王彤

（中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京 100094）

潛艇等水下自主航行器在水下航行一般依靠慣性導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行導(dǎo)航，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的重要組成元件是陀螺儀和加速度計(jì)，這些敏感元件測(cè)得的加速度通過(guò)對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分后可以得到速度、偏航角、位置等信息。積分過(guò)程中，誤差隨時(shí)間累積增大，潛艇長(zhǎng)期在水下運(yùn)行時(shí)導(dǎo)航精度降低。針對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的這一缺點(diǎn)，許多學(xué)者提出將重力匹配、地磁匹配、地形匹配等無(wú)源導(dǎo)航方法與慣性導(dǎo)航系統(tǒng)組合起來(lái)，對(duì)慣性導(dǎo)航進(jìn)行修正。水下重力匹配技術(shù)實(shí)現(xiàn)的核心問(wèn)題是構(gòu)建全球高精度和高空間分辨率的海洋重力異常圖。

測(cè)高/重力衛(wèi)星、船測(cè)、航空是獲得全球海洋重力場(chǎng)的主要技術(shù)途徑，全球高精度和高空間分辨率的海洋重力異常圖能有效提高水下重力匹配導(dǎo)航精度，但目前我國(guó)的全球海洋重力異常圖空間分辨率較低，因此，需要在一定程度上對(duì)其進(jìn)行插值加密，重構(gòu)為高精度高空間分辨率的海洋重力異常圖。由于海洋重力異常圖經(jīng)過(guò)插值后，空間分辨率會(huì)提升，但是，精度會(huì)降低，因此，空間分辨率和精度成反比關(guān)系（隨著空間分辨率提高，精度將降低）。為了使空間分辨率與精度均滿足高精度水下重力匹配導(dǎo)航，對(duì)重力場(chǎng)的插值方法的研究成為此領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

1 海洋重力異常圖插值方法

目前，常見(jiàn)的海洋重力場(chǎng)異常圖插值方法可具體分為兩類(lèi)，第一類(lèi)為基于函數(shù)插值方法，第二類(lèi)為基于統(tǒng)計(jì)學(xué)插值方法。函數(shù)插值方法有徑向基函數(shù)插值法、曲線曲面插值法、樣條函數(shù)插值法。統(tǒng)計(jì)學(xué)方法有克里金插值法、距離加權(quán)反比插值法、改進(jìn)的Shepard插值法。距離加權(quán)反比插值是最簡(jiǎn)單的插值方法。該方法根據(jù)未知點(diǎn)到已知點(diǎn)距離加權(quán)平均值計(jì)算未知點(diǎn)的值。距離加權(quán)反比插值法的具體計(jì)算公式如下：

式中，Z0表示預(yù)測(cè)點(diǎn)的重力值，Zi表示第i個(gè)已知點(diǎn)的重力值，di表示第i個(gè)已知點(diǎn)到預(yù)測(cè)點(diǎn)的距離。由于插值精度較差，實(shí)際重力異常值插值過(guò)程中使用并不多。

1.1 徑向基函數(shù)插值法

徑向基函數(shù)插值法（Radial Basis Function， RBF）是根據(jù)已知點(diǎn)和基函數(shù)構(gòu)建插值函數(shù)的過(guò)程。徑向基函數(shù)法插值過(guò)程主要是根據(jù)已知點(diǎn)為位置中心求解得出插值函數(shù)的系數(shù)，從而獲得預(yù)測(cè)點(diǎn)的值。Alessandra和Emma構(gòu)造了基于徑向基函數(shù)法PU內(nèi)插分區(qū)方法并模擬驗(yàn)證該算法在重構(gòu)加密海洋重力基準(zhǔn)圖方面的有效性。

1.2 樣條函數(shù)函數(shù)插值法

樣條插值方法是由工程制圖中的樣條繪圖工具發(fā)展而來(lái)的。具體原理是將連續(xù)函數(shù)拼接成光滑的曲面或者曲線。其中著名的樣條插值方法有格林樣條函數(shù)插值法，格林樣條函數(shù)插值基于最小曲率原則，以已知點(diǎn)為位置中心將格林函數(shù)進(jìn)行線性疊加，形成插值曲面。Mardla等提出將重力值降低為重力異常值然后通過(guò)曲率連續(xù)樣條函數(shù)、光滑粒子法、最小二乘配置法、克里金方法四種方法對(duì)重力異常值進(jìn)行插值后能夠獲得高質(zhì)量的海洋重力異常圖。樣條函數(shù)法插值后獲得的格網(wǎng)重力場(chǎng)較為精確，克里金插值方法在使用適合當(dāng)前區(qū)域的參數(shù)時(shí)，生成的格網(wǎng)重力場(chǎng)精度也很高。克里金法可以根據(jù)某些準(zhǔn)則調(diào)整系數(shù)，從而能更好地自動(dòng)擬合具體區(qū)域重力場(chǎng)的特征。

1.3 克里金插值法

克里金插值法（Kriging）是一種地質(zhì)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法，是最優(yōu)內(nèi)插法，包括簡(jiǎn)單克里金(Simple Kriging)、普通克里金(Ordinary Kriging)、協(xié)同克里金(Cokriging)和非線性克里金(Nonlinear Kriging)，其中最常用的是普通克里金插值方法。根據(jù)數(shù)據(jù)的空間相關(guān)性來(lái)加權(quán)求得未知點(diǎn)處的值?？死锝鸩逯捣ɑ谌缦聰?shù)學(xué)模型。半方差函數(shù)描述了各個(gè)點(diǎn)的空間關(guān)系，公式表示為：

求解克里金方程組：

估計(jì)值可以看作估計(jì)域n個(gè)已知值的線性組合

2 插值法新進(jìn)展

目前，許多學(xué)者嘗試用人工智能領(lǐng)域的方法對(duì)重力場(chǎng)插值方法進(jìn)行完善。Sarzeaud等提出了一種基于改進(jìn)的Kohonen人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的插值方法，用于將海洋重力數(shù)據(jù)插值為格網(wǎng)化的重力數(shù)據(jù)，最終驗(yàn)證改進(jìn)的Kohonen人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的插值方法與克里金精度相當(dāng)，并且計(jì)算時(shí)間比克里金短得多，尤其適用于當(dāng)網(wǎng)格的大小和可用數(shù)據(jù)的數(shù)量都很大時(shí)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)插可能是將局部模型合并為全局模型的一種好方法。它不能產(chǎn)生異常結(jié)果，并且可以確保數(shù)據(jù)與全局模型之間的連續(xù)性。

Xu等提出壓縮感知理論提供了一種信號(hào)重構(gòu)方法，可以從更少的樣本中恢復(fù)稀疏信號(hào)。在壓縮感知理論的框架下，提出了一種基于非等寬傅里葉變換的重力數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，該方法是一種基于迭代冷卻閾值法的稀疏性分析和重構(gòu)算法。通過(guò)對(duì)不同采樣率的二維重構(gòu)試驗(yàn)以及與最小曲率法和克里金法的比較，表明基于非等寬傅里葉變換的二維重構(gòu)方法在采樣數(shù)據(jù)較少的情況下，仍能取得良好的重構(gòu)效果。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)目前常見(jiàn)的重力場(chǎng)插值方法擬合過(guò)程進(jìn)行研究，通過(guò)分析得出結(jié)論，當(dāng)使用的參數(shù)合適時(shí)，徑向基函數(shù)插值方法、克里金插值方法、樣條函數(shù)插值方法以及Kohonen人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，都能獲得較高精度的高分辨率重力場(chǎng)，這些插值方法在一定程度上會(huì)受到地形的復(fù)雜程度的影響。將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)支持向量機(jī)等方法和傳統(tǒng)插值方法結(jié)合在一起，可能會(huì)提高整體的插值效率，例如，用主動(dòng)學(xué)習(xí)訓(xùn)練克里金模型，能夠提高計(jì)算效率并且保持精度。