李琨璇 張文俊

【摘要】數學語言是數學內容的載體，是傳達數學知識的重要方式.數學語言的轉換包括自然語言與數學語言之間的轉換和數學語言內部的轉換.本文結合具體教學實例，引導學生在學習數學概念時，通過數學語言轉換感知概念外形，獲得概念意象，總結概念定義，強化概念本質，最終靈活掌握概念.

【關鍵詞】數學語言;概念學習;數學語言轉換

斯托利亞爾提出，“數學教學就是數學語言的教學”.從這個意義上來說，數學語言對于數學學科和數學教學來說具有重要的意義.數學語言的表現形式有三種，分別是文字語言、符號語言和圖形語言.其中，文字語言在數學概念、性質和定理方面多有應用，圖形語言直觀清晰，符號語言雖簡明但不易于理解.因此，在教學過程中，當學生不理解某個概念或題目時，教師可借助數學語言之間的相互轉換來幫助學生理解并掌握數學知識.

恩格斯也曾說： “在一定意義上，科學的內容就是概念的體系.”數學概念是數學知識的基本組成單元，是數學知識系統的內核源泉，也是學生進行思維活動的基礎，它反映了數學對象的本質屬性，因此數學概念的獲得與理解具有一定的抽象性.若學生對于數學概念的學習只停留在記憶層次，將會影響其對數學概念的理解與應用.因此，在概念教學時，教師可通過數學語言轉換，降低學生的學習難度，帶領學生經歷數學概念的形成過程，把握概念的本質屬性，使學生真正理解并掌握概念，提升數學學習的效率.

一、數學語言轉換含義

（一）什么是數學語言轉換

弗賴登塔爾曾提出“學生必須學會將一種語言翻譯成另一種語言”.這里的“翻譯”即指數學語言的轉換，在保持數學對象本質屬性不變的前提下改變語言的外在表現形式，包括自然語言與數學語言之間的轉換，不同形式的數學語言轉換以及同種數學語言內部的不同表征形式的轉換等.

（二）數學語言轉換的類型及其內涵

1.自然語言與數學語言的外部轉換

生活中常用的語言就是自然語言，對小學生來說，用自然語言來描述數學中的事物與情境更容易讓他們接受與理解，但自然語言不符合數學的簡潔性和精確性，因此用自然語言表達數學事實時，必須改造它，使之適應數學的需要.

一方面，自然語言轉換為數學語言，是將一般問題轉化為數學問題，在數學學習中體現為將情境中的數學信息提取出來，表述成數學問題再解決.因此，自然語言轉換為數學語言是一個“數學化”的過程.

另一方面，數學語言轉換為自然語言，是讓學生用自己的語言表述出數學中的定義、定理等內容，當學生能夠清晰地表達自己的想法時就表明他們對此已有深刻的理解.因此，為使學生對數學知識的理解更透徹，需要將數學語言“通俗化”，轉換為他們更熟悉、親切的自然語言.

2.數學語言的內部轉換

數學語言內部的轉換是指不同形式數學語言之間的轉換和相同形式數學語言之內的轉換.

（1）不同數學語言形式之間的相互轉換

在進行數學理解時，需要數學語言內部不同形式的轉換，例如，將文字語言轉換為圖形語言，用形象直觀的圖形幫助學生進行理解，再將圖形語言轉換為符號語言進行計算等;進行數學表達時，把求得的結果或得到的結論轉換成所要求的表現形式，因此很多數學活動其本質都可以理解為數學語言轉換的過程.

（2）相同數學語言形式之內的相互轉換

盧清榮認為“數學語言轉換是數學思維不斷發(fā)展的過程”.相同數學語言形式之內的轉換更為明顯，例如，在學習面積單位之間的進率關系時，為探究平方分米與平方厘米的關系，北師大版教材提出了以下方法：

由長度單位之間的關系來推導面積單位之間的關系，經歷從符號語言到符號語言的轉換，可以發(fā)展學生的邏輯推理能力;對同一個知識從不同的角度來表示，可以讓學生體會知識之間的聯系，并在不斷思考中促進思維的發(fā)展.

二、數學語言轉換與數學概念學習

（一）概念習得

現代認知心理學認為學生學習數學概念的方式有兩種，分別是概念形成和概念同化.概念形成是指從具體實例或者模型出發(fā)，發(fā)現事物的共同屬性，抽象出事物的本質特征，歸納形成新的概念.概念同化是指學習新概念時以原有的數學認識結構為依據，將新知識進行加工，如果新知識與原有認知結構中適當的概念有聯系，那么通過新舊概念之間的相互作用，將新概念納入原有認知結構中，使原有認知結構得到改組或擴大，這一過程稱為概念同化.

那么，除此之外，是否還有其他的方式獲得數學概念呢？答案是肯定的，喻平教授認為數學語言學習也是數學概念獲得的一種方式，例如：行列式、矩陣等概念的學習是直接以數學語言學習獲得的.因此，數學語言的學習是一種有意義的學習，它表現在概念形成和概念同化的每一階段，只有當學生對數學文字、符號都有了實質性的理解，才可能從本質上獲得概念.因此數學概念的習得可總結如下（如圖1）：

（二）數學語言轉換在概念學習中的作用

下面以“分一分”這節(jié)課為例來談談在概念形成過程中數學語言轉換如何幫助學生理解并掌握概念.

1.自然語言轉換為數學語言，感知概念外形

師：把四個蘋果分給兩名同學，保持公平公正，該怎么分？每名同學分幾個？

師：把兩個蘋果分給兩名同學，保持公平公正，該怎么分？每名同學分幾個？

首先由現實問題引入，經過兩次分蘋果，使學生了解每名同學分得“一樣多”，用數學語言表示就是“平均分”.將自然語言轉換為數學文字語言，使用并提出下面問題，讓學生感受數學語言的概括性和精確性.

師：把一個蘋果平均分給兩名同學，每名同學得幾個？

再一次分蘋果，學生發(fā)現“半個”已不能用學過的數字符號來表示，教師鼓勵學生發(fā)揮想象力，大膽創(chuàng)造表示“一半”的方法，可以畫各種各樣的圖形，也可以發(fā)明一種符號.有學生畫出各種圖形的一半來表示，也有學生提出用符號語言12表示，在轉換后多種形式的數學語言對比中，讓學生感受用符號語言“12”表示“一半”的簡潔性和優(yōu)越性，體會學習分數的必要性.

2.符號語言與圖形語言相互轉換，獲得概念意象

教師鼓勵學生說說看：“剛才是怎么得到12的？”教師接著通過下面涂一涂的方式，在學生頭腦中展現圖形語言向符號語言轉換的過程.

分別涂出下列圖形的12.

涂出每個圖形的12，就是涂出它的一半，在直觀的圖形中可以輕而易舉地表示出來.因此符號語言到文字語言，再到圖形語言轉換的過程，能幫助學生建立數量符號12和相對應圖形之間的聯系.同時，在此過程中教師可引導學生拋棄形狀、大小、顏色等無關因素，體會部分與整體之間的聯系，感受分數概念的本質特征——把一個整體平均分成兩份，其中的一份就是12.

最后教師引導學生模仿分數12的學習過程，用折紙、畫圖的方法“創(chuàng)造”其他分數，學生再次經歷圖形語言和符號語言的相互轉換，在頭腦中形成了一定的概念意象，為掌握和理解分數的外延和內涵奠定了基礎.

3.圖形語言轉換為文字語言，總結概念定義

歸納總結：12，14，38，45都是分數.

教師要以小學生認知結構為基礎，選取具有代表性的特例，幫助學生建立感知的概念表象，認識分數的讀法、寫法以及各部分名稱，此時學生掌握了概念的外延.

教師在講解14各部分表示的含義時，可以讓學生想象，分母4表示把一張紙平均分成4份，分子1表示其中的1份，再結合多個具體的分數描述幫助學生進一步理解分數表示部分與整體之間的關系，進而總結出分數的定義性概念：把一個整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數.因此，圖形語言轉換為文字語言有助于幫助學生對概念內涵的理解由感性認識上升為理性認識.

4.判斷正反例，強化概念本質

下面哪些圖形的涂色部分是它的14，在括號里畫“”.

判斷分數表示陰影部分是否正確是圖形語言轉換為符號語言的過程，可以從正、反兩方面對分數的意義進行概念的辨析：先根據圖形判斷其能否用所給的符號語言來表示，若能，則正確;若不能，則接著剖析反例中錯誤的原因.根據符號語言（所給分數）把所給圖形語言轉換為正確的圖形語言.最后用文字語言結合符號語言固化自己對分數的認識，進一步抽象出分數概念的特征——把一個整體平均分才能用分數表示.學生經歷多次數學語言的“逗留”，對分數的意義逐步清晰，教師結合正例和反例引導學生靈活轉換數學語言，使其更好地掌握概念.

總之，教師引導學生經歷分數概念形成的過程就是數學語言不斷轉換、不斷應用和不斷內化的過程，學生能通過數學語言轉換，概括出分數概念的外延和內涵，深刻理解概念的本質屬性，逐步形成概念域和概念系，從而完善其認知結構.

【參考文獻】[1]斯托利亞爾.數學教育學[M].北京：人民教育出版社，1984.

[2]趙文靜.數學學習中的數學語言轉換[J].數學之友，2014（16）：44-46，48.

[3]喻平.數學教學心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2018.

[4]喻平.數學概念學習芻議[J].課程·教材·教法，1995（4）：31.

[5]吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學數學教學基本概念解讀[M].北京：教育科學出版社，2014.