孫 亮，羅 佳*，喬印虎

(1.池州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電技術(shù)系，安徽 池州247000；2.安徽科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，安徽 鳳陽(yáng)233100)

自從1963 年發(fā)現(xiàn)Lorenz 混沌吸引子以來(lái)[1]，各種新混沌系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn)和研究，如1999 年陳關(guān)榮教授等人[2]提出的Chen 系統(tǒng)，2002 年呂金虎教授等人[3]提出的Lü 系統(tǒng)、2004 年劉崇新教授等人[4]提出的Liu 系統(tǒng)以及其他的擴(kuò)展混沌系統(tǒng)[5-6]。 近年來(lái)，研究發(fā)現(xiàn)，許多的混沌系統(tǒng)具有共存吸引子特性，即多穩(wěn)定性[7-9]。 具有多穩(wěn)定性的混沌系統(tǒng)比一般混沌系統(tǒng)具有更大的不確定性，在信息加密和保密通信等領(lǐng)域具有極高的應(yīng)用價(jià)值[10-11]。 特別是2016 年包伯成教授等人[12]在一個(gè)憶阻電路中發(fā)現(xiàn)了超級(jí)多穩(wěn)定性現(xiàn)象，即在確定的混沌系統(tǒng)中存在無(wú)限多個(gè)吸引子共存特性。 此后，超級(jí)多穩(wěn)定性現(xiàn)象在各種混沌系統(tǒng)中被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)和研究[13-16]。 本文提出了一個(gè)新的三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)僅含有2 個(gè)非線性項(xiàng)，不僅具有一般混沌系統(tǒng)的特性，重要的是其能夠表現(xiàn)出豐富的超多穩(wěn)定性，即在確定的參數(shù)情況下，不同的初始值能夠得到無(wú)限多種不同的混沌吸引子。 同時(shí)為了在實(shí)際工程中更好地應(yīng)用此系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)電路并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了數(shù)值仿真的正確性。

1 新的三維混沌系統(tǒng)

新系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為:

圖1 混沌吸引子相圖

式中:x，y，z 為3 個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量，a，b，c，d 為4個(gè)正的系統(tǒng)參數(shù)，xsin(z)和xy 為2 個(gè)非線性項(xiàng)。當(dāng)參 數(shù)a ＝1，b ＝0.5，c ＝12，d ＝0.3，初 值 為(2，2，2)時(shí)，系統(tǒng)具有雙翼混沌吸引子，如圖1(a)、(b)所示，圖1(c)為y ＝0 時(shí)的x-z 彭加萊截面，可以看出彭加萊截面為不規(guī)則的分段曲線，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。 圖1(d)為系統(tǒng)3 個(gè)變量隨時(shí)間變化的時(shí)序圖，可以看出產(chǎn)生的序列具有無(wú)周期性，進(jìn)一步證明此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2 新系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 耗散性

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)(1)中3 個(gè)非線性方程等式分別求偏導(dǎo)，可以得到系統(tǒng)的散度為:

顯然，當(dāng)a＞0 且b＞0 時(shí)，?V 恒小于0，系統(tǒng)(1)是耗散的。 在此條件下，系統(tǒng)以指數(shù)形式收斂dv/dt＝e-(a+b)，這意味著，當(dāng)t 趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)軌線上每一個(gè)小體積元收斂到0，系統(tǒng)的軌跡逐漸趨于一個(gè)有界的吸引子。

2.2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

令系統(tǒng)(1)等式右邊等于0，可以得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)狀態(tài)方程如下:

解平衡方程(3)可以得到無(wú)限多個(gè)系統(tǒng)平衡點(diǎn)，如下所示:

式中:k ＝0，±1，±2，±3，±4，…。 計(jì)算系統(tǒng)Jacobi 矩陣為:

所有平衡點(diǎn)P 均有以下特征方程:

顯然，對(duì)于所有正參數(shù)，基于勞斯穩(wěn)定性判定定理，系統(tǒng)(1)的所有平衡點(diǎn)均具有不穩(wěn)定性特性。

2.3 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性的影響

當(dāng)保持系統(tǒng)參數(shù)a ＝1，b ＝0.5，c ＝12 不變，初值分別設(shè)為(2，2，2)和(2，2，-2)，系統(tǒng)隨參數(shù)d 變化的分岔圖如圖2 所示，其中縱坐標(biāo)為x 變量最大值。在圖2 中，紫色表示初值(2，2，2)條件下系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔結(jié)果，藍(lán)色表示初值(2，2，-2)條件下系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔結(jié)果。 從圖2 可以發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)d 從0開(kāi)始正向增大，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡通過(guò)正向倍周期分岔路徑從周期行為快速進(jìn)入到混沌狀態(tài)，直到d ＝0.64。 需要指出的是，在此混沌區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)存在少數(shù)窄周期窗特性。 隨后系統(tǒng)又開(kāi)始從混沌行為反向倍周期分岔進(jìn)入周期行為，并在d ＝0.76 時(shí)通過(guò)切分岔路徑快速演變?yōu)榛煦缧袨椤?隨著d 的進(jìn)一步增大，系統(tǒng)再次通過(guò)反向倍周期分岔途徑在d ＝1.1 時(shí)進(jìn)入到周期狀態(tài)，隨后系統(tǒng)保持周期狀態(tài)穩(wěn)定不變。此外，從圖2 中還可以明顯的觀察到兩個(gè)特點(diǎn):一是系統(tǒng)的混沌吸引子幅度與d 密切相關(guān)；二是在部分d 的取值范圍內(nèi)存在共存吸引子現(xiàn)象。 為了進(jìn)一步證實(shí)系統(tǒng)(1)的參數(shù)變化特性，圖3 給出了初值(2，2，2)條件下，系統(tǒng)隨參數(shù)d 變化的Lyapunov 指數(shù)譜，當(dāng)d 在(0.1，0.64)與(0.74，1.1)范圍內(nèi)，系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)分布為(+，0，-)，根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)判定定理，說(shuō)明系統(tǒng)是混沌的。 從圖3 可以看出，系統(tǒng)在d ∈(0，0.1)，d ∈(0.65，0.73)，d ∈(1.2，1.5)，區(qū)間內(nèi)以及d ＝0.4，d ＝0.46，d ＝0.592 時(shí)，Lyapunov 指數(shù)分布為(0，-，-)，說(shuō)明系統(tǒng)是周期的。Lyapunov 指數(shù)譜所表現(xiàn)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)分布與分岔圖基本一致。

在MATLAB 中設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng)為0.01，最大時(shí)長(zhǎng)為2 000，新系統(tǒng)對(duì)于參數(shù)d 取不同值所得到的混沌吸引子相圖如圖4 所示。 由圖可看出:當(dāng)d ＝0.2 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了一個(gè)雙翼混沌吸引子；當(dāng)d ＝0.8 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了一個(gè)4 翼混沌吸引子；當(dāng)d＝0.85 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了一個(gè)6 翼混沌吸引子；當(dāng)d＝1.02 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了一個(gè)共存的雙翼混沌吸引子。 該新系統(tǒng)在不同參數(shù)值下產(chǎn)生了不同的混沌吸引子，特別是在z 方向上分離產(chǎn)生了多翼吸引子，具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

圖2 參數(shù)d 分岔圖

圖3 參數(shù)d Lyapunov 指數(shù)譜

圖4 新系統(tǒng)在不同d 值時(shí)混沌吸引子相圖

2.4 初值對(duì)系統(tǒng)特性的影響

盡管混沌系統(tǒng)對(duì)變量的初始值具有高度敏感性，但大部分的系統(tǒng)在不同的初值下，運(yùn)行軌跡最后都收斂到有限個(gè)吸引子上，而對(duì)于不同初始值導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)行軌跡收斂到無(wú)限個(gè)不同的吸引子上的現(xiàn)象被稱為共存無(wú)限個(gè)吸引子現(xiàn)象，或稱超多穩(wěn)定性行為。

分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)固定參數(shù)a ＝1，b ＝0.5，c ＝12 和d ＝0.3，初值x(0)＝2，y(0)＝2 保持不變，在不同的初值z(mì)(0)條件下，新系統(tǒng)(1)能夠產(chǎn)生無(wú)限多種混沌吸引子共存現(xiàn)象，即新系統(tǒng)具有超多穩(wěn)定性。 如圖5 所示，當(dāng)z(0)分別設(shè)置為-2π，0，2π，4π，6π，8π 時(shí)，對(duì)應(yīng)的混沌吸引子分別為紫色，紅色，綠色，黃色，淺藍(lán)色和深藍(lán)色吸引子。

圖5 初值z(mì)(0)影響下的共存混沌吸引子

保持系統(tǒng)參數(shù)不變，圖6 給出了系統(tǒng)(1)隨初值z(mì)(0)變化的分岔圖。 由圖6 可知，對(duì)于更多不同的z(0)值，系統(tǒng)(1)能夠產(chǎn)生更多的共存混沌吸引子。 它進(jìn)一步說(shuō)明了新系統(tǒng)中無(wú)限多個(gè)混沌吸引子共存現(xiàn)象的客觀存在性。 此外，如果設(shè)置參數(shù)a ＝1，b ＝0.5，c ＝12，d ＝1.2，同樣取不同的初值z(mì)(0)為-2π，0，2π，4π，6π，8π，系統(tǒng)(1)能夠產(chǎn)生無(wú)限多個(gè)共存周期吸引子，如圖7 所示。

圖6 系統(tǒng)隨z(0)變化的分岔圖

圖7 初值z(mì)(0)影響下的共存周期吸引子

3 電路設(shè)計(jì)與仿真

混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用具有根本的重要性[17-18]。 利用模擬運(yùn)算放大器，模擬乘法器，正弦信號(hào)轉(zhuǎn)變器以及電阻、電容對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。 圖8 給出了系統(tǒng)的電路圖。 系統(tǒng)狀態(tài)變量x，y，z 通過(guò)3 個(gè)積分器的輸出電壓表示?；诨鶢柡煞螂娐范?，系統(tǒng)電路的等效電路方程為:

比較系統(tǒng)參數(shù)與電路元件，參數(shù)a ＝R/R1＝R/R2，b ＝R/R6＝R/R7，c＝R4/R3，d ＝Vc/R9。 在Multisim電路仿真軟件中創(chuàng)建圖8 所示電路，當(dāng)a ＝1，b ＝0.5，c＝12 時(shí)，對(duì)應(yīng)電路元件值設(shè)置為C ＝10 nF，R ＝10 kΩ，R1＝R2＝100 kΩ，R6＝R7＝200 kΩ，R5＝R9＝100 kΩ，R4＝10 kΩ，R3＝0.9 kΩ。 當(dāng)d ＝0.3 和d ＝1.2 時(shí)，調(diào)節(jié)Vc值分別為0.33 V 和1.3 V，仿真結(jié)果分別如圖9(a)和圖9(b)所示。

圖8 系統(tǒng)電路原理圖

圖9 Multisim 仿真結(jié)果

4 結(jié)論

本文針對(duì)一種具有無(wú)限多吸引子共存的三維連續(xù)混沌新系統(tǒng)，進(jìn)行理論分析，MATLAB 數(shù)值計(jì)算和電路設(shè)計(jì)仿真研究。 研究結(jié)果表明，該系統(tǒng)在不同的系統(tǒng)參數(shù)下能夠產(chǎn)生不同的多翼混沌吸引子，具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性。 特別是在固定系統(tǒng)參數(shù)下，通過(guò)改變初始值，該系統(tǒng)能夠產(chǎn)生無(wú)限多吸引子共存的超多穩(wěn)定性動(dòng)力學(xué)行為。 通過(guò)設(shè)計(jì)模擬電路，用Multisim 得到新系統(tǒng)的一種混沌吸引子和一種周期吸引子，從而證實(shí)了系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。 如此超多穩(wěn)定性混沌系統(tǒng)，在保密通信中具有較高的應(yīng)用價(jià)值。