譚凱軍 程赫明

(昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院 昆明 650500)

0 引言

最優(yōu)化就是追求最好的結(jié)果或最優(yōu)的目標(biāo)。優(yōu)化設(shè)計(jì)主要指在一定范圍內(nèi)的設(shè)計(jì)方案中選擇較佳的設(shè)計(jì)方案，而通過一定的策略搜索到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的過程就是最優(yōu)化設(shè)計(jì)法,這種策略使用到的數(shù)學(xué)理論就是最優(yōu)化設(shè)計(jì)理論[1]。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)基于理論力學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)優(yōu)化理論,根據(jù)實(shí)際需要,優(yōu)化設(shè)計(jì)的參數(shù)以變量形式出現(xiàn),組合成可行的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方案集合,再用數(shù)學(xué)思路在集合中找出滿足既定的，不僅可行而且效能與安全性高的設(shè)計(jì)方案。實(shí)踐表明，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)不但能縮減產(chǎn)品設(shè)計(jì)周期,而且還能提高產(chǎn)品質(zhì)量和水平,與初始設(shè)計(jì)方案相比,優(yōu)化后方案普遍能把造價(jià)降低5%～30%[2]。

上海工程技術(shù)大學(xué)的張召穎等[3]建立了T形結(jié)構(gòu)模型，通過ANSYS下的Topology Optimization 模塊對T形結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。山東建筑大學(xué)的湯愛君等[4]通過Ansys Workbench軟件對低位纏繞機(jī)鏈輪支架進(jìn)行靜態(tài)特性分析以及拓?fù)鋬?yōu)化。湖北工業(yè)大學(xué)的景修潤等[5]使用Ansys Workbench對鉚鉗彎臂進(jìn)行受力分析找出危險(xiǎn)截面并驗(yàn)證，將模型參數(shù)化選取優(yōu)化參數(shù)，再對參數(shù)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而節(jié)約生產(chǎn)成本。目前優(yōu)化設(shè)計(jì)主要分為3類，其中結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化在當(dāng)前優(yōu)化應(yīng)用體系中優(yōu)化效果最好，是發(fā)展迅速并且難度最高的一種高效優(yōu)化設(shè)計(jì)。連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的方法有：連續(xù)體結(jié)構(gòu)均勻拓?fù)鋬?yōu)化法[6]、改進(jìn)的均勻化法[7]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法[8]、水平集法[9]等。離散型拓?fù)鋬?yōu)化有：程耿東教授的松弛方法[10]、基于遺傳算法的拓?fù)鋬?yōu)化[11]等。

如今由于拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)越性，拓?fù)鋬?yōu)化方法在工業(yè)生產(chǎn)與生活領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越普及。通過有限元變密度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，限定非設(shè)計(jì)區(qū)域，對工字形結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域展開拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，在滿足安全性與可靠性設(shè)計(jì)的前提下，合理優(yōu)化工字形結(jié)構(gòu)材料的空間幾何分布，從而實(shí)現(xiàn)工字形結(jié)構(gòu)在工業(yè)安全生產(chǎn)領(lǐng)域的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

1 結(jié)構(gòu)靜力分析

建立三維數(shù)學(xué)模型，通過Workbench軟件相容性對接導(dǎo)入有限元靜力分析模塊，設(shè)置材料參數(shù)、劃分三維模型網(wǎng)格、輸入約束條件、施加載荷，再對結(jié)果應(yīng)力和形變進(jìn)行靜力分析。

1.1 簡化有限元模型

選取標(biāo)準(zhǔn)工字形結(jié)構(gòu)通過三維設(shè)計(jì)有限元Workbench軟件建立三維模型，該工字形結(jié)構(gòu)三維造型及幾何尺寸如圖1所示，材料屬性主要參數(shù)如表1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)幾何尺寸

表1 結(jié)構(gòu)材料各項(xiàng)參數(shù)

用正六面體單元?jiǎng)澐殖鲇邢拊Ｐ途W(wǎng)格，得到13 195個(gè)節(jié)點(diǎn)、2 532個(gè)單元。上側(cè)翼緣左右2孔洞固定約束，下側(cè)翼緣2孔洞內(nèi)各受向下集中荷載36 N，腹板與翼緣相交處做圓滑處理。結(jié)構(gòu)模型約束面與施加集中荷載位置見圖2。

圖2 結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分

1.2 有限元靜力分析

通過Workbench下的靜力分析模塊對結(jié)構(gòu)載荷分析，得到有限元模型的基本位移云圖，如圖3所示。由圖3可知：在載荷作用下最大位移0.000 182 99 mm，最大位移產(chǎn)生在下部翼緣邊緣處，最小位移發(fā)生在固定圓孔內(nèi)側(cè)處；結(jié)構(gòu)形變具有對稱性，由于結(jié)構(gòu)與施加荷載都具有對稱性，表明位移云圖符合實(shí)際工況。由結(jié)構(gòu)等效應(yīng)力云圖(見圖4)可知：結(jié)構(gòu)腹板應(yīng)力較為均勻，在結(jié)構(gòu)下翼緣與腹板直角處存在應(yīng)力集中效應(yīng)，所以該處應(yīng)力值最大為0.417 77 MPa，因?yàn)樯喜恳砭夁吘墐蓚?cè)處不存在荷載與約束條件作用，其應(yīng)力最小。

圖3 結(jié)構(gòu)位移云圖

圖4 結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖

2 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 建立拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

考慮到結(jié)構(gòu)密度過小會導(dǎo)致迭代時(shí)間過長或者求解不出最優(yōu)解，以最小質(zhì)量為整體結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)，以質(zhì)量減少百分比、許用最大應(yīng)力、許用最大形變?yōu)榧s束條件，通過有限元技術(shù)[12]優(yōu)化工字形結(jié)構(gòu)。在滿足結(jié)構(gòu)基本穩(wěn)定等條件下拓?fù)鋬?yōu)化，工字形結(jié)構(gòu)幾何優(yōu)化的數(shù)學(xué)基本模型求出如下：

式中，f(M)為目標(biāo)函數(shù)；M為結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的質(zhì)量；M0為結(jié)構(gòu)初始化質(zhì)量；α為質(zhì)量約束百分比；σ為優(yōu)化后最大位移；[σ0]為結(jié)構(gòu)許用位移；δ為優(yōu)化后最大應(yīng)力；[δ0]為結(jié)構(gòu)許用應(yīng)力。

2.2 拓?fù)鋬?yōu)化步驟

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化主要流程如圖5所示，建立符合實(shí)際的物理模型，選定優(yōu)化目標(biāo)、規(guī)劃約束條件；然后把建好的模型通過軟件相容性導(dǎo)入有限元Workbench軟件靜力分析模塊對結(jié)構(gòu)靜力分析，確定拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，規(guī)劃拓?fù)鋬?yōu)化約束條件；設(shè)置拓?fù)涞螖?shù)，展開迭代，驗(yàn)證結(jié)果是否滿足最大許用應(yīng)力與最大許用形變邊界條件；優(yōu)化后處理模型，檢驗(yàn)結(jié)果優(yōu)化后保證滿足許用應(yīng)力與許用位移等約束條件；最后再對結(jié)構(gòu)質(zhì)量約束百分比驗(yàn)證，如若滿足，結(jié)束拓?fù)鋬?yōu)化。

圖5 拓?fù)鋬?yōu)化流程

2.3 實(shí)例拓?fù)鋬?yōu)化

4個(gè)孔洞位置均為非設(shè)計(jì)區(qū)域，在求解過程中保留該區(qū)域特征。拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)槟Ｐ徒Y(jié)構(gòu)非約束區(qū)域的其余區(qū)域，整體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)，約束條件分別為[σ0]=1 MPa，[δ0]=0.000 2 mm,目標(biāo)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為50%。迭代30步收斂容差0.2%，懲罰因子2，通過有限元軟件計(jì)算得到結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代過程的結(jié)果如圖6和圖7所示，從迭代曲線圖與收曲線圖中分析可知優(yōu)化迭代目標(biāo)總體趨于收斂，表明滿足優(yōu)化方案條件。

把優(yōu)化后的模型圓潤處理，在相同條件下靜力分析，得出優(yōu)化后模型變形云圖(圖8)與應(yīng)力云圖(圖9)，從應(yīng)力云圖中可以看出結(jié)構(gòu)主要變形產(chǎn)生在應(yīng)力孔洞外側(cè)區(qū)域，應(yīng)力在腹板處分布較為均勻，最大應(yīng)力在下部翼緣與腹板相接彎曲折角處。優(yōu)化設(shè)計(jì)后的結(jié)構(gòu)載荷路徑與結(jié)構(gòu)變形較為合理，與優(yōu)化前的結(jié)構(gòu)主要集中形變與應(yīng)力位置并無太大變化，表明拓?fù)鋬?yōu)化后的結(jié)構(gòu)較為理想。

圖6 結(jié)構(gòu)迭代曲線

圖7 結(jié)構(gòu)收斂曲線

圖8 優(yōu)化后變形云圖

3 優(yōu)化后性能對比分析

表2為工字形結(jié)構(gòu)優(yōu)化前、后的各項(xiàng)參數(shù)對比，由表2可知：拓?fù)鋬?yōu)化后工字形結(jié)構(gòu)的參數(shù)指標(biāo)分別增加0.000 01 mm與0.193 1 MPa，增加幅度不大，質(zhì)量降低38%，均在安全設(shè)計(jì)允許范圍內(nèi)。

圖9 優(yōu)化后應(yīng)力云圖

表2 拓?fù)鋬?yōu)化前后性能對比

4 結(jié)論

通過對工字形結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)前、后的性能對比可以看出，拓?fù)鋬?yōu)化在工業(yè)結(jié)構(gòu)安全優(yōu)化領(lǐng)域具有非常廣闊的發(fā)展空間與前景，與此同時(shí)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)不但極大地節(jié)省了材料，提高了安全性能，荷載與變形結(jié)構(gòu)也更加合理，為設(shè)計(jì)工作者的研究與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)比較好的方法與思路。