李富國(guó)

[摘 要]有些公式的證明比較簡(jiǎn)單，有些公式的證明有難度.如果換個(gè)方法，構(gòu)造數(shù)學(xué)圖形來(lái)證明，可以化繁為簡(jiǎn).學(xué)習(xí)這種證明方法，可以開(kāi)闊學(xué)生的視野.

[關(guān)鍵詞]公式;構(gòu)造;圖形;證明

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）05-0003-02

從小學(xué)到中學(xué)，我們學(xué)過(guò)各種數(shù)學(xué)公式，有些公式記憶和推導(dǎo)起來(lái)比較容易，比如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，而有些公式的記憶和推導(dǎo)卻比較困難，比如點(diǎn)到直線的距離公式.如果我們采用數(shù)形結(jié)合的方法，就可以比較直觀地證明一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)公式.

先看一道小學(xué)競(jìng)賽題：

某日師父對(duì)他的徒弟說(shuō)：我在你現(xiàn)在的這個(gè)年齡時(shí)，你只有2歲，等你到我的這個(gè)年齡時(shí)，我就41歲了，求師父與徒弟現(xiàn)在各多少歲.

這個(gè)問(wèn)題可以利用一元一次方程來(lái)解，或者利用二元一次方程組來(lái)解，也可以不使用任何未知數(shù)，直接使用算術(shù)的方法來(lái)解，但是都沒(méi)有下列圖解法來(lái)得簡(jiǎn)單、巧妙.

如圖1，AB是一條線段，C、D是徒弟與師父現(xiàn)在的年齡的位置，當(dāng)師父移到C時(shí)，徒弟移到A（2歲）;當(dāng)徒弟移至D時(shí)，師父移至B（41歲）.可見(jiàn)，C、D是AB的三等分點(diǎn)，三段距離均為13.因此，師父現(xiàn)在為41-13=28歲，徒弟現(xiàn)在的年齡是2+13=15歲.

這真是妙解啊！“圖解”的方便在于能直觀、快速地看出問(wèn)題的突破點(diǎn)所在，從而巧妙地解決問(wèn)題.下面筆者利用圖解法來(lái)證明常見(jiàn)公式.

一、證明均值不等式

兩正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于其幾何平均值，且取“=”的充要條件是兩數(shù)相等.

從以上常見(jiàn)公式的證明可以看出，通過(guò)構(gòu)造合理的圖形能夠把一些較復(fù)雜的公式化繁為簡(jiǎn)，起到事半功倍的效果.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）