果

2 磁軌相互作用力動(dòng)態(tài)特征

本文主要分析磁懸浮列車以400km/h 速度運(yùn)行時(shí)，列車在直線和平面曲線上的磁軌相互作用力動(dòng)態(tài)特征。

2.1 列車在直線上的磁軌相互作用力動(dòng)態(tài)特征

首先選取車輛前段、中部和后部位置上的懸浮及導(dǎo)向點(diǎn)，然后提取相應(yīng)的作用力動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行比較，如圖6 所示。在不平順激擾下，磁軌相互作用力表現(xiàn)出波動(dòng)效果。由圖6（a）可知，直線上無論懸浮點(diǎn)在何位置，懸浮力幾乎均在40kN 以下波動(dòng)，且3 個(gè)位置的懸浮力差別不大。圖6（b）中，由于采用電磁懸浮技術(shù)，導(dǎo)向力隨導(dǎo)向間隙的減小而增大，而當(dāng)導(dǎo)向間隙增大時(shí)導(dǎo)向力會(huì)有所減小，因此導(dǎo)向力具有明顯的單向性。此外，不同位置的導(dǎo)向力相差不大，基本也分布在40kN 以內(nèi)。

圖6 列車在直線上的磁軌相互作用力動(dòng)態(tài)響應(yīng)

2.2 列車在平面曲線上的磁軌相互作用力動(dòng)態(tài)特征

當(dāng)磁懸浮列車通過平面曲線時(shí)，磁軌相互作用力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征如圖7 所示。受軌面扭曲和離心力影響，曲線外側(cè)和內(nèi)側(cè)的懸浮力會(huì)出現(xiàn)不同的增、減載情況。當(dāng)列車通過左曲線時(shí)，右側(cè)懸浮力出現(xiàn)了增載現(xiàn)象，而左側(cè)懸浮力表現(xiàn)為減載過程，如圖7 中1 ～6s 時(shí)段內(nèi)所示。同樣，在該時(shí)段內(nèi)導(dǎo)向力也出現(xiàn)了較大波動(dòng)，顯示出磁懸浮列車通過曲線時(shí)電磁相互作用力對(duì)磁懸浮列車的導(dǎo)向具有對(duì)中作用。此外，在12 ～15s 出現(xiàn)的緩和曲線段存在類似的規(guī)律。

圖7 列車在平面曲線上的磁軌相互作用力動(dòng)態(tài)響應(yīng)

綜上所示，在不平順激擾下，磁軌相互作用力動(dòng)態(tài)響應(yīng)將直接影響懸浮間隙、導(dǎo)向間隙以及車輛的振動(dòng)性能。下文將著重分析直線、平面曲線以及縱斷面凸凹曲線線路的動(dòng)態(tài)適應(yīng)性。

3 直線線路的動(dòng)態(tài)適應(yīng)性

磁懸浮列車以100 ～600km/h 速度在直線上運(yùn)行時(shí)，懸浮間隙和導(dǎo)向間隙最大值的比較如圖8 所示。

圖8 直線上電磁力和對(duì)應(yīng)間隙指標(biāo)

需要說明的是，懸浮和導(dǎo)向的名義間隙是10mm。由圖8（a）可知，兩類指標(biāo)幾乎都是隨著速度的增加而增加，懸浮間隙最大值分布在11.2 ～12mm，相較于名義間隙最大增加了2mm，而導(dǎo)向間隙最大值分布在11.4 ～11.9mm，表明即使高速磁懸浮列車速度提升至600km/h，仍可保證懸浮間隙的波動(dòng)量在2mm 左右。此外，懸浮間隙和導(dǎo)向間隙的波動(dòng)直接影響懸浮力與導(dǎo)向力的數(shù)值。由圖8（b）可知，列車速度由100km/h 升至600km/h，懸浮力最大值由32.5kN 增至41kN，而相應(yīng)的導(dǎo)向力最大值由34kN 增至40kN。由于磁軌相互作用力的非線性特征，懸浮力和導(dǎo)向力隨速度變化的關(guān)系并非呈線性關(guān)系。從最大值來看，懸浮力和導(dǎo)向力分別在300km/h 和400km/h 速度下有降低的趨勢(shì)。

隨著速度的增加，車體的振動(dòng)也會(huì)發(fā)生變化。車體橫向振動(dòng)和垂向振動(dòng)的加速度最大值隨速度的變化規(guī)律如圖9所示。對(duì)于橫向振動(dòng)，在200 ～400km/h 速度內(nèi)，車體橫向加速度呈現(xiàn)出較大值；對(duì)于垂向振動(dòng)，200km/h 速度下的加速度最大。從振動(dòng)力學(xué)角度分析，磁懸浮列車屬于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，有其自振特性。當(dāng)列車速度和軌道不平順主要波長(zhǎng)構(gòu)成的激振頻率與車輛自振頻率接近時(shí)，車體振動(dòng)就會(huì)有所加劇，因此速度-加速度的關(guān)系曲線呈現(xiàn)出非線性特征。但是，無論何種速度下橫向和垂向加速度均不超過1.7m/s2，表明列車在高速條件下仍具有良好的平穩(wěn)性。

圖9 直線上車體振動(dòng)加速度最大值

4 平面曲線線路的動(dòng)態(tài)適應(yīng)性

平面曲線一般由直線、進(jìn)緩和曲線、圓曲線以及出緩和曲線組成。圓曲線最小曲線半徑RHmin[12]為：

式中，v 為速度，單位為km/h；α 為橫坡角，暫取8°；aymax為允許最大加速度，取1m/s2。

最小緩和曲線長(zhǎng)度Lmin為：

式中，αya和αye分別為緩和曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的側(cè)向加速度，分別取0.0m/s2和1.0m/s2；RHa和RHe分別為緩和曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲線半徑，單位為m；SGN 取數(shù)值的正負(fù)號(hào)；為允許最大側(cè)向加速度的時(shí)變率，取0.5m/s3；αa和αe分別為緩和曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的橫坡角，分別取0°和8°；Δαmax為線路允許最大扭轉(zhuǎn)率，取0.07°/m。最小緩和曲線長(zhǎng)度Lmin需要按式（5）和式（6）計(jì)算，并取兩者中的較大者。

根據(jù)式（4）、式（5）和式（6），可計(jì)算出列車在100 ～600km/h 速度下的平面曲線條件，如表1 所示。在保證運(yùn)行平穩(wěn)的前提下，速度越高，要求曲線半徑和緩和曲線長(zhǎng)度就越長(zhǎng)。特別是為了適應(yīng)400km/h 及以上速度級(jí)別的高速運(yùn)行，最小曲線半徑可增至數(shù)千米甚至上萬米。

表1 最小曲線半徑和最小緩和曲線長(zhǎng)度

以表1 所列條件為考核工況，研究不同條件下磁懸浮列車的動(dòng)力學(xué)性能，并分析懸浮間隙、導(dǎo)向間隙、懸浮力以及導(dǎo)向力等相關(guān)參數(shù)最大值隨速度的變化規(guī)律，如圖10所示。由圖10 可知，不同運(yùn)行速度下，懸浮力的最大值基本在40kN 左右，而導(dǎo)向力的響應(yīng)變化更為明顯。速度在300km/h 時(shí)，導(dǎo)向力出現(xiàn)一定程度的減幅。在不同的運(yùn)行速度下，懸浮間隙和導(dǎo)向間隙的最大值沒有出現(xiàn)較大幅度的增大或減小，懸浮間隙最大值穩(wěn)定在11.5 ～12mm，而導(dǎo)向間隙最大值在11.6 ～12.3mm，但在300km/h 速度下懸浮間隙和導(dǎo)向間隙的降幅較明顯。

圖10 平面曲線上的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)

車體橫向和垂向加速度最大值隨著速度的增加呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。列車通過曲線時(shí)，車體的橫向加速度最大值在2 ～2.8m/s2的范圍內(nèi)分布，且在200km/h 速度下橫向加速度最大。相較而言，車體垂向加速度較小，總體在1.1m/s2幅值下。

總體上，當(dāng)磁懸浮列車以100 ～600km/h 速度通過對(duì)應(yīng)的限制平面曲線線路時(shí)，懸浮間隙和車體振動(dòng)等均表現(xiàn)出較好的狀態(tài)，表明磁懸浮列車具有較好的適應(yīng)性。

5 豎曲線的動(dòng)態(tài)適應(yīng)性

豎曲線半徑作為豎曲線的主要技術(shù)指標(biāo)，其大小應(yīng)根據(jù)所處路段設(shè)計(jì)的行車速度和地形條件合理選用。影響最小豎曲線半徑的因素主要有行車速度、允許最大垂向加速度以及縱坡角等，最小豎曲線半徑Rvmin[12]為：

式中，β 為縱坡角，單位為°；azmax為允許最大法向加速度，單位為m/s2。

當(dāng)列車以一定速度v 通過豎曲線（曲線半徑R）時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生離心加速度a，即a=v2/R。曲線半徑越小，列車運(yùn)行速度越大，離心加速度就越大。根據(jù)旅客舒適度的要求，垂向加速度的取值必須在一定范圍內(nèi)。一般情況，凹曲線取1.0m/s2，凸曲線取-0.5m/s2。選取列車的運(yùn)行速度分別為100km/h、200km/h、300km/h、400km/h、500km/h 以及600km/h，由此可估算出不同運(yùn)行速度條件下對(duì)應(yīng)的最小豎曲線半徑，如表2 所示。

表2 不同運(yùn)行速度條件下的最小豎曲線半徑

凹曲線運(yùn)行狀態(tài)下，電磁作用力和磁軌間隙等參數(shù)最大值隨速度的變化規(guī)律，如圖11 所示。由圖11 可知，懸浮力和導(dǎo)向力最大值隨速度變化并非單調(diào)遞增，而是呈現(xiàn)出非線性特征響應(yīng)。懸浮力最大值在32 ～41kN 的范圍內(nèi)分布，導(dǎo)向力最大值在36 ～41kN 的范圍內(nèi)分布，且導(dǎo)向力的最大值整體大于懸浮力。在不同運(yùn)行速度下，懸浮間隙和導(dǎo)向間隙最大值并沒有出現(xiàn)較大幅度的增大或減小，凹曲線運(yùn)行狀態(tài)下的懸浮間隙最大值穩(wěn)定在11 ～12mm，而導(dǎo)向間隙最大值在11.5 ～11.9mm。從振動(dòng)特性分析，車體橫向振動(dòng)加速度最高達(dá)到2m/s2，而垂向振動(dòng)加速度最大值始終不超過1m/s2?？梢?，在不同凹凸曲線條件下，高速磁懸浮列車具有較好的動(dòng)態(tài)適應(yīng)性。

圖11 凹曲線上的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)

凸曲線運(yùn)行狀態(tài)下，各指標(biāo)最大值隨速度的變化規(guī)律如圖12 所示。由圖12 可知，導(dǎo)向力和懸浮力總體在30 ～42.5kN，懸浮間隙最大值穩(wěn)定在11.1 ～11.8mm，而導(dǎo)向間隙最大值在11.4 ～11.7mm。車體橫向加速度和垂向加速度呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，但不超過2.1m/s2。需要說明的是，各動(dòng)力學(xué)指標(biāo)并未隨速度的增加而呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)。這一結(jié)果綜合了列車速度和線路條件，著重反映了列車與不同線路條件的匹配特性和匹配效果。與圖11 凹曲線上的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)對(duì)比可知，豎曲線無論是選用凹型還是凸型，列車的磁懸浮性能、導(dǎo)向性能以及運(yùn)行平穩(wěn)性沒有顯著差異，說明列車在縱斷面變化線路上運(yùn)行時(shí)同樣具有較好的動(dòng)態(tài)特性。

圖12 凸曲線上的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)

綜上所述，高速磁懸浮列車具有較好的動(dòng)力學(xué)性能，且不隨線路條件變化而發(fā)生明顯變化。無論是直線、平面曲線還是豎曲線，基于磁浮鐵路技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的線路條件均能保證列車運(yùn)行的安全平穩(wěn)性。

6 結(jié)論

本文建立了高速磁懸浮列車的動(dòng)力學(xué)分析模型，設(shè)置了直線、平面曲線以及豎曲線線路條件，并研究了列車以100 ～600km/h 速度在對(duì)應(yīng)線路上的動(dòng)力學(xué)特性，可得到以下結(jié)論。

（1）直線線路上，磁懸浮列車懸浮間隙最大值分布在11.2 ～12mm，較名義間隙最大增大了2mm，而導(dǎo)向間隙分布在11.4 ～11.9mm，懸浮力和導(dǎo)向力最大值均在41kN以內(nèi)。車體的橫向加速度和垂向加速度最大值均不超過1.7m/s2，說明列車在高速條件下仍具有良好的平穩(wěn)性。

（2）平面曲線上，懸浮間隙最大值穩(wěn)定在11.5 ～12mm，而導(dǎo)向間隙最大值在11.6 ～12.3mm。車體橫向加速度最大值達(dá)到2.8m/s2，而垂向加速度最大值在1.1m/s2以內(nèi)，說明車體橫向振動(dòng)有加劇現(xiàn)象。

（3）豎曲線上，懸浮間隙和導(dǎo)向間隙最大值穩(wěn)定在11 ～12mm，導(dǎo)向力和懸浮力最大值總體在30 ～43kN，車體橫向加速度和垂向加速度最大值顯現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，但不超過2.1m/s2。

（4）高速磁懸浮列車具有較好的線路動(dòng)態(tài)適應(yīng)性，可在600km/h 速度下平穩(wěn)通過設(shè)計(jì)線路條件。