李彬 徐海玨 白玉川 冀自青

?(天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300350)

?(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院,天津 300350)

引言

彎曲河流的穩(wěn)定性與非線性特征自20 世紀(jì)80年代以來,眾多學(xué)者都未停止對它的探究.Callander[1]在對順直河道中的水流線性穩(wěn)定性分析中認(rèn)為不穩(wěn)定性是導(dǎo)致河流彎曲或辮狀的原因,并指出所有的河流是不穩(wěn)定的.Ikeda 等[2]基于淺水方程構(gòu)建了在彎曲河流中的水流積深方程,進(jìn)行了彎道不穩(wěn)定性分析時(shí),假定河道寬度為恒定值,彎曲度(河道半寬與曲率半徑的比值)遠(yuǎn)小于1,在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中出現(xiàn)了與河道振幅相關(guān)的幾何非線性項(xiàng),但是在穩(wěn)定性分析中卻移除了幾何非線性和與動(dòng)力非線性項(xiàng),他們在彎曲河流線性穩(wěn)定性分析中認(rèn)為最不穩(wěn)定性波長是彎曲河流自身的有限振幅波長.Parker等[3]對有限振幅彎道的非線性的處理是利用Stokes的水波攝動(dòng)展開方法的修正進(jìn)行非線性穩(wěn)定性分析,忽略了高階的動(dòng)力非線性項(xiàng),僅保留了高階的幾何非線性項(xiàng),他們分析彎道的形態(tài)特征是在正弦派生曲率的基礎(chǔ)加上三次諧波的小振幅,其成果是基于水流與河床地形的線性模型,但是河岸侵蝕公式表明幾何非線性是受到近岸流速在水流非線性作用下產(chǎn)生高次諧波的驅(qū)動(dòng)而產(chǎn)生,即水流非線性產(chǎn)生了幾何非線性.Seminara 和Tubino[4]在對彎曲河流的弱非線性分析中,認(rèn)為河流具有非線性動(dòng)力系統(tǒng)的特性,利用彎曲度作為擾動(dòng)參數(shù),在較小曲率的河流中的共振狀態(tài)附近進(jìn)行幾何弱非線性分析,揭示了響應(yīng)的非唯一性以及非線性效應(yīng)的抑制作用.Imran 等[5]建立了水下與地表的彎曲河道的水流的非線性模型,將曲率振幅的冪次進(jìn)行展開并代入水深積分的控制方程中,在線性與非線性階段進(jìn)行求解,研究了水流與河流幾何參數(shù)的影響,他指出對于Sun[6]在長期的地質(zhì)時(shí)間尺度上的彎曲河流演變的模擬存在基礎(chǔ)性缺陷,原因是忽視了水流動(dòng)力中的非線性的作用.Seminara[7]指出在對彎曲河流的理論分析與室內(nèi)試驗(yàn),都表明彎曲河流的性質(zhì)與不穩(wěn)定機(jī)制有關(guān),主要為水流自身不穩(wěn)定性以及水流與可侵蝕邊界的流動(dòng)界面的不穩(wěn)定性.Pittaluga 等[8]認(rèn)為彎曲河流的線性理論說明了共振機(jī)理,然而仍未建立彎曲河流完全的非線性理論,非線性作用對水流流場的影響不可忽略.Pittaluga 和Seminara[9]提出對于彎曲河流進(jìn)一步研究的方向應(yīng)集中在非線性與不穩(wěn)定性,這與河流自身并不是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)相關(guān),并指出之前對于彎曲河流的研究主要集中于線性穩(wěn)定性模型的發(fā)展上面,非線性與不穩(wěn)定性的作用被嚴(yán)重的忽略了.徐海玨和白玉川[10]針對順直河道建立了水流與河床的擾動(dòng)共振三波與床面泥沙作用的水流非線性理論模型,分析了順直河道沙紋動(dòng)力過程與演變特征.Bai 等[11-17]認(rèn)為非線性流體動(dòng)力學(xué)理論是探究河流在自然或者人為擾動(dòng)下的演變的重要手段,并在弱非線性理論基礎(chǔ)上建立了常曲率與變曲率河灣中的河灣控制方程與穩(wěn)定性理論,探究了在小擾動(dòng)情況下的河流響應(yīng)以及渦量分布,認(rèn)為在外部擾動(dòng)影響下,河流類型可以發(fā)生短暫的變化,但能夠回到原始平衡狀態(tài)類型.Ail 等[18-21]對彎曲河流的水流不穩(wěn)定分析中指出,水流不穩(wěn)定性與水流特性有關(guān),其中流體黏滯系數(shù)在彎曲河流的紊流阻力的不穩(wěn)定性中起到?jīng)Q定性作用,并且在微彎河道的水動(dòng)力分析中考慮了水流的橫向流動(dòng)的不對稱性,此外還指出河流的不穩(wěn)定性源于水流與松散邊界物質(zhì)的相互作用,并從室內(nèi)實(shí)驗(yàn)、現(xiàn)場觀測及理論分析,研究了近床水流動(dòng)力特征.Tubino 等[22-25]研究了河曲彎道平面發(fā)育過程中河道寬度變化和曲率之間的相互作用,不同的河道曲率對水流流場、泥沙輸移和平面演變過程具有顯著的貢獻(xiàn),并分析了河流分叉時(shí)的不穩(wěn)定性.Nelson 等[26-27]構(gòu)建了一維與水深積分的正交曲線坐標(biāo)系下的彎曲河流計(jì)算程序,包含水流、泥沙輸移和河床演變,但是在其計(jì)算程序中缺少對非線性影響的分析與討論.

之前學(xué)者們研究主要聚焦于彎曲河流平面形態(tài)的幾何非線性、床面擾動(dòng)的幾何非線性、水流與床面的不穩(wěn)定性,但對于水流自身動(dòng)力的非線性及其演化特征的研究尚有不足,本文通過構(gòu)建彎道水流控制方程,分析水流自身不穩(wěn)定引起的非線性作用,在水流的小擾動(dòng)情況下構(gòu)建水流擾動(dòng)的控制方程,構(gòu)造了在時(shí)間模式下的Orr-Sommerfeld 方程,分析彎道水動(dòng)力的穩(wěn)定性特征,并利用流動(dòng)穩(wěn)定性的弱非線性理論[28-29]構(gòu)造考慮彎曲度的Landau-Stuart 方程,推導(dǎo)了在水流非線性作用下的常曲率彎道水動(dòng)力的非線性演化方程,暫不考慮河岸物質(zhì)組成與床面形態(tài)對水流動(dòng)力的影響.在彎曲河流中,往往存在對于河流的曲率半徑沿程不變,寬度受兩側(cè)岸壁限制的情況,如黑龍江第一彎、黃河晉陜峽谷段永和乾坤灣等常曲率河灣.在彎曲河流中,水流動(dòng)力為泥沙的輸移提供了動(dòng)力,進(jìn)而影響到河流形態(tài)與河床形態(tài),因此研究常曲率彎道水動(dòng)力結(jié)構(gòu)以期為進(jìn)一步探究河流穩(wěn)定性與床面形態(tài)變化的完全非線性提供水動(dòng)力非線性基礎(chǔ).

圖1 黑龍江第一灣Fig.1 The first bend of Heilongjiang

1 理論模型

1.1 坐標(biāo)變換

本文研究對象為常曲率河灣,為了反映出河灣的流動(dòng)情況,首先建立適用于一般蜿蜒河灣的正交曲線坐標(biāo)系,其中s為河道中軸線,指向下游流動(dòng)方向,n為垂直于s方向.取B為半河寬;x0和y0分別為河道中心線的坐標(biāo)值,如圖2 所示.

圖2 河灣正交曲線坐標(biāo)系Fig.2 Orthogonal curvilinear coordinate system in meandering river

正交曲線坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

曲率半徑為

拉梅系數(shù)為

1.2 常曲率河灣控制方程

在二維情況下,對連續(xù)性方程與水流運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行無量綱化.在正交曲線坐標(biāo)下,取為半河寬;為河道最小曲率半徑;為基本流的流速峰值,“?”表示有量綱,因此長度、速度和時(shí)間尺度分別為:即有

上式中,p?為壓強(qiáng),ρ 為流體密度,t?為時(shí)間,ψ 為河流彎曲度,為河流重要的彎曲特征參數(shù),其值越小則彎道越平緩.在常曲率情況下無量綱曲率半徑R=1,故hs=1 ?ψn,得到的常曲率彎曲河流無量綱控制方程為

式中Re=為雷諾數(shù),υ 為運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù),

圖3 常曲率河灣Fig.3 Sketch illustrating the constant curve river

1.3 攝動(dòng)分析

因?yàn)閺澢圈?為一小參數(shù),按照流體力學(xué)中對擬序結(jié)構(gòu)的處理方法,對式(4)～式(6)采用攝動(dòng)方法求解,將速度與壓強(qiáng)分解為

式中,右端第一項(xiàng)為明渠基本流,即ψ=0 時(shí)的水流分布,第二項(xiàng)為彎曲修正項(xiàng),第三部分為水流擾動(dòng)項(xiàng),ε 與ψ 皆為小量.Seminara[7]在對接近共振時(shí)的彎曲河流的弱非線性分析中,水流速度解的形式采用微小的彎曲度的冪次展開.本研究中的解的形式包含基本流、微小彎曲度的擾動(dòng)與水流自身擾動(dòng),主要考慮了水流自身擾動(dòng)在彎曲河流中的非線性效應(yīng).在基本流與彎曲修正項(xiàng)分析中,依據(jù)Lagasse 等[30]的報(bào)告,天然河灣的ψ 值大多在0.05～0.20 之內(nèi),在微彎下由彎曲引起的影響僅考慮其一階彎曲度的作用,忽略高階彎曲度的影響.

將基本流與一階彎曲修正項(xiàng)作為常曲率彎道基本流,與水流擾動(dòng)項(xiàng)帶到常曲率河灣控制方程中,即

將上式代入控制方程式(4)～式(6)有

1.4 一階擾動(dòng)量穩(wěn)定性的線性方程

本文探究的問題是在時(shí)間模式中的水流穩(wěn)定性與非線性演化過程,即ω=ωr+iωi,其中虛部ωi為與擾動(dòng)的增長情況相關(guān),即擾動(dòng)振幅為a=exp(ωit),擾動(dòng)幅角θ=?ωrt,其滿足的關(guān)系式為

上式為常曲率彎道水流動(dòng)力特征的Orr-Sommerfeld方程(簡稱O-S 方程,具體過程與形式參見附錄A),利用O-S 方程可求出在彎曲度影響下的中性曲線分布以及相應(yīng)的擾動(dòng)波數(shù)與雷諾數(shù)的變化情況.

1.5 常曲率河灣時(shí)間模式弱非線性演化理論

利用Landau-Stuart 方程的弱非線性理論,在時(shí)間模式下利用a表示線性理論某一擾動(dòng)模式的幅值,考慮非線性的影響,擾動(dòng)幅值與擾動(dòng)幅角的演化方程為

其中A0=ωia,B0=?ωr,a=θ=?ωrt,根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t有

式(17)中ui為任意階擾動(dòng)速度或擾動(dòng)速度分量(i=1,2,···),將式(17) 代回式(12) 和式(13),則可得到任一階數(shù)下常曲率彎道時(shí)間模式弱非線性演化方程.Pittaluga 和Seminara[9]建立的考慮了水流非線性與不穩(wěn)定性作用影響的彎曲河流地貌動(dòng)力過程的模型中忽略了側(cè)壁邊界層作用,但是他們指出對彎曲河流的分析需要完全的非線性控制方程進(jìn)行模擬,對于側(cè)壁邊界層的作用不可忽略,本文中相應(yīng)的水流擾動(dòng)的側(cè)壁上邊界條件為

本文將擾動(dòng)控制方程展開至五階,即得到了一階至五階的常曲率彎道時(shí)間模式下弱非線性演化下的擾動(dòng)控制方程,在附錄B 給出了二階擾動(dòng)控制方程的展開形式.

2 結(jié)果與討論

2.1 穩(wěn)定性理論模型驗(yàn)證

利用中心差分與Muller 法,可以計(jì)算出在特定的Re,α 下的ωr,ωi變化,其中ωi=0 時(shí),即為中性狀態(tài).本次的驗(yàn)證過程采用ψ=0 時(shí)計(jì)算得到的臨界雷諾數(shù)與中性曲線與Nishioka 等[31]所做的平面Poiseuille 流實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,臨界雷諾數(shù)采用Orszag[32]論文中的Recr=5 772.22,α=1.020 59.本文常曲率彎道模型得出對應(yīng)的臨界雷諾數(shù)Recr=5772.222 2,α=1.020 59 其結(jié)果與國際上公認(rèn)的理論與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嘁恢?如圖4 所示.

圖4 中性曲線結(jié)果驗(yàn)證(Re-α)Fig.4 Verification of neutral curve(Re-α)

2.2 河灣彎曲度對中性曲線特征影響

與順直河道不同,常曲率河灣中彎曲邊界會(huì)對基本流以及相應(yīng)的對河灣水流動(dòng)力穩(wěn)定性有影響,隨著彎曲度逐漸增大,基本流分布向n＜0 方向移動(dòng),即水流向凹岸移動(dòng),使得微彎彎道逐漸向有限彎曲的彎道演變.

圖6 與圖7 中黑色點(diǎn)線為不同彎曲度下的臨界雷諾數(shù)分布曲線,圖7 中cr=ωr/α 為擾動(dòng)波速的實(shí)數(shù)部分.ψ 對α,cr,Re的影響主要表現(xiàn)在ψ 的增大使中性曲線向Re增大方向遷移,中性曲線外側(cè)區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定區(qū)域,內(nèi)側(cè)為失穩(wěn)區(qū)域,即隨著ψ 的增大,常曲率彎道的臨界失穩(wěn)雷諾數(shù)增大,彎道趨于穩(wěn)定.在中性曲線上對于同一個(gè)雷諾數(shù)(除臨界雷諾數(shù)Recr外)存在兩個(gè)中性點(diǎn),即上支點(diǎn)與下支點(diǎn),隨著ψ 的增大,下支點(diǎn)的α,cr相互趨近,上支點(diǎn)α,cr相差較大,失穩(wěn)區(qū)域縮窄(中性曲線內(nèi)側(cè)為失穩(wěn)區(qū)、外側(cè)為穩(wěn)定區(qū)),穩(wěn)定性區(qū)域增大,與文獻(xiàn)[33]描述的在彎曲度影響下的中性曲線趨勢相一致,即彎道的彎曲度的存在使得流動(dòng)趨于在更大雷諾數(shù)下失穩(wěn).

圖5 彎曲度ψ 對基本流的影響Fig.5 Effect of curvature ratio ψ on basic flow

圖6 彎曲度對Re-α 的中性曲線影響Fig.6 Effect of curvature on neutral curve of Re-α

圖7 彎曲度對Re-cr的中性曲線影響Fig.7 Effect of curvature on neutral curve of Re-cr

在彎曲度逐漸增大的過程中,臨界雷諾數(shù)、擾動(dòng)波數(shù)與擾動(dòng)波速表現(xiàn)出一定的規(guī)律,在圖8 中,在微彎的限制下,彎曲度從0 增大至0.20 過程中,中性狀態(tài)下的Recr呈現(xiàn)指數(shù)型增長,α 與cr呈現(xiàn)單調(diào)下降的趨勢.

圖8 不同彎曲度下穩(wěn)定性特征Fig.8 Stability characteristics under different curvature ratio

2.3 非線性幅值與幅角的演化特征分析

在利用可解條件在求得Landau 系數(shù)A,B后,設(shè)初始擾動(dòng)幅a0=0.01.取圖6 與圖7 中的中性曲線附近的值進(jìn)行分析不同彎曲度對擾動(dòng)幅值與擾動(dòng)幅角演化的影響.以下分析中對擾動(dòng)波速的虛部取ci=?0.005,α 與cr的均取中性曲線上的值.

由彎曲度影響下的擾動(dòng)幅值演化曲線可知,在同一雷諾數(shù)下,隨著彎曲的增大,其a隨時(shí)間的衰減速度增大,a隨時(shí)間的變化率A在ψ 為0.15 時(shí),衰減率大于ψ 為0.10 與0.00 的變化率,但當(dāng)時(shí)間增大到一定程度時(shí),其變化率A為0,相應(yīng)的擾動(dòng)幅值也降為0,即在初始擾動(dòng)在經(jīng)歷了一定的時(shí)間后擾動(dòng)會(huì)逐漸消失,這種效應(yīng)可以被稱為“非線性衰減”.擾動(dòng)幅角隨時(shí)間呈現(xiàn)單調(diào)下降的趨勢,擾動(dòng)幅角的衰減率B基本保持不變,在雷諾數(shù)相同時(shí),彎曲度越大,擾動(dòng)幅角的衰減率B更大,即擾動(dòng)幅角隨時(shí)間下降的更快,如圖9 與圖10 所示.

2.4 擾動(dòng)速度分布與變化

2.4.1 擾動(dòng)幅角對擾動(dòng)速度變化分析

圖9 不同彎曲度下擾動(dòng)幅值與擾動(dòng)幅角演化圖(Re=10 000,ci=?0.005)Fig.9 Evolution diagram of disturbance amplitude and angle under different curvature ratio Re(Re=10 000,ci=?0.005)

圖10 不同彎曲度下擾動(dòng)幅值與擾動(dòng)幅角變化率曲線圖(Re=10 000,ci=?0.005)Fig.10 Curve chart of amplitude and angle change rate of disturbance under different curvature ratio(Re=10 000,ci=?0.005)

上式中,Re 為取實(shí)部,Im 為取虛部,usr,usi分別為一階至五階擾動(dòng)流速(i=1,2,3,4,5) 累和的實(shí)部與虛部分量,unr,uni分別為一階至五階擾動(dòng)流速(i=1,2,3,4,5)累和的實(shí)部與虛部分量.考慮到ε 為小量,故以擾動(dòng)振幅a取代,令k=αs+θ,將歐拉變化式(eik=cosk+i sink)代入式(19),在此將對基本流的修正項(xiàng)略去,僅僅分析擾動(dòng)速度的分布.

在Seminara 和Tubino[4]的分析中,彎曲河道頻率高階諧波的產(chǎn)生是與水流動(dòng)力非線性相關(guān),即空間上的擾動(dòng)與水流的弱非線性相互作用產(chǎn)生高次諧波過程,這一點(diǎn)與文獻(xiàn)[2-3]研究的幾何非線性相區(qū)別,并且認(rèn)為高階諧波不可忽略.本文研究中各階擾動(dòng)量的高次諧波的產(chǎn)生是源于彎道中的基本流與水流弱非線性相互作用,這一點(diǎn)與以上學(xué)者的研究相區(qū)別.為了探討彎曲度在不同幅角下對擾動(dòng)速度的影響,選取ψ=0.03,0.05,0.10,0.15,Re=10 000,在初始位置s=0,分析在θ=?4π,?4π ?π/2,?4π ?2π/3,?5π,?6π 下各個(gè)彎曲度下的擾動(dòng)速度變化特征.

在圖11 中,受彎曲度與擾動(dòng)幅角影響下的擾動(dòng)流速中,沿水流流向的usr與usi的在橫斷面上都呈現(xiàn)“S”形分布,這與白玉川和冀自青[11]所得到的不同彎曲程度河流中擾動(dòng)流速的形狀函數(shù)分布相似.當(dāng)彎曲度較大時(shí),在n=?1 端附近(凹岸)usr的擾動(dòng)速度,如ψ=0.15 時(shí)存在一個(gè)速度轉(zhuǎn)折點(diǎn),使得在凹岸近壁處的速度與在n=1 端(凸岸)的速度方向相同,但遠(yuǎn)小于凸岸的速度,在此轉(zhuǎn)折點(diǎn)之前,即在稍微遠(yuǎn)離n=?1 處,存在一個(gè)速度的極大值,該速度與在n=1 端的速度極大值相對應(yīng),但在彎曲度逐漸增大的過程中,該速度極大值大小逐漸減小,如在θ=?4π時(shí),ψ=0.03 的usr兩個(gè)速度極大值的大小幾乎相等,ψ=0.15 時(shí),在n=?1 端的usr速度極大值約為n=1端的一半(圖11(a)).隨著ψ 增大,沿著河道軸線方向的usr與usi對稱性逐漸減弱,即在ψ=0 時(shí),usr與usi的兩個(gè)極大值點(diǎn)呈現(xiàn)關(guān)于n=0 對稱的特點(diǎn),在ψ 逐漸增加到0.15 時(shí),在n=1 端的極大值位置點(diǎn)不發(fā)生改變,但在n=?1 端對應(yīng)的極大值點(diǎn)向n=0 移動(dòng)(圖11(a)).此外在n=1 端的usr與usi的極大值隨著θ 的減小(負(fù)向增大),如當(dāng)θ=?4π 與θ=?6π,該點(diǎn)處的usr與usi在ψ 較大時(shí)衰減較慢,即彎曲度的增大使得擾動(dòng)流速對擾動(dòng)幅角的反應(yīng)減弱(圖11(a),圖11(i)).

在橫斷面方向的擾動(dòng)速度分布中,unr與uni主要呈現(xiàn)“拋物線”形分布,但unr在擾動(dòng)幅角在θ=?4π,?5π 時(shí)(圖11(b),圖11(h)),彎曲度較大,即ψ=0.10,0.15,unr的分布呈現(xiàn)“S”形分布,即兩側(cè)速度方向相反,但在n＜0 一側(cè)的速度明顯小于n>0 一側(cè),這種現(xiàn)象在uni的速度分布中同樣出現(xiàn),如θ=?4π ?π/2(圖11(d)).

圖11 擾動(dòng)幅角影響下多彎曲度的擾動(dòng)速度變化特征(左側(cè): usr與usi;右側(cè): unr與uni.實(shí)線為實(shí)部,虛線為虛部)Fig.11 Characteristics of disturbance velocity variation of multi curvature ratio under the influence of disturbance amplitude(left side: usrand usi;right side: unrand uni.Solid line is real part,dotted line is imaginary part)

圖11 擾動(dòng)幅角影響下多彎曲度的擾動(dòng)速度變化特征(左側(cè): usr與usi;右側(cè): unr與uni.實(shí)線為實(shí)部,虛線為虛部)(續(xù))Fig.11 Characteristics of disturbance velocity variation of multi curvature ratio under the influence of disturbance amplitude(left side: usrand usi;right side: unrand uni.Solid line is real part,dotted line is imaginary part)(continued)

此外,在不同的彎曲度下,unr與uni的分布都會(huì)隨彎曲度的增大而向n=1 端(凸岸)偏移,擾動(dòng)流速的對稱性減弱.因此彎曲度的增大,對于usr與usi來說其擾動(dòng)速度分布的對稱性則越弱,即在n>0 側(cè)速度加強(qiáng),在n＜0 側(cè)速度減弱,對于unr與uni的擾動(dòng)速度分布逐漸向n=1 端偏移,并且彎曲度的存在使得擾動(dòng)速度對擾動(dòng)幅角的變化反應(yīng)減弱.

2.4.2 擾動(dòng)速度空間分布變化特征

對于彎曲度對擾動(dòng)速度的沿程分布的影響,主要分析θ=?4π,Re=10 000 時(shí),ψ=0.05,0.07,0.10,在s=0,π/3,π/2,2π/3,5π/6,π 位置上usr與unr變化特征.

在一個(gè)彎道內(nèi),在入口端與出口端的usr呈現(xiàn)對稱分布,即在入口端(s=0)正向流速出現(xiàn)在凸岸區(qū)域(n>0),負(fù)向流速出現(xiàn)在凹岸區(qū)域(n＜0),在出口端(s=π)則相反,出口端的流速大小在靠近凹岸區(qū)域略小于入口端,而在靠近凸岸區(qū)域則相反.從入口到出口,擾動(dòng)流速在空間分布上具有周期性,本次分析中(Re=10 000,θ=?4π),在s=π/3 處靠近兩岸usr出現(xiàn)雙峰結(jié)構(gòu)(圖12(b)),在s=π/2 處usr的大小達(dá)到最小值(圖12(c)),隨著s的增大,usr在n>0 側(cè)流速向負(fù)向增大,n＜0 側(cè)向正向增大,呈現(xiàn)出擾動(dòng)水流分離的情況,分離點(diǎn)在s=π/2 附近.在彎曲度較大時(shí),usr的擾動(dòng)速度曲線向n>0 方向偏斜,在n＜0側(cè)的最大值逐漸減小,在n>0 側(cè)的最大值則稍微加強(qiáng).

unr在彎曲度逐漸增大的過程中,流速向n>0方向偏斜,其速度拋物線頂點(diǎn)也隨彎曲度的增大而向n>0 方向移動(dòng).可以看出在不同彎曲度下unr并不發(fā)生較大的變化,但在s=5π/6 至s=π 的區(qū)域內(nèi)(圖12(e),圖12(f)),隨著彎曲度的增大,unr逐漸減小,其擾動(dòng)速度曲線不斷向內(nèi)移動(dòng).從s=0 到s=π,unr經(jīng)歷了從增長至峰值再衰減,其峰值的位置為s=π/2附近,這與usr的分離點(diǎn)一致.

圖12 不同彎曲度下的擾動(dòng)速度在空間位置上的變化特征(實(shí)線:usr;虛線:unr)Fig.12 Change characteristics of the disturbance velocity in spatial position under different curvature(Solid line: usr,dotted line: unr)

圖12 不同彎曲度下的擾動(dòng)速度在空間位置上的變化特征(實(shí)線:usr;虛線:unr)(續(xù))Fig.12 Change characteristics of the disturbance velocity in spatial position under different curvature(Solid line: usr,dotted line: unr)(continued)

2.4.3 擾動(dòng)速度空間全域分布特征

在闡明了在不同的擾動(dòng)幅角以及在不同空間位置上的擾動(dòng)速度隨彎曲度變化特征后,對常曲率彎道中的全域擾動(dòng)流速的分布特征進(jìn)行分析,取ψ=0.10,θ=?4π 至?5π ?π/3 中的多個(gè)特征擾動(dòng)幅角進(jìn)行分析,θ=?5π?π/3 作為?4π?π/3 相差半個(gè)周期進(jìn)行對比分析,Re=10 000,結(jié)果如圖13,圖中UXRAO 為擾動(dòng)速度矢量在x方向的分量.在全域中的常曲率彎道中的擾動(dòng)速度分布具有明顯的特點(diǎn),半個(gè)周期內(nèi),θ 在減小(負(fù)向增大)過程中,在常曲率彎道內(nèi)的擾動(dòng)漩渦的位置也逐漸改變,主要是在θ 從?4π 至?5π中,擾動(dòng)漩渦開始出現(xiàn)并逐漸從s=0 的位置逐漸向s=π 移動(dòng)并消失的過程,計(jì)算各個(gè)漩渦中心所在的位置,發(fā)現(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)擾動(dòng)幅角的大小與擾動(dòng)漩渦的位置有一定的相關(guān)性,如在=θ ?4π ?π/3 時(shí),相應(yīng)的擾動(dòng)漩渦中心所在位置為s=0.338π(圖13(b)).在θ 相差半個(gè)周期時(shí),如θ 為?4π ?π/3 與?5π ?π/3時(shí)(圖13(b)與圖13(c)),擾動(dòng)速度和擾動(dòng)漩渦的方向相反,即θ=?4π ?π/3 時(shí),在凸岸附近的流速方向指向下游,在凹岸附近的流速則指向上游,擾動(dòng)漩渦呈現(xiàn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)θ=?5π ?π/3 時(shí),在凸岸附近的流速方向指向上游,在凹岸附近的流速則指向下游,擾動(dòng)漩渦呈現(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).擾動(dòng)漩渦隨著擾動(dòng)幅角周期性變化而變化,表現(xiàn)在:(1)在擾動(dòng)幅角減小(負(fù)向增大)過程中,即θ=?4π 至?5π ?π/3,擾動(dòng)漩渦的位置和方向也會(huì)出現(xiàn)周期性變化,擾動(dòng)漩渦總是從上游產(chǎn)生并逐漸向下游移動(dòng);(2)隨著擾動(dòng)幅角的減小(負(fù)向增大),擾動(dòng)流場的水流大小逐漸減小,相應(yīng)的擾動(dòng)漩渦的強(qiáng)度也會(huì)逐漸衰減并最終消亡.Seminara[7]在彎曲河流失穩(wěn)的性質(zhì)分析中指出,如果一個(gè)初始小擾動(dòng)產(chǎn)生時(shí),當(dāng)時(shí)間趨于無窮大整個(gè)流場不受干擾,則這種不穩(wěn)定是對流不穩(wěn)定;反之,當(dāng)初始小擾動(dòng)同時(shí)向上游與下游兩個(gè)方向傳播,隨著時(shí)間的增長,最終影響個(gè)水流區(qū)域,則這種不穩(wěn)定是絕對不穩(wěn)定.在上述分析中,usr與unr隨著時(shí)間延長而衰減,擾動(dòng)漩渦逐漸消亡,因此本次進(jìn)行的分析屬于擾動(dòng)傳播的對流不穩(wěn)定性.

為分析ψ=0.05,0.07,0.10 時(shí)的擾動(dòng)速度的全域分布特征,取θ=?4π ?π/3,Re=10 000 進(jìn)行分析,結(jié)果如圖14 所示.在同一擾動(dòng)幅角下對于不同的彎曲度,擾動(dòng)漩渦中心的位置大致相同,擾動(dòng)漩渦邊緣的速度在彎曲度較小時(shí)大于彎曲度為較大值時(shí),相應(yīng)大的速度梯度更大.在相同彎曲度下的不同擾動(dòng)幅角以及相同幅角下的不同彎曲度下的擾動(dòng)速度空間分布可知,在全域中擾動(dòng)流速最大值出現(xiàn)在擾動(dòng)漩渦所在的側(cè)壁處,并且隨著擾動(dòng)漩渦的移動(dòng)而發(fā)生遷移.

3 結(jié)論

(1)彎曲度的增大使中性曲線向雷諾數(shù)增大方向遷移,即在微彎情況下,隨著彎曲度的增大,常曲率河灣的臨界失穩(wěn)雷諾數(shù)增大,河灣趨于穩(wěn)定.

圖13 不同擾動(dòng)幅角下的彎道全域擾動(dòng)流速分布Fig.13 Disturbance velocity distribution in the whole bend under different disturbance angles

(2)在相同雷諾數(shù)下,隨著彎曲度的增大,擾動(dòng)幅值隨時(shí)間的衰減速度增大,即在初始擾動(dòng)在經(jīng)歷了一定的時(shí)間后會(huì)逐漸消失,擾動(dòng)流場具有非線性衰減效應(yīng).擾動(dòng)幅角隨時(shí)間呈現(xiàn)單調(diào)下降的趨勢,彎曲度越大,擾動(dòng)幅角隨時(shí)間下降的更快.

(3)在不同的彎曲度下,沿流向的擾動(dòng)速度呈現(xiàn)“S”形分布.隨彎曲度增大,沿著流動(dòng)方向的擾動(dòng)速度對稱性逐漸減弱,向凸岸偏斜,彎曲度越大,擾動(dòng)流速對擾動(dòng)幅角的反應(yīng)減弱.在垂直于流動(dòng)方向的擾動(dòng)速度呈現(xiàn)“拋物線”形分布,擾動(dòng)流速unr會(huì)隨彎曲度的增大而向凸岸偏移.

(4)在全域中常曲率彎道中的擾動(dòng)速度分布具有明顯的特點(diǎn),(1)在擾動(dòng)幅角減小(負(fù)向增大)過程中,擾動(dòng)漩渦的位置和方向呈出現(xiàn)周期性變化,在一個(gè)周期內(nèi),擾動(dòng)漩渦總是從上游產(chǎn)生并逐漸向下游移動(dòng);(2)隨著擾動(dòng)幅角的減小(負(fù)向增大),擾動(dòng)流場的水流大小逐漸衰減,相應(yīng)的擾動(dòng)漩渦的強(qiáng)度也會(huì)逐漸衰減并最終消亡,這種衰減效應(yīng)屬于對流不穩(wěn)定性.在相同擾動(dòng)幅角下的不同彎曲度擾動(dòng)漩渦中心位置大致相同,但側(cè)壁速度在彎曲度較小的時(shí)候要大于彎曲度較大的情況.在全域中擾動(dòng)流速最大值出現(xiàn)在擾動(dòng)漩渦所在的側(cè)壁處,并且隨著擾動(dòng)漩渦的移動(dòng)而發(fā)生遷移.

(5)對于未來的探究應(yīng)該構(gòu)建三維完全非線性的河灣控制方程,應(yīng)考慮泥沙輸移和床面形態(tài)特征的影響,構(gòu)建水流動(dòng)力非線性與床面形態(tài)幾何非線性相互作用模型.

附錄A

將式(14) 代入式(11)～式(13) 中即可得到一階擾動(dòng)的控制方程

式中,C0,C1,C2,C3,C4分別為

由于探究的問題為在時(shí)間模式中的穩(wěn)定性問題,則ω=ωr+iωi,其中虛部ωi為擾動(dòng)的增長情況,即擾動(dòng)振幅為a=exp(ωit),擾動(dòng)幅角θ=?ωrt,因而式(A4)即可表述為關(guān)于擾動(dòng)振幅a與擾動(dòng)幅角θ 的特征值的關(guān)系式

至此,即可得到在時(shí)間模式下考慮彎曲度的O-S 方程.

附錄B

二階擾動(dòng)量的控制方程為

式中的C,S,N分別表示為連續(xù)性方程、沿流向動(dòng)量方程、垂直于流向動(dòng)量方程.可見,在二階擾動(dòng)量的控制方程中,等號(hào)的右端出現(xiàn)非線性項(xiàng).

在S方向,右端項(xiàng)為

F20(s),F22(s)為已知矢量函數(shù),因此可以設(shè)想,在二階擾動(dòng)量下,相應(yīng)的解形式為

此外,由于式(16)與式(17),以及鏈?zhǔn)椒▌t有

因而每個(gè)方程均將產(chǎn)生一個(gè)ε 的高階項(xiàng),將其代入到更高階的對應(yīng)的方程中,則式(B1)為

上式的左端部分與一階擾動(dòng)量的齊次方程相一致,若右端不為0,則無解,因此A1=B1=0.