楊 帆，鄭安芳

(1.武漢工程大學(xué)電氣信息學(xué)院，湖北武漢 430205；2.湖北省視頻圖像與高清投影工程技術(shù)研究中心,湖北武漢 430205)

0 引言

自適應(yīng)濾波算法種類繁多，其中LMS(least mean square)[1-4]算法運(yùn)算量小，過(guò)程簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，成為自適應(yīng)濾波算法中應(yīng)用最為廣泛的算法。該算法分為變步長(zhǎng)算法和定步長(zhǎng)算法2種，變步長(zhǎng)算法是在克服定步長(zhǎng)算法收斂速度慢，穩(wěn)態(tài)誤差較大的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種算法，為了滿足實(shí)際需要，人們對(duì)變步長(zhǎng)算法進(jìn)行了一系列的研究。

文獻(xiàn)[5]中算法使收斂速度和跟蹤速度顯著提高，但是穩(wěn)態(tài)誤差無(wú)法緩慢變化。文獻(xiàn)[6]中算法能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差緩慢變化，但是穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲大，跟蹤能力弱。文獻(xiàn)[7]中算法兼具收斂速度快和穩(wěn)態(tài)誤差小的特點(diǎn)，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，但是精度有待提高。文獻(xiàn)[8]中算法克服了SVSLMS算法在收斂階段步長(zhǎng)過(guò)快的弊端，但是算法復(fù)雜度較高。

這些變步長(zhǎng)的LMS算法設(shè)計(jì)原則相同，在初始階段用較大步長(zhǎng)加快誤差收斂和對(duì)時(shí)變系統(tǒng)跟蹤能力；當(dāng)誤差較小時(shí)需保證步長(zhǎng)比較小，保證很小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲[9]。針對(duì)這一原則，在Sigmoid函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種新的變步長(zhǎng)LMS算法，通過(guò)MATLAB仿真驗(yàn)證，該算法收斂速度快，穩(wěn)態(tài)誤差小，性能好。將新的LMS算法應(yīng)用于明渠流量計(jì)回波信號(hào)的濾波處理中，使回波信號(hào)能夠準(zhǔn)確捕捉。

1 LMS算法基本原理

自適應(yīng)濾波器[10]包括參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)濾波算法2部分，如圖1所示。其中，x(n)表示n時(shí)刻的輸入信號(hào)。x(n)通過(guò)參數(shù)可調(diào)節(jié)的數(shù)字濾波器獲得輸出信號(hào)y(n)，將y(n)與期望響應(yīng)信號(hào)d(n)進(jìn)行比較，得到誤差信號(hào)e(n)，并通過(guò)LMS算法對(duì)濾波器參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，最終使得e(n)的均方值最小，達(dá)到濾波的效果。

圖1 自適濾波器原理圖

LMS算法步驟如下：

(1)獲得輸出信號(hào)：

y(n)=wT(n)x(n)

(1)

(2)求取誤差信號(hào)：

e(n)=d(n)-y(n)

(2)

(3)自動(dòng)調(diào)整濾波器參數(shù)：

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)

(3)

式中：μ為步長(zhǎng)因子；w(n)矢量為濾波器參數(shù)矢量；wT(n)為w(n)的轉(zhuǎn)置。

2 新的變步長(zhǎng)LMS算法

2.1 新的LMS算法設(shè)計(jì)思路

自1996年覃景繁等提出基于Sigmoid函數(shù)的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法以后，人們?yōu)榱耸筁MS自適應(yīng)濾波算法滿足實(shí)際需要，進(jìn)行了一系列的改進(jìn)與優(yōu)化。其中變步長(zhǎng)函數(shù)多數(shù)以指數(shù)函數(shù)作為變步長(zhǎng)函數(shù)的基本單元進(jìn)行改進(jìn)，其中覃景繁提出的變步長(zhǎng)LMS算法最具有代表性，其步長(zhǎng)因子和誤差之間的關(guān)系為

(4)

由泰勒級(jí)數(shù)[11]可知：

(5)

由此可以得到：

(6)

由此猜想由冪函數(shù)構(gòu)成的相關(guān)函數(shù)也能滿足步長(zhǎng)函數(shù)收斂的條件。因此，構(gòu)建了一種新的LMS算法步長(zhǎng)函數(shù)：

(7)

利用式(7)重新定義步長(zhǎng)μ(n)和誤差e(n)之間的關(guān)系，得到函數(shù)模型：

(8)

式中β為控制函數(shù)取值范圍的系數(shù)，且a、b、m、β均大于0。

當(dāng)誤差e(n)無(wú)窮接近0時(shí)，

(9)

當(dāng)誤差e(n)無(wú)窮大時(shí)，

(10)

根據(jù)式(9)和式(10)，可以初步判斷步長(zhǎng)μ(n)的范圍是(0，β)，系數(shù)β影響步長(zhǎng)μ(n)變化的上限，系數(shù)a、b、m影響步長(zhǎng)的變化速率。

2.2 步長(zhǎng)函數(shù)參數(shù)對(duì)步長(zhǎng)的影響研究

由式(8)可知，該步長(zhǎng)函數(shù)共有β、a、b、m4個(gè)參數(shù)，下面用控制變量法研究這4個(gè)參數(shù)對(duì)步長(zhǎng)的影響。

令β=1，b=1，a=10，m=0.8、1、3、5、7、9時(shí)，步長(zhǎng)μ(n)和誤差e(n)的關(guān)系曲線如圖2所示。步長(zhǎng)值的范圍是(0,1)，隨著m值變大，在同一較大誤差e(n)(誤差大于1)下步長(zhǎng)值會(huì)相應(yīng)變大，提高了算法的收斂速度。當(dāng)m值較小時(shí)，在誤差e(n)接近為0時(shí)步長(zhǎng)無(wú)法平滑下降，因此m應(yīng)該大于1。當(dāng)誤差e(n)為0.2、0.8、1.2時(shí)，列出各自的步長(zhǎng)值如表1所示。由表1可知，為了保證步長(zhǎng)能夠快速跟蹤誤差同步變化，應(yīng)該使m值大一點(diǎn)，但是當(dāng)m過(guò)大時(shí)，將會(huì)使函數(shù)復(fù)雜度增加，計(jì)算量變大，同時(shí)還會(huì)使小誤差范圍內(nèi)步長(zhǎng)為0，因此m應(yīng)小于5。

圖2 m改變時(shí)步長(zhǎng)與誤差關(guān)系曲線圖

令β=1，b=1，m=3，a=1、3、5、7、9、50時(shí)，步長(zhǎng)μ(n)和誤差e(n)的關(guān)系曲線如圖3所示。常數(shù)a的值影響曲線上升和下降的速度，a值越小，步長(zhǎng)曲線上升和下降的速度越快，函數(shù)收斂越快，但當(dāng)誤差很小的時(shí)候，步長(zhǎng)值仍然較大，增加了穩(wěn)態(tài)誤差。

令β=1，b=1、3、5、7、9、50，a=10，m=3時(shí)，步長(zhǎng)μ(n)和誤差e(n)的曲線如圖4所示。當(dāng)b較小時(shí)，步長(zhǎng)迭代變化區(qū)間比較小，收斂速度不會(huì)很高。

表1 變化時(shí)的步長(zhǎng)值

圖3 a改變時(shí)步長(zhǎng)與誤差關(guān)系曲線圖

圖4 b改變時(shí)步長(zhǎng)與誤差關(guān)系曲線圖

系數(shù)a、b影響步長(zhǎng)的變化速率，為了比較a、b對(duì)曲線步長(zhǎng)變化影響的權(quán)重，分別計(jì)算a、b取值變化時(shí)對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)值，在誤差為1(當(dāng)誤差為1時(shí)，參數(shù)m不影響函數(shù)的取值)，β=1，m=3時(shí)，取圖3和圖4中數(shù)據(jù)如表2所示。

從表2可以看出，系數(shù)a從1變大到50時(shí)，步長(zhǎng)的變化量約是0.48，系數(shù)b從1變大到50時(shí)，步長(zhǎng)的變化量約是0.74，對(duì)比可知系數(shù)b對(duì)步長(zhǎng)的變化速率影響更大。從圖3和圖4可知，步長(zhǎng)變化率和穩(wěn)態(tài)誤差是相互矛盾的，步長(zhǎng)變化大時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差也很大，因此系數(shù)a、b取值應(yīng)該選擇兩者適中的數(shù)據(jù)。

表2 參數(shù)a、b變化時(shí)曲線步長(zhǎng)表

圖5為β=1.5、1.0、0.8、0.5，b=1，a=10,m=3時(shí)步長(zhǎng)μ(n)和誤差e(n)的關(guān)系曲線圖。此處3條步長(zhǎng)與誤差曲線皆能滿足算法收斂原則，但是當(dāng)β較小時(shí)，會(huì)讓收斂速度變慢，β過(guò)大會(huì)使函數(shù)不收斂，造成發(fā)散。因此在實(shí)際選擇過(guò)程中若是對(duì)收斂速度要求不高時(shí)可以選擇較小的β，反之，選擇較大的β。

圖5 β改變時(shí)步長(zhǎng)與誤差關(guān)系曲線圖

綜合以上4種研究情況，為了同時(shí)滿足算法快速性和穩(wěn)態(tài)誤差的要求，本文選取β、a、b、m的一組值為1、100、1.5、2。

3 新的LMS算法仿真實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證新的LMS算法比已有的優(yōu)秀的變步長(zhǎng)算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面性能更優(yōu)，在相同輸入信號(hào)條件下建立MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)。

在MATLAB R2018a，Intel CORE i7，8th Gen環(huán)境下建立仿真模型，具體仿真步驟如下：

(1)算法初始化。設(shè)置自適應(yīng)濾波器的階數(shù)為128，輸入信號(hào)抽樣點(diǎn)數(shù)為1 024，統(tǒng)計(jì)仿真次數(shù)為100。

(2)選擇信號(hào)。選擇正弦信號(hào)作為期望信號(hào)，輸入信號(hào)為正弦信號(hào)和信噪比為3 dB的高斯白噪聲混合信號(hào)。

(3)算法迭代。對(duì)仝喜峰[8]提出的非線性變步長(zhǎng)函數(shù)模型如式(11)，陳泳[12]提出的雙曲正割變步長(zhǎng)函數(shù)如式(12)和本文變步長(zhǎng)函數(shù)如式(13)同時(shí)進(jìn)行算法迭代。

(11)

μ(n)=0.05{1-sech[0.5e(n)]}

(12)

(13)

(4)算法迭代完成，繪制迭代次數(shù)與均方誤差e(n)2的學(xué)習(xí)曲線。

由圖6可知，在相同的輸入信號(hào)和相同的仿真條件下，經(jīng)過(guò)迭代計(jì)算，3條曲線最終都能達(dá)到較高的收斂水平，但是文獻(xiàn)[12]需要迭代200次，文獻(xiàn)[8]需要100次，而本文需要25次左右，可以看出新的LMS算法收斂速度更快，且本文算法穩(wěn)態(tài)誤差均方值無(wú)限接近于0，濾波效果好。

圖6 3種步長(zhǎng)函數(shù)迭代次數(shù)與均方誤差的學(xué)習(xí)曲線

4 新的LMS算法在明渠流量計(jì)中的應(yīng)用

時(shí)差法超聲波明渠流量計(jì)[13]利用超聲波在流體順流和逆流方向上的傳播時(shí)間差，進(jìn)而得到相應(yīng)截面的流量。然而，在明渠流量計(jì)應(yīng)用現(xiàn)場(chǎng)，接收信號(hào)中總是混雜著干擾信號(hào)，如被測(cè)介質(zhì)自身的雜質(zhì)和氣泡等產(chǎn)生的干擾、電磁干擾等，這些干擾信號(hào)成為影響明渠流量計(jì)準(zhǔn)確測(cè)量超聲波在介質(zhì)中傳播時(shí)間的主要因素。

不同信噪比的噪聲信號(hào)會(huì)對(duì)明渠流量計(jì)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性有不同程度的影響，低信噪比環(huán)境下噪聲對(duì)測(cè)量信號(hào)的影響很大。本文利用新的LMS算法，仿真測(cè)試輸入信號(hào)為低信噪比信號(hào)的濾波效果。在5組相同的正弦信號(hào)下，分別混合信噪比為-6、-3、0、3、6 dB的噪聲信號(hào)作為輸入信號(hào)。利用上述仿真條件進(jìn)行仿真，其結(jié)果圖如圖7所示。

(a)信噪比=-6 dB

(b)信噪比=-3 dB

(c)信噪比=0 dB

(d)信噪比=3 dB

(e)信噪比=6 dB圖7 5種不同信噪比下的輸入信號(hào)經(jīng)濾波后的輸出信號(hào)圖

由圖7可知，當(dāng)輸入信號(hào)的信噪比為-6 dB時(shí)有效信號(hào)被嚴(yán)重污染，此時(shí)濾波波形和期望信號(hào)波形一致，濾波效果明顯，使得明渠流量計(jì)能夠準(zhǔn)確捕捉低信噪比下的回波信號(hào)。當(dāng)混雜在有效信號(hào)中的噪聲逐漸減小時(shí)，輸出波形越來(lái)越接近期望波形，濾波效果越來(lái)越理想。

5 結(jié)論

新的LMS算法滿足變步長(zhǎng)LMS算法的步長(zhǎng)調(diào)整規(guī)則，利用多項(xiàng)式作為步長(zhǎng)調(diào)整的影響因子，通過(guò)與已有的優(yōu)秀的變步長(zhǎng)算法對(duì)比可知，新的LMS算法收斂速度更快，穩(wěn)態(tài)誤差小。通過(guò)對(duì)不同信噪比的輸入信號(hào)進(jìn)行濾波處理，濾波結(jié)果說(shuō)明了該算法濾波性能好，為超聲波明渠流量計(jì)準(zhǔn)確捕捉回波信號(hào)提供了保障。