王 靜，張 翼

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

廣義系統(tǒng)也被稱(chēng)為奇異系統(tǒng)，是一種數(shù)學(xué)表示形式，是描述和研究實(shí)際模型的有力工具，因此，廣義系統(tǒng)受到了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注[1-3].而在系統(tǒng)參數(shù)擾動(dòng)的情況下，廣義系統(tǒng)就不具有結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，而Markovian跳變系統(tǒng)能有效地描述這類(lèi)參數(shù)擾動(dòng)下結(jié)構(gòu)的突變，Markovian跳變是一類(lèi)特殊的隨機(jī)系統(tǒng)，用來(lái)刻畫(huà)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)隨時(shí)間變化的系統(tǒng)[4-6].

近年來(lái)，將廣義系統(tǒng)的相關(guān)理論應(yīng)用于生物系統(tǒng)已成為許多學(xué)者的研究重點(diǎn)，在實(shí)際系統(tǒng)中，種群會(huì)受到諸多隨機(jī)因素的影響，因此，研究隨機(jī)廣義生物系統(tǒng)的建模和穩(wěn)定性分析具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和實(shí)際意義[7-9].Zhang等[10]在廣義生物系統(tǒng)方向的研究做出了貢獻(xiàn)，并對(duì)種群在不同環(huán)境的影響下進(jìn)行建模，以此來(lái)達(dá)到其環(huán)境的穩(wěn)定性，在此之后很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行深入研究，研究了污染環(huán)境中單一生物經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的建模和控制，且提出了一種新的隨機(jī)平均方法來(lái)分析高斯白噪聲激勵(lì)下的沖擊振動(dòng)系統(tǒng)[11].Lee K等[12]給出了具有Markovian跳變的廣義生物經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)保成本控制.總而言之，廣義系統(tǒng)在生物經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用中有著廣闊的前景.

滑?？刂?SMC)作為一種非線(xiàn)性控制策略，具有響應(yīng)快、速度快等優(yōu)點(diǎn)，SMC能夠克服系統(tǒng)的一些不確定性，對(duì)擾動(dòng)和建模都具有較強(qiáng)的魯棒性[13]，且在系統(tǒng)處于滑模相位時(shí)能夠完全補(bǔ)償匹配的不確定性[14-17].SMC目前已經(jīng)應(yīng)用到很多復(fù)雜系統(tǒng)中，如廣義系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生物系統(tǒng)等，并且SMC對(duì)各種復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)介紹[18-19].概括來(lái)說(shuō)，SMC就是通過(guò)設(shè)計(jì)SMC律，在有限的時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)的軌跡驅(qū)動(dòng)到預(yù)先設(shè)計(jì)的、具有穩(wěn)定性等理想特性的滑動(dòng)面中[20]，給出了一種基于觀測(cè)器的線(xiàn)性積分滑?？刂品椒ǎ⑶易罱K保持穩(wěn)定.

本文主要研究的是基于觀測(cè)器的Markovian的隨機(jī)廣義生物系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制問(wèn)題，將廣義生物系統(tǒng)理論與T-S模糊規(guī)則相結(jié)合，將生物種群的密度控制在一個(gè)有界的范圍內(nèi)，并且消除系統(tǒng)中的一些不確定因素，建立T-S模糊模型，并提出了基于觀測(cè)器的有限時(shí)間的模糊滑?？刂品椒?，設(shè)計(jì)了一種模糊滑?？刂破?，以保證在規(guī)定時(shí)間之前的有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面.并且保證了觀測(cè)器控制系統(tǒng)在到達(dá)階段和滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)階段同時(shí)具有有界性.

1 模型建立

由于種群在不同階段的生理機(jī)能有著差別，在不同程度上會(huì)影響種群的生存和滅絕，其階段結(jié)構(gòu)的種群模型可表示為：

(1)

其中x1(t)表示幼年種群密度，x2(t)表示成年種群密度，a1表示幼年種群的出生率，b表示幼年種群轉(zhuǎn)化為成年種群轉(zhuǎn)化率與死亡率之和，δ表示幼年種群轉(zhuǎn)化為成年種群轉(zhuǎn)化率，β表示成年種群的內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)系數(shù).

在模型(1)的基礎(chǔ)上，為了使具有階段結(jié)構(gòu)的種群模型更具有實(shí)際意義，根據(jù)Gordon理論，建立廣義生物系統(tǒng)模型如下：

(2)

其中x3(t)表示整個(gè)養(yǎng)殖過(guò)程的成本，a2表示貸款用來(lái)購(gòu)買(mǎi)幼年種群的比例，c1表示基本成本，E(t)表示對(duì)成年物種x2(t)的單位密度捕獲量，ρ表示捕獲單位成年種群的價(jià)格系數(shù)，c2表示貸款的系數(shù)，d1表示貸款利率，c3表示利潤(rùn)里面用來(lái)償還貸款的部分，cE(t)代表總成本，m(t)表示經(jīng)濟(jì)利潤(rùn).

定理1 若系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)P*處是穩(wěn)定的，則滿(mǎn)足以下不等式：

其中：

證明系統(tǒng)(2)的Jacobian矩陣可表示為：

λ4+Λ1λ3+Λ2λ2+Λ3λ+Λ4=0

當(dāng)滿(mǎn)足下列不等式時(shí)：

根據(jù)Routh-Hurwitz定理可知，系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)P*處是穩(wěn)定的.

在實(shí)際生活中，成熟種群的選擇并不是固定的，它受到多種因素的影響，如生產(chǎn)成本、利率、比較產(chǎn)量和匯率等.因此，假設(shè)成年種群的市場(chǎng)價(jià)格取有限集S={1,2,3,…,N}遵循Markovian跳變過(guò)程，且轉(zhuǎn)移概率矩陣為：Π?{λpq}.

則系統(tǒng)(2)可寫(xiě)為：

(3)

當(dāng)m(t)=0時(shí)，在正平衡點(diǎn)P*處做如下線(xiàn)性變換：

一般情況下，種群的出生率和幼年到成年的轉(zhuǎn)化率均會(huì)受外界環(huán)境和人類(lèi)活動(dòng)的影響，考慮到諸多因素的影響，在系統(tǒng)(3)上加入外部擾動(dòng)和控制輸入，則有：

其中w(t)表示外部擾動(dòng)，u(t)表示控制輸入，b11,b12,b13,b14表示外部擾動(dòng)的系數(shù)，系統(tǒng)可以寫(xiě)成：

其中：

令：

運(yùn)用最大值最小值原理，z1(t),z2(t)可表示為：

其中Mi1+Mi2=1,i=1,2，Mij(i,j=1,2)為隸屬度函數(shù)，利用T-S模糊方法，將系統(tǒng)寫(xiě)為：

上述廣義模糊控制系統(tǒng)包含4個(gè)模糊規(guī)則，若將模糊規(guī)則推廣到正整數(shù)r個(gè)控制系統(tǒng)，令p=rt，則有：

Ai(rt)=Ap,i，Bi(rt)=Bp,i，Jw,i(rt)=Jp,wi.

從而：

(4)

其中：

其中ωij(ζj(t))是ζj(t)在模糊集wij的隸屬度.

為了便于觀測(cè)器設(shè)計(jì)，在系統(tǒng)(4)中加入輸出向量：

(5)

其中y(t)∈Rp是控制輸出，Cp是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不完全可訪問(wèn)時(shí)，狀態(tài)反饋控制器可能失效.因此，給出如下滑模觀測(cè)器：

(6)

(7)

其中W(t)被作為擾動(dòng)，且滿(mǎn)足：

(8)

定義1[21]若給定兩個(gè)標(biāo)量c1>0和c2>0且c1

(9)

則系統(tǒng)(6)是關(guān)于{c1,c2,T,R,d}時(shí)域有界的.

定義2[22]考慮李雅普諾夫函數(shù)V(ζ(t),rt,t≥0)，對(duì)ζ(t)進(jìn)行兩次微分，則無(wú)窮小微分算子LV(t)可被定義為：

(10)

引理1[23]給定任意向量ζ,y∈Rn×n和0

2ζTy≤ζTPζ+yTP-1y.

(11)

2 主要結(jié)果

在觀測(cè)器(6)的基礎(chǔ)上，給出模糊積分滑模面函數(shù)為：

(12)

其中G∈Rm×n，且GBp,i是非奇異的，選取Kp,i∈Rm×n使得Ap,i+Bp,iKp,i是Hurwitz矩陣.

接下來(lái)，將設(shè)計(jì)一個(gè)基于觀測(cè)器的滑?？刂破?，使滑模面s(t)=0在給定時(shí)間T內(nèi)可達(dá)，使得系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)能夠驅(qū)動(dòng)到滑模面上，且在隨后的時(shí)間保持在滑模面上.

定理2 給定觀測(cè)器系統(tǒng)(6)和滑模面函數(shù)(12)，當(dāng)滑模面s(t)=0在時(shí)間T*內(nèi)可達(dá)，滑?？刂坡煽杀硎緸椋?/p>

(13)

證明選取Lyapunov函數(shù)：

(14)

由式(6)和式(12)可知：

因此，可知式(14)的無(wú)窮小微分算子為：

(15)

(16)

因此，滑模面s(t)=0在時(shí)間T內(nèi)可達(dá).

3 時(shí)域有界性分析

將式(13)代入式(6)中，可得閉環(huán)系統(tǒng)為：

(17)

定理3 若存在矩陣Pp>0,Q1>0和Q2>0,給定正常數(shù)μ>0,γ>0，和c′>0且滿(mǎn)足以下條件：

Q1-12m2γI≥0，

(18)

Q2-3m2γI≥0，

(19)

(20)

(21)

其中：

和

證明選擇Lyapunov函數(shù):

(22)

由定義2和文獻(xiàn)[24]中的無(wú)窮小微分算法可知：

(23)

令PpLp,i=Hp,i，由式(20)可得到：

LV(t)-αV(t)-βWT(t)WT(t)-γ(ρ(t)+δ)sgn(s(t))T(ρ(t)+δ)sgn(s(t))≤

ηT(t)Mp,iη(t)<0.

(24)

由式(24)可知：

e-αtε[LV(t)-αV(t)]≤e-αtε[βWT(t)WT(t)+γ(ρ(t)+δ)sgn(s(t))T(ρ(t)+δ)sgn(s(t))].

(25)

對(duì)式(25)從0到t進(jìn)行積分有：

(26)

由式(22)可知：

(27)

(28)

其中有：

(29)

由式(27)～(29)可知：

(30)

?t∈[0,T*]，由式(21)可知：

4 滑動(dòng)模態(tài)的時(shí)域有界分析

基于滑模面(12)和觀測(cè)器(6)，可知:

(31)

(32)

把式(32)代入式(6)中，可以得到滑動(dòng)模態(tài)方程為：

(33)

其中Ip=I-Bp,i(GBp,i)-1G.

定理4 若存在矩陣Pp>0,Hp,i>0和標(biāo)量μ>0,γ>0,對(duì)于任意p∈S滿(mǎn)足以下條件：

(34)

(35)

其中λ1,λ2和c′在定理2中已經(jīng)給出：

證明選取Lyapunov函數(shù)：

(36)

其無(wú)窮小微分算子為：

(37)

(38)

由式(34)可知：

LV(t)-αV(t)-βWT(t)WT(t)≤ηT(t)Mp,iη(t)<0.

(39)

因此?t∈[0,T**]，由式(35)可知：

5 結(jié)論

從實(shí)際情況出發(fā)，由于物種受外界影響過(guò)多，深入物種對(duì)本土種群及人類(lèi)帶來(lái)的影響，同時(shí)考慮經(jīng)濟(jì)因素，利用模糊方法研究了具有Markovian跳變廣義生物系統(tǒng)的有限時(shí)間滑?？刂茊?wèn)題，將廣義生物系統(tǒng)理論與T-S模糊規(guī)則相結(jié)合，并且消除系統(tǒng)中的一些不確定因素，建立T-S模糊模型，并設(shè)計(jì)滑模觀測(cè)器，在此基礎(chǔ)上，基于模糊觀測(cè)器構(gòu)造積分滑動(dòng)曲面.

其次，設(shè)計(jì)一種基于觀測(cè)器的滑?？刂坡桑员ＷC給定滑模面在規(guī)定時(shí)間內(nèi)有限時(shí)間可達(dá).最后通過(guò)時(shí)域界性分析，分別在到達(dá)階段和滑動(dòng)模態(tài)階段進(jìn)行了有界性性能分析.這對(duì)于生態(tài)系統(tǒng)的持續(xù)良好循環(huán)，改善環(huán)境以及長(zhǎng)期穩(wěn)定地獲取經(jīng)濟(jì)利益產(chǎn)生了積極而又深遠(yuǎn)的影響.