周喜華, 賈洪信, 黃曉紅, 鄧勝岳, 謝 亮

(1- 廣東環(huán)境保護(hù)工程職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教育部，佛山 528216; 2- 湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，株洲 412007)

1 引言

Zadeh[1]在其發(fā)表的論文中首次運(yùn)用模糊集合的概念，這標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生.康托羅維奇[2]于1939 年，首次提出了線性規(guī)劃模型及其理論.Zimmermann[3]最早提出模糊線性規(guī)劃，并通過(guò)模糊線性規(guī)劃對(duì)稱模型的解法解決了約束模糊型問(wèn)題.模糊線性規(guī)劃包含約束模糊型規(guī)劃、系數(shù)模糊型規(guī)劃及決策變量模糊型規(guī)劃[4,5].Candler 和Norton[6]于1977 年首先提出“多層規(guī)劃”模型及其理論，而二層規(guī)劃是多層規(guī)劃的基本組成形式，大量應(yīng)用于兩層遞階特征的經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)(利用兩層多隨處規(guī)劃對(duì)上層為一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者、下層為多個(gè)隨從特征的遞階系統(tǒng)進(jìn)行建模與仿真).鄧勝岳等[7,8]先后研究了系數(shù)或決策變量為三角模糊數(shù)的二層多隨處線性規(guī)劃模型，給出了可行的算法，并通過(guò)算例驗(yàn)證了該算法的可行性和有效性.然而，梯形模糊數(shù)是三角模糊數(shù)的一般形式，能更好的模擬實(shí)際模糊環(huán)境，具有更廣泛的應(yīng)用范圍.為了拓展模糊二層多隨處線性規(guī)劃模型的應(yīng)用范圍，本文系統(tǒng)研究了一類決策變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨處線性規(guī)劃模型.因此，本文研究的模型是文獻(xiàn)[7]中模型的更一般形式.

2 基礎(chǔ)知識(shí)

2.1 模糊結(jié)構(gòu)元理論

定義1[9,10]設(shè)E 為實(shí)數(shù)域R 上的模糊集合，而隸屬函數(shù)記為E(x), x ∈R.如果E(x)滿足下述性質(zhì)：

1) E(0)=1；

2) 在區(qū)間[-1,0)上，E(x)是單調(diào)遞增的函數(shù)且右連續(xù)，在區(qū)間[0,1)上，E(x)是單調(diào)遞減的函數(shù)且左連續(xù)；

3) 若x ＜-1 或x ＞1 時(shí)，E(x)=0，則E 是實(shí)數(shù)域上的模糊結(jié)構(gòu)元.

定義2[9,10]若模糊結(jié)構(gòu)元E(-x)=E(x)，則稱E 為對(duì)稱模糊結(jié)構(gòu)元.

定義3[9,10]若模糊結(jié)構(gòu)元E 滿足：

1) x ∈(-1,1), E(x)＞0；

2) E(x)連續(xù)，且在[-1,0)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在[0,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞減，則稱E 為正則模糊結(jié)構(gòu)元.

則根據(jù)E 可得到

2.2 兩層多隨從線性規(guī)劃

兩層多隨從線性規(guī)劃模型(MFBLP)及引理

其中i=1,2,··· ,N.

3 一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨從線性規(guī)劃模型及算法

3.1 模型

一類變量為梯形模糊數(shù)的二層多隨從線性規(guī)劃模型，具體形式如下

步驟3 根據(jù)定理1，將模型(1)的最優(yōu)解轉(zhuǎn)化為模型(2)的最優(yōu)解；

步驟4 根據(jù)引理5，并利用Matlab 編程運(yùn)行得到定理1 中模型的最優(yōu)解；

步驟5 將(2)的最優(yōu)解代入(1)得到最優(yōu)解.

4 算例

本節(jié)將提供兩個(gè)算例，其中算例1 為一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者一個(gè)隨從情形，算例2 為一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者兩個(gè)隨從情形，并且模型中的決策變量都用梯形模糊數(shù)表示.通過(guò)兩個(gè)算例的求解過(guò)程驗(yàn)證了本文研究的模型及算法的可行性和有效性.當(dāng)文中的模型決策變量由梯形模糊數(shù)退化為三角模糊數(shù)時(shí)，算法仍然可行，可見(jiàn)本文的模型是文獻(xiàn)[7]中模型的更一般形式.

算例1 考慮上層一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者、下層一個(gè)隨從，且上下層均有約束條件的一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層線性規(guī)劃問(wèn)題

步驟2 E(t)為三角模糊結(jié)構(gòu)元，則

所以可以將原問(wèn)題(3)轉(zhuǎn)化為下式

步驟3 由引理5 可知，若存u1, u2, v1, v2, v3, v4, v5∈R，且u1, u2, v1, v2, v3, v4,v5≥0，則有

所以可以得到兩種情況：

步驟4 若情況1)成立時(shí)，可將問(wèn)題(4)轉(zhuǎn)化為

若情況2)成立，則同理可得.

步驟5 情況1)與情況2)所得到的最優(yōu)值分別為-5.0000, 11.6000，所以情況1)的最優(yōu)解為問(wèn)題(4)的最優(yōu)解，即為x1= 0.1687, x2= 0.2624, x3= 0.5996, x4= 4.1071,y1= 0.5407, y2= 0.9529, y3= 1.9843, y4= 5.5850.將上述結(jié)果代入原問(wèn)題(3)得到：上層問(wèn)題的最優(yōu)解為(-10.0187,-6.1384,-3.0244,-1.6567)，下層問(wèn)題的最優(yōu)解為(0.7094,1.2153,2.5839,9.6921).

算例2 考慮上層一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者、下層二個(gè)隨從，且上下層均有約束條件的一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨從線性規(guī)劃問(wèn)題

步驟2 E(t)為算法步驟一給出正則三角模糊結(jié)構(gòu)元，則

所以可以將原問(wèn)題(5) 轉(zhuǎn)化為下

對(duì)第二個(gè)隨從有

步驟4 若情況一成立，可將問(wèn)題(6)轉(zhuǎn)化為

若情況二、情況三、情況四成立，同理可得.

5 結(jié)論

針對(duì)一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨從線性規(guī)劃問(wèn)題，利用模糊結(jié)構(gòu)元的性質(zhì)，將梯形模糊數(shù)進(jìn)行模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元加權(quán)序處理，到達(dá)了去模糊化的目的，從而使得一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨從線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為兩層多隨從線性規(guī)劃，提出了算法，并通過(guò)算例驗(yàn)證了該算法的可行性.