閆偉杰

(浙江同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，浙江 杭州 311231)

習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上指出：“要堅(jiān)持把立德樹(shù)人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過(guò)程，實(shí)現(xiàn)全程育人，全方位育人，努力開(kāi)創(chuàng)我國(guó)高等教育事業(yè)發(fā)展新局面?！盵1]數(shù)學(xué)問(wèn)題往往來(lái)源于實(shí)際生活。正如文學(xué)家懷特所說(shuō)：“數(shù)學(xué)真理既是人所發(fā)現(xiàn)的，又是人所創(chuàng)造的，它們是人類頭腦的產(chǎn)物?！睌?shù)學(xué)課程教學(xué)倘若直接導(dǎo)入概念，學(xué)生往往難以接受，只有將知識(shí)點(diǎn)與具體實(shí)際相融合，才能激發(fā)學(xué)生的積極性，也能讓學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，進(jìn)而為學(xué)生利用數(shù)學(xué)理論服務(wù)生活打下基礎(chǔ)。為了更好地把思政元素融入課堂[2-4]，貫徹習(xí)近平總書(shū)記講話精神，本文結(jié)合“高等數(shù)學(xué)”課程理論性強(qiáng)、抽象性高、學(xué)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)等特點(diǎn)，探究函數(shù)曲線凹凸性教學(xué)與思政元素的結(jié)合點(diǎn)。

1 數(shù)學(xué)問(wèn)題的導(dǎo)入

杭州灣跨海大橋已建成10年。該橋北起浙江嘉興，南至浙江寧波，是目前世界上長(zhǎng)度第三的跨海大橋。大橋南航道約1.7公里延伸處的“海天一洲”展望臺(tái)是大橋的點(diǎn)睛之作。登高望遠(yuǎn)，看長(zhǎng)橋?qū)嫴?，?tīng)海潮翻滾，大橋在海面上呈優(yōu)美的曲線，活潑生動(dòng)，是一場(chǎng)震撼人心的視覺(jué)盛宴。作為世界級(jí)的工程，工程建設(shè)解決了許多棘手的技術(shù)難題。大橋建設(shè)者們獲得了250多項(xiàng)技術(shù)革新，打破了國(guó)外的技術(shù)壟斷，取得了9項(xiàng)核心自主創(chuàng)新成果，其中多項(xiàng)成果達(dá)到世界領(lǐng)先水平，為國(guó)內(nèi)外同類橋梁的建設(shè)提供了寶貴經(jīng)驗(yàn)，不僅體現(xiàn)了中國(guó)人民的智慧，也體現(xiàn)了建設(shè)者們愛(ài)崗敬業(yè)的奉獻(xiàn)精神和精益求精的“工匠精神”。在教學(xué)過(guò)程中，教師以視頻和PPT課件的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，借此鼓勵(lì)學(xué)生要學(xué)習(xí)建設(shè)者們難能可貴的品質(zhì)， “立鴻鵠之志”“求科學(xué)真知”“練過(guò)硬本領(lǐng)”，將來(lái)為祖國(guó)建設(shè)貢獻(xiàn)自己一份力量。

教師借由杭州灣跨海大橋的外形(如圖1所示)，引發(fā)學(xué)生思考：按照兩點(diǎn)之間線段最短的理論，大橋?yàn)槭裁礇](méi)有設(shè)計(jì)成直線形，而是設(shè)計(jì)成彎彎曲曲的形態(tài)呢？在此基礎(chǔ)上，向?qū)W生介紹一些其他學(xué)科相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的緊密聯(lián)系。同時(shí)告誡學(xué)生：決定事物的成因往往不止一個(gè)，在分析問(wèn)題時(shí)應(yīng)該全面、透徹，要透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)。杭州灣和亞馬遜河口、恒河河口并稱為世界三大強(qiáng)潮海灣，氣候環(huán)境非常復(fù)雜，經(jīng)常有臺(tái)風(fēng)、亂流。為了減輕海潮對(duì)橋墩的沖擊，減少大橋?qū)﹀X塘江大潮的影響，同時(shí)借鑒西湖蘇堤“長(zhǎng)橋臥波”的理念，曲線造型比直線更具美感并且有助于車輛安全駕駛，所以杭州灣跨海大橋被設(shè)計(jì)為彎彎曲曲的形態(tài)。

圖1 杭州灣跨海大橋

基于此情景，筆者設(shè)計(jì)問(wèn)題[5]：現(xiàn)有杭州灣跨海大橋部分施工段的初步設(shè)計(jì)方案(如圖2所示)由于沒(méi)有充分考慮大橋的美觀以及駕駛員安全行駛的問(wèn)題，在連接兩端曲線時(shí)，采用了直線連接的方式?，F(xiàn)請(qǐng)學(xué)生對(duì)已有方案進(jìn)行改進(jìn)，使方案更加合理。通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，使學(xué)生充分參與到教學(xué)過(guò)程中，激發(fā)了學(xué)生的好奇心，發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性。

圖2 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題圖

2 教學(xué)問(wèn)題分析

為了解決所提出的問(wèn)題，我們需要對(duì)曲線加以研究。鑒于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的特性，具備了分析函數(shù)圖像的基本能力,因此，我們把函數(shù)曲線分為兩類進(jìn)行研究:一類開(kāi)口向上(如圖3所示)，另一類開(kāi)口向下(如圖4所示)。

圖3 開(kāi)口向上的曲線圖

圖4 開(kāi)口向下的曲線圖

為了更好地描述曲線的性態(tài)，我們需要引入函數(shù)圖像的一個(gè)新概念：函數(shù)曲線的凹凸性。下面將通過(guò)分析弦與弧的位置關(guān)系、切線與弧的位置關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生給出函數(shù)曲線凹凸性的定義以及曲線凹凸性判斷的代數(shù)方法。

2.1 弦與弧的位置關(guān)系

從簡(jiǎn)單入手，通過(guò)作圖讓學(xué)生直觀地體會(huì)到弦與弧的位置關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生思考。對(duì)于開(kāi)口向上的曲線(如圖5所示)，可以得出它們的相同之處在于：光滑曲線上任意兩點(diǎn)之間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的下方，我們把具有這種特性的曲線稱為凹的；相應(yīng)的，對(duì)于開(kāi)口向下的曲線(如圖6所示)，不難發(fā)現(xiàn)，曲線上任意兩點(diǎn)之間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的上方，我們把具有這種特性的曲線稱為凸的。由以上分析，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將這種通過(guò)幾何直觀得到的結(jié)論轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

圖5 弦與開(kāi)口向上曲線位置關(guān)系圖

圖6 弦與開(kāi)口向下曲線位置關(guān)系圖

以圖5中的曲線為例，曲線上任意兩點(diǎn)之間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的下方(兩端點(diǎn)除外)，則弧的中點(diǎn)一定位于它所對(duì)應(yīng)的弦的中點(diǎn)的下方，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，可以得到凹曲線的定義：

設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)曲線上任意兩點(diǎn)x1、x2，總有

則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖像為凹的。相應(yīng)地，給出凸曲線的定義：

設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)曲線上任意兩點(diǎn)x1、x2，總有

則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖像為凸的。

不難發(fā)現(xiàn)，利用上述定義判斷函數(shù)曲線的凹凸性比較復(fù)雜。由此繼續(xù)引發(fā)學(xué)生思考：是否存在簡(jiǎn)單的判斷方法？

2.2 切線與弧的位置關(guān)系

借助畫(huà)圖工具，作圖7，啟發(fā)學(xué)生觀察和思考：能否利用切線與弧的關(guān)系，推出函數(shù)曲線凹凸性的判別方法？學(xué)生通過(guò)討論，得到結(jié)論：如圖7所示，對(duì)于凹曲線，其切線位于曲線的下方；對(duì)于凸曲線，其切線位于曲線的上方。通過(guò)PPT動(dòng)畫(huà)演示，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如果曲線f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的，則切線的斜率是一個(gè)遞增的函數(shù)；如果曲線f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的，則切線的斜率是一個(gè)遞減的函數(shù)。因此，利用函數(shù)的二階導(dǎo)可以得到如下結(jié)論：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果函數(shù)f(x)

(1) 在(a,b)內(nèi)f″(x)>0，則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是凹的；

(2) 在(a,b)內(nèi)f″(x)<0，則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是凸的。

圖7 切線與弧的位置關(guān)系圖

通過(guò)職教云布置練習(xí)題，讓學(xué)生掌握利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)曲線凹凸性這種方法。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)利用定義判斷函數(shù)曲線凹凸性與利用函數(shù)的二階導(dǎo)判斷函數(shù)曲線凹凸性的利弊。最后，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，讓學(xué)生體會(huì)到人生哲理：遇到問(wèn)題應(yīng)該沉著冷靜，認(rèn)真思考，從已知入手，用自己的已有知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。處理問(wèn)題應(yīng)該由易到難，把問(wèn)題分解，各個(gè)擊破，最終解決問(wèn)題。

3 預(yù)設(shè)問(wèn)題求解

通過(guò)問(wèn)題分析，我們得到了函數(shù)曲線凹凸性的定義及其判別方法?；氐介_(kāi)始的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，要想設(shè)計(jì)更為合理的方案，則需要考慮多方面因素：海洋的底部丘陵起伏、盡量減少駕駛員的疲勞感、大橋設(shè)計(jì)的美觀性、海洋中的洋流和海流等[6-7]。通過(guò)分析可得，將圖2中的直線部分設(shè)計(jì)為水平的光滑曲線更為合理。進(jìn)一步判斷可知，該水平光滑曲線的一階導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減的，即二階導(dǎo)函數(shù)小于零。因此，我們利用函數(shù)曲線凹凸性的判別方法得出該曲線應(yīng)該為凸曲線。但不同彎曲程度的凸曲線有許多種，要了解這方面知識(shí)就需要對(duì)曲率和曲率半徑進(jìn)行學(xué)習(xí)。

通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析和求解，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的完整性與系統(tǒng)性，體會(huì)到每一個(gè)“國(guó)之重器”的建設(shè)者都需要具備扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。只有努力學(xué)習(xí)，才能為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興貢獻(xiàn)自己的力量。課后，教師請(qǐng)學(xué)生繼續(xù)收集有關(guān)函數(shù)曲線凹凸性的案例，讓學(xué)生深切感受到科技的發(fā)展離不開(kāi)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生們?cè)谏钪兴伎紨?shù)學(xué)的思維。

4 結(jié)語(yǔ)

思政元素融入課堂，是一種全新的授課方式，需要教師不斷學(xué)習(xí)與思考，采用合理的方式方法，自然地與授課內(nèi)容相結(jié)合。本文首先以杭州灣跨海大橋?yàn)閷?dǎo)入，向?qū)W生們展示國(guó)家超級(jí)工程，增強(qiáng)學(xué)生的民族自尊心和自豪感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。其次，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，使學(xué)生充分參與到教學(xué)過(guò)程中來(lái)，激發(fā)學(xué)生的好奇心，增加師生之間的互動(dòng)。再者，采用由易到難的方法，通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何模型，啟發(fā)學(xué)生導(dǎo)出函數(shù)曲線凹凸性的定義以及判斷方法，讓學(xué)生體會(huì)人生哲理的同時(shí)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的。最后，通過(guò)利用所學(xué)知識(shí)解決所提出的問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

生活中有許多與函數(shù)曲線凹凸性有關(guān)的案例，比如導(dǎo)彈軌跡設(shè)計(jì)、高空輸電線施工、高鐵建設(shè)、港珠澳大橋設(shè)計(jì)等。通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，對(duì)國(guó)家取得的舉世矚目的成就有了更深入的了解，增強(qiáng)了民族自信心和自豪感。

在高等數(shù)學(xué)中還有許多與思政元素結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)。比如：劉徽的割圓術(shù)、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必達(dá)法則、牛頓-萊布尼茲公式等。通過(guò)課程思政元素的融入，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家們所取得的偉大成就，并引導(dǎo)學(xué)生把崇高的理想與務(wù)實(shí)精神結(jié)合起來(lái)，打好堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，學(xué)好過(guò)硬本領(lǐng)，將來(lái)為實(shí)現(xiàn)人生理想不懈奮斗。此外，在極限概念的講授中，教師還可以引入運(yùn)動(dòng)與靜止的辯證關(guān)系思想，引導(dǎo)學(xué)生改變思維習(xí)慣，用動(dòng)態(tài)的觀念去研究世界；在定積分概念的講授中，可以引入量變到質(zhì)變的辯證關(guān)系思想，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)上要厚積薄發(fā)，生活中要防微杜漸；在學(xué)習(xí)第二曲面積分時(shí)，可以與三峽大壩的流量問(wèn)題[8]相結(jié)合，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性與無(wú)窮魅力，使學(xué)生增加對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)。