張 鍇, 王成勇, 賀麗娟,?

(1- 文華學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系，武漢 430074; 2- 湖北文理學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，襄陽(yáng) 441053)

1 引言

灰色預(yù)測(cè)模型[1]因建模過(guò)程簡(jiǎn)單，并且在能夠在樣本數(shù)據(jù)量較小的情況下，得到較為準(zhǔn)確的擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果，已被廣泛應(yīng)用于交通管理、城市環(huán)境、生態(tài)農(nóng)業(yè)、能源分析等眾多領(lǐng)域[2-4].與傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型不同，GOM(1,1)模型(Grey Opposite-direction Model)[5,6]是基于反向累加生成方法所建立的灰色預(yù)測(cè)模型，對(duì)于具有遞減性質(zhì)的數(shù)據(jù)序列具有較好的擬合與預(yù)測(cè)效果.近年來(lái)，許多學(xué)者從不同角度對(duì)GOM(1,1)模型進(jìn)行了改進(jìn)，楊知等[7]分析了反向累加生成，改進(jìn)了模型背景值的計(jì)算，給出了GOM(1,1)模型參數(shù)求解的優(yōu)化方法.陳鵬宇[8]根據(jù)背景值的幾何意義，建立了兩種加權(quán)背景值的構(gòu)造形式.練鄭偉等[9]在反向累加條件下，對(duì)原始序列和生成序列的齊次和非齊次指數(shù)特性進(jìn)行了研究，在此基礎(chǔ)上建立了新的GOM(1,1)模型.文獻(xiàn)[10-12]將改進(jìn)的GOM 模型用于沉降預(yù)測(cè)，文獻(xiàn)[13]將優(yōu)化的GOM 模型用于道路交通事故預(yù)測(cè)，都取得了不錯(cuò)的效果.

值得注意的是，上述眾多文獻(xiàn)中，均用常數(shù)b 表示灰作用量，將來(lái)自外部的擾動(dòng)視作不變，這樣處理可以簡(jiǎn)化模型計(jì)算，卻不能較好反映數(shù)據(jù)發(fā)展變化的客觀規(guī)律.實(shí)際上，隨著時(shí)間和空間的變化，灰色作用量也會(huì)隨之變化[14-16].本文重視建模過(guò)程中灰作用量的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，從白化微分方程入手，在一次累加生成序列滿足非齊次指數(shù)律的條件下，通過(guò)積分給出了GOM(1,1)模型的優(yōu)化背景值，以原始序列和模擬序列的平均相對(duì)誤差平方和最小為原則，確定時(shí)間響應(yīng)函數(shù)中的最優(yōu)參數(shù)，最終形成完整的優(yōu)化GOM(1,1)模型.

2 反向累加生成及GOM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型

定義1[5,6]設(shè)x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),··· ,x(0)(n))為原始序列，令

稱x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),··· ,x(1)(n))為x(0)的一次反向累加生成序列.

定義2[5,6]設(shè)x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),··· ,x(0)(n))為原始序列，取

稱x(-1)=(x(-1)(1),x(-1)(2),··· ,x(-1)(n))為x(0)的一次反向累減生成序列.

易知

定義3[9]設(shè)x(0)為非負(fù)準(zhǔn)光滑原始序列，x(1)為其一次反向累加生成序列，對(duì)x(1)建立基于反向累加生成的GOM(1,1)模型

-x(0)(k-1)+az(1)(k)=b, k =2,3,··· ,n,

其中a 為發(fā)展系數(shù)，b 為控制系數(shù)，z(1)(k)為背景值.

GOM(1,1)模型的白化方程為

定義3 中的模型用常數(shù)b 表示灰作用量，并未考慮灰作用量隨時(shí)間和空間的變化而發(fā)展變化的過(guò)程；如果將灰作用量近似看作為時(shí)間的線性函數(shù)，即使用b1+b2k 代替原來(lái)的灰作用量，可以對(duì)GOM(1,1)模型進(jìn)行優(yōu)化.

3 GOM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型的優(yōu)化

3.1 灰作用量?jī)?yōu)化的GOM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型

定義4 設(shè)x(0)為非負(fù)的原始序列，x(1)為其一次反向累加生成序列，稱

為灰作用量?jī)?yōu)化的GOM(1,1)模型.

定義5 稱

為灰作用量?jī)?yōu)化的GOM(1,1)模型的白化方程.

則GOM(1,1)模型(1)的參數(shù)估計(jì)式為

證明 將數(shù)據(jù)代入灰色微分方程-x(0)(k-1)+az(1)(k)=b1+b2k，移項(xiàng)得到

-x(0)(1)=-az(1)(2)+b1+2b2,

-x(0)(2)=-az(1)(3)+b1+3b2,

··· ,

-x(0)(n-1)=-az(1)(n)+b1+nb2,

使s 最小的a, b1, b2應(yīng)滿足

3.2 GOM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型背景值的優(yōu)化

即

會(huì)具有更好的適應(yīng)性.

定理3 x(0), x(1)如定義4 所示，若x(1)滿足非齊次指數(shù)形式，則背景值為

其中k =2,3,··· ,n，且x(0)(k)/=x(0)(k-1).

證明 x(1)滿足非齊次指數(shù)形式，不妨假設(shè)

x(1)(t)=AeBt+C,

其中A, B, C 為待定系數(shù)，背景值化簡(jiǎn)可得

由于

則

從而

即

又由(4)式，可得

根據(jù)原始序列x(0)與一次反向累加生成序列x(1)的關(guān)系，當(dāng)n = k 時(shí)，有x(1)(n) =x(0)(n)，即x(1)(n) = x(0)(n) = AeBt+C，得到C = x(0)(n)-AeBt，將(5),(6)式代入，則有

將(5)-(7)式代入(3)式整理可得定理結(jié)論.

3.3 初始條件的改進(jìn)

傳統(tǒng)GOM(1,1)模型選擇初值時(shí)，認(rèn)為擬合曲線一定通過(guò)點(diǎn)(1,x(1)(1))或(1,x(1)(n))，這種強(qiáng)制擬合曲線通過(guò)原始數(shù)據(jù)序列中的某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法缺乏相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，建立的模型預(yù)測(cè)誤差較大.為了改進(jìn)上述不足，本文以原始序列和模擬序列的平均相對(duì)誤差平方和最小為原則[17]，確定時(shí)間響應(yīng)函數(shù)中的最優(yōu)常數(shù)C1.

則

證明 邊值條件未知時(shí)

因此，改進(jìn)GOM(1,1)模型的白化方程的時(shí)間響應(yīng)式為

完整的GOM(1,1)模型改進(jìn)算法如下：

② 根據(jù)定理4，構(gòu)造指標(biāo)函數(shù)F(C1)，確定最優(yōu)常數(shù)C1；

③ 將①、②中的參數(shù)估計(jì)式代入累減還原式，可得序列還原值的估計(jì)值.

4 實(shí)例

一種害蟲在某農(nóng)藥作用下單位面積內(nèi)的數(shù)量隨時(shí)間變化的采樣數(shù)據(jù)，見表1[6].

表1 采樣數(shù)據(jù)

設(shè)x(0)=(8,6.5,5.2,4.5,3.2)，一次反向累加生成序列x(1)=(27.4,19.4,12.9,7.7,3.2).傳統(tǒng)灰色模型的時(shí)間響應(yīng)式

文獻(xiàn)[6]模型的時(shí)間響應(yīng)式

文獻(xiàn)[7]模型的時(shí)間響應(yīng)式

本文模型的時(shí)間響應(yīng)式

從表2 的數(shù)據(jù)對(duì)比中可以看到，傳統(tǒng)灰色模型的平均相對(duì)誤差最大，說(shuō)明使用累加生成方法處理具有遞減趨勢(shì)的數(shù)據(jù)序列，建模預(yù)測(cè)的適應(yīng)性較差，導(dǎo)致建模誤差較大；文獻(xiàn)[6]提出了反向累加生成概念，由此建立了對(duì)于具有單調(diào)遞減趨勢(shì)序列的反向累加灰色GOM(1,1)模型，由于忽略了背景值的構(gòu)造會(huì)影響建模精度，平均相對(duì)誤差僅為1.67%；文獻(xiàn)[7]發(fā)現(xiàn)了GOM(1,1)模型的缺陷，對(duì)背景值進(jìn)行了優(yōu)化，但卻忽略了新背景值的建模適應(yīng)性，導(dǎo)致對(duì)于本文實(shí)例中的數(shù)據(jù)序列建模效果不佳；本文優(yōu)化模型的平均相對(duì)誤差僅為1.17%，相對(duì)于其他幾種模型的模擬精度有較大提升，能夠說(shuō)明改進(jìn)算法后的新模型更有優(yōu)勢(shì).

表2 四種模型的擬合結(jié)果和相對(duì)誤差對(duì)比

關(guān)于模型精度的檢驗(yàn)，采用精度檢驗(yàn)等級(jí)的方法[1]來(lái)說(shuō)明模型的優(yōu)良性：

殘差的均值、方差分別為

按照C 和p 的計(jì)算結(jié)果，參照表3 的具體指標(biāo)對(duì)模型的精度進(jìn)行評(píng)定.

表3 精度檢驗(yàn)等級(jí)參考表

經(jīng)過(guò)計(jì)算，本文模型的均方差比值為0.0422，小誤差概率為1，根據(jù)表3 提供的精度檢驗(yàn)等級(jí)參考表，模型精度等級(jí)為一級(jí)，表明該模型具有較高的模擬精度，可以用于中長(zhǎng)期的預(yù)測(cè).

5 結(jié)束語(yǔ)

本文從以下三方面提出了一個(gè)完整的GOM(1,1)模型改進(jìn)算法：

1) 采用反向累加生成，考慮灰作用量的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，建立了灰作用量的優(yōu)化的GOM(1,1)模型；通過(guò)使用最小二乘法，得到了模型的未知參數(shù)估計(jì)式，并推導(dǎo)確定了時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的最優(yōu)表達(dá)式；

2) 由背景值的幾何意義，基于一次累加生成序列滿足非齊次指數(shù)律的條件下，通過(guò)積分推導(dǎo)給出了GOM(1,1)模型的優(yōu)化背景值，用以代替?zhèn)鹘y(tǒng)GOM(1,1)模型的背景值；

3) 以原始序列和模擬序列的平均相對(duì)誤差平方和最小為原則，確定模型最優(yōu)的初始條件，最終形成完整的GOM(1,1)模型改進(jìn)算法.