王宏官

數(shù)學(xué)本質(zhì)上是研究抽象的東西，主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語言予以表征.

在學(xué)習(xí)過程中，如何發(fā)展自己的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，促思維品質(zhì)的提升？

策略之一：挖掘定理公式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)含的思想方法，發(fā)展抽象思維品質(zhì)

教材中正弦定理與余弦定理的推導(dǎo)方法中都用到了向量法和解析法，這兩種方法也正是我們解決三角形應(yīng)用問題中常用的兩種思維角度.

敲黑板

教材中一些定理、性質(zhì)和公式的推導(dǎo)過程往往隱藏了某一重要的數(shù)學(xué)思想或方法.我們不能只關(guān)注概念、法則和它們的應(yīng)用，應(yīng)多一份追求與思考，追根溯源，關(guān)注這些概念和法則產(chǎn)生過程、推導(dǎo)方法、滲透的數(shù)學(xué)思想與方法.

例1已知△ABC 的三邊長分別為AB=7,BC=5,CA=6，那么的值為________.

解析1（常規(guī)解法）利用余弦定理的推論與數(shù)量積的定義即可求解.

解析2（借助余弦定理的推導(dǎo)）注意到中向量與的形式，首尾相接.在△ABC中，平方得,代入解得

教材中有這樣一道習(xí)題：

在△ABC中，求 證：a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

再看這樣一道泰州聯(lián)考題：

在 △ABC中，a=3,b=4,c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為________.

敲黑板

你的教材，多久沒碰啦？仔細(xì)閱讀過幾遍？

解題時(shí)如果我們想不到應(yīng)用上題結(jié)論，而感到應(yīng)用正弦、余弦定理無從下手時(shí)，應(yīng)該跳出解三角形范疇，聯(lián)想到余弦定理與向量數(shù)量積的關(guān)系，得

由上可以看出它們的轉(zhuǎn)化也正是基于余弦定理的推導(dǎo)過程，在具體情境中思考問題的背后是否隱藏了某些規(guī)律，抽象出其本質(zhì)，達(dá)到多題歸一、多題一解之效.因此我們要善于從課本中概念、公式、定理的形成過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、方法，發(fā)展抽象思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

策略之二:積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)抽象的思維品質(zhì)

教材中有這樣一道例題：

直線y=x-2 與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A,B，求證：OA⊥OB.

面對(duì)這樣的問題，我們可以反思：能使OA⊥OB成立的關(guān)鍵條件是什么？

可以質(zhì)疑：“拋物線y2=2x”中的“2”與“直線y=x-2”中的“2”是“巧合”？

嘗試將此系數(shù)進(jìn)行一般化，抽象為一般：

直線y=x-2p與拋物線y2=2px(p＞0) 相交于點(diǎn)A,B，OA⊥OB成立嗎？

發(fā)現(xiàn)此命題成立.

繼續(xù)反思：直線的斜率只能為“1”嗎？

嘗試將直線方程改為y=x2-2，推理發(fā)現(xiàn)OA與OB并不垂直.而將直線y=x-2改為直線y=2(x-2) 后，才會(huì)出現(xiàn)OA⊥OB.由此我們可再抽象為一般化的結(jié)論：

結(jié)論1直線y=k(x-2p) 與拋物線y2=2px(p＞0) 相交于點(diǎn)A,B，有OA⊥OB.

結(jié)論2過定點(diǎn)(2p,0)的動(dòng)直線和拋物線y2=2px(p＞0) 相交于兩點(diǎn)A,B，O為原點(diǎn)，有OA⊥OB.

從上述命題探究過程中，可發(fā)現(xiàn)：

結(jié)論3若一直線與y2=2px(p＞0) 相交于兩點(diǎn)A,B，O為原點(diǎn)，且OA⊥OB，則直線AB必過定點(diǎn)(2p,0).

由于O點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，進(jìn)一步一般化得到：

結(jié)論4若M(x0,y0)為y2=2px(p＞0) 上一定點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線的兩條互相垂直的弦MA,MB，則直線AB必過定點(diǎn)(x0+2p,-y0).

結(jié)論5M(x0,y0)為y2=2px(p＞0) 上一定點(diǎn)，過點(diǎn)(x0+2p,-y0)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)A,B，則MA⊥MB.

至此，“直線、拋物線、頂點(diǎn)”這三個(gè)條件都已經(jīng)進(jìn)行了一般化（抽象）推廣.

如果再將“兩條互相垂直的弦”一般化為：兩條弦斜率之積為定值.進(jìn)一步可得到：

結(jié)論6M(x0,y0)為y2=2px(p＞0) 上一定點(diǎn)，AB為拋物線的動(dòng)弦，若kMA kMB=λ，則直線AB過定點(diǎn)

還可以進(jìn)一步抽象，將曲線改為圓、橢圓、雙曲線后，看看會(huì)得到什么樣的結(jié)論.

策略之三：熟悉常用的數(shù)學(xué)抽象方式，促成一般性思考問題的習(xí)慣

1.由特殊到一般的抽象方式

先看下面的問題：

例2 (2018·北京卷)設(shè)n為正整數(shù)，集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈ {0,1},k=1,2,…,n}.對(duì)于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，記M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)].當(dāng)n=3時(shí)，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)……

分析當(dāng)n=3 時(shí)，集合A={α|α=(t1,t2,t3),t1,t2,t3∈ {0,1}},α=（1，1，0）,β=（0,1,1），

所以，M(α,α)=[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2，

M(α,β)=[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.

通過對(duì)特殊情形“n=3”的探尋，我們可以進(jìn)一步感知M(α,)β蘊(yùn)含的信息，明確要研究M(α,)β的取值勢(shì)必要去掉絕對(duì)值的符號(hào)，自然需要討論xn和yn的大小關(guān)系，會(huì)尋找到解決問題的入口.

2.由整體到局部進(jìn)行抽象方式

例3已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間[0,3]上的最大值為2，則t=______.

解析1（常規(guī)解法）通過二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象進(jìn)行分類討論.

解析2（換元法）將y=|x2-2x-t|中的x2-2x換元為u，那么原函數(shù)就轉(zhuǎn)化為y=|u-t|.先分析內(nèi)層函數(shù)u=x2-2x.由x∈[0,3]，得u∈[-1,3].

問題就等價(jià)轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=|u-t|在u∈[-1,3] 上的最大值為2，t=______.

借助絕對(duì)值的幾何意義，從而轉(zhuǎn)化為：u是區(qū)間[-13，]上的任意一點(diǎn)，且u與數(shù)軸上一點(diǎn)t的距離的最大值為2，求t的位置.很容易得到t=1.

數(shù)學(xué)抽象是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心和靈魂，直接影響數(shù)學(xué)方法與思想的形成與構(gòu)建.我們平時(shí)研究數(shù)學(xué)問題要學(xué)會(huì)由表及里，由淺入深，善于總結(jié)思辨，透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，抽象歸納出解決問題的方法和思想，這樣才能構(gòu)建出完整的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系，提升自己自己的思維能力.