房成龍

(中國人民大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，北京 100872)

1 預(yù)備知識

1975年，Coifman和Meyer[1]首次研究了雙線性奇異積分算子，發(fā)現(xiàn)Calderón-Zygmund奇異積分算子交換子的研究可以歸結(jié)為一類雙線性奇異積分算子研究.隨后許多學(xué)者開始關(guān)注交換子及雙線性算子有界性問題.[2-10]

1976年，Coifman，Rochberg和Weiss[2]獲得了一個著名結(jié)果：Calderón-Zygmund奇異積分算子與BMO函數(shù)生成交換子在Lebesgue空間上有界，其結(jié)果大力推動了交換子的研究.之后，Pérez和Trujillo-Gonzle[3-4]推廣了交換子概念，并獲得了向量值奇異積分算子交換子的加權(quán)估計.

設(shè)β>0，若函數(shù)f滿足

特別地，1995年，Paluszynski[5]證明了

(1)

其中：Cf是Calderón-Zygmund奇異積分算子與Lipschitz函數(shù)生成交換子；0<β<1；1

2009年，王瑋和徐景實[7]獲得了雙線性奇異積分算子的Lipschitz交換子在乘積Lebesgue空間上的有界性.

2014年，默會霞和陸善鎮(zhèn)[11]證明了雙線性奇異積分算子與Lipschitz函數(shù)生成的迭代交換子從乘積Lebesgue空間到Lebesgue空間或Triebel-Lizorkin空間有界.

受這些研究啟發(fā)，自然產(chǎn)生一個疑問：能否用雙線性奇異積分算子有界性去刻畫Lipschitz空間？為了驗證這個疑問，本文首先討論了雙線性奇異積分算子的線性交換子(見定義1.1)從乘積Lebesgue空間到Lebesgue空間或Triebel-Lizorkin空間有界性，然后在對此疑問給出了肯定回答.

K(x，y1，y2)是一個局部可積且遠(yuǎn)離對角線x=y1=y2的函數(shù)，對參數(shù)A>0，ε>0，有：

(2)

(3)

其中|x-x′|≤1/2max{|x-y1|，|x-y2|}.滿足(2)與(3)式且與參數(shù)m，A和ε有關(guān)的K(x，y1，y2)稱為2-CZK(A，ε).特別地，若K(x，y1，y2)為K(x-y1，x-y2)形式時，所對應(yīng)算子稱為卷積型算子.

定義1.1設(shè)K是2-CZK(A，ε)，雙線性Calderón-Zygmund奇異積分算子T(f1，f2)定義為

若1

定義1.2設(shè)T是雙線性Calderón-Zygmund奇異積分算子，b是局部可積函數(shù).

(ⅰ)T的線性交換子[Σb，T]定義為

(ⅱ)T的迭代交換子[Πb，T]定義為

2 雙線性Calderón-Zygmund奇異積分算子的線性交換子在Triebel-Lizorkin空間的有界性

這部分主要討論[Σb，T]從Lebesgue空間到Lebesgue空間、Triebel-Lizorkin空間的有界性.文獻(xiàn)[8]中定理2獲得了雙線性奇異積分算子與Lipschitz函數(shù)生成的1階迭代交換子在Triebel-Lizorkin空間有界性，并能說明[Πb，T]在Triebel-Lizorkin空間有界性，故這里給出了定理2.2.

引理2.1設(shè)0<β<1，下面事實成立：

(ⅰ)[9]若1

引理2.2設(shè)1

其中常數(shù)C與p，q，α和n有關(guān).

(2) [Σb，T]從Lp1(Rn)×Lp2(Rn)到Lr(Rn)有界.

[Σb，T](f1，f2)=[Σ(b-bQ)，T](f1，f2)，

則

首先估計D1，運用引理2.1得

由于T是2-線性Calderón-Zygmund算子，則

結(jié)合下面不等式估計D8：

其中Q*?Q.這個不等式的證明可見文獻(xiàn)[9].

由于

結(jié)合前面估計，可得

上面不等式兩面同時對所有包含x的方體Q取上確界后，再取Lp范數(shù)，運用引理2.1結(jié)論(ⅱ)，即得

運用I1α從Lp1×Lp2到Lr有界性[10]，即得

證明顯然

估計E1：

類似于定理2.1中D1與D2的估計，可估計E2：

同理可得

下面估計E7：

結(jié)合上面估計，運用引理2.1結(jié)論(ⅱ)即得

3 刻畫Lipschitz空間

(3) [Σb，T]從Lp1(Rn)×Lp2(Rn)到Lr(Rn)有界；

(3) [Πb，T]從Lp1(Rn)×Lp2(Rn)到Lr(Rn)有界.

證明根據(jù)定理2.1、定理2.2和文獻(xiàn)[8]中定理1，只需說明結(jié)論(2)—(5)中任意一個作為條件時，結(jié)論(1)成立.

令z1=δ-1z0，有

對所有滿足上面不等式的(y，z)，可得

選擇x0∈Rn，t>0，令Q+Q(x0，t)，Q0=Q(x0-z1t，t).固定x∈Q，y1，y2∈Q0，則有

根據(jù)上面事實即可得

(4)

(3)?(1).類同上面的證明，由于1/r+1/r′=1，故

根據(jù)[Σb，T]從Lp1(Rn)×Lp2(Rn)到Lr(Rn)有界性，即可說明(3)?(1)成立.

(4)?(1).

同理得(5)?(1)成立，結(jié)論證畢.