衛(wèi) 延

(北京交通大學(xué) 全光網(wǎng)與現(xiàn)代通信網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100044)

0 引言

“電磁場與電磁波”課程內(nèi)容抽象，因?yàn)殡姶艌隹床灰?，摸不到，?dǎo)致學(xué)生難以理解電磁場的基本概念與理論。為提高教學(xué)質(zhì)量，有必要引入直觀性手段。隨著計(jì)算機(jī)與軟件技術(shù)的蓬勃發(fā)展，基于Matlab、Mathematica等軟件的可視化技術(shù)在教學(xué)中廣泛應(yīng)用，產(chǎn)生了眾多清晰的場分布圖形和生動(dòng)的動(dòng)畫，帶來了直觀性，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升了教學(xué)效果[1～9]。

電磁場模型繁多，場分布千變?nèi)f化，目前國內(nèi)尚無文獻(xiàn)對電磁場可視化問題進(jìn)行系統(tǒng)的分類，并指出各類問題具體的可視化方法手段。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，電磁場可視化的問題從內(nèi)容和方法上可以分為三類。第一類是如何制作示意性的圖形和動(dòng)畫，實(shí)現(xiàn)方式有多種；第二類是如何表示有解析解或近似解析解的真實(shí)電磁場，即制作圖形和動(dòng)畫來描述這類電磁場的空間分布和隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)演化，有解析解的電磁場和電磁波通常是課程中最基本的內(nèi)容，在課程教學(xué)中占據(jù)重要地位；第三類問題是無解析解的電磁場和波的可視化，在工程中絕大多數(shù)電磁場問題沒有解析解，所以在實(shí)際應(yīng)用中無解析解的電磁場問題的可視化最常見。

本文針對這三類電磁場可視化問題，詳細(xì)介紹了相關(guān)的可視化技術(shù)手段、細(xì)節(jié)、注意事項(xiàng)和相關(guān)軟件的應(yīng)用，并展示可視化實(shí)例。

1 示意性的圖形和動(dòng)畫制作型

“電磁場與電磁波”課程中的某些內(nèi)容，比如媒質(zhì)磁化、介質(zhì)極化、邊界條件、位移電流、穩(wěn)恒電流、電磁感應(yīng)等等，在授課時(shí)宜用圖形和動(dòng)畫表示，可省去大段的語言描述。繪制圖形可以用Microsoft Word中的繪圖工具，而更好的方式是采用專業(yè)的二維繪圖工具，比如AutoCAD等軟件。繪制同樣的圖形，AutoCAD比Word定位精準(zhǔn)，操作方便快速，并且出圖效果更清晰美觀。動(dòng)態(tài)物理過程，需要?jiǎng)赢媮砻枋?。制作示意性的?dòng)畫常常用到Photoshop軟件，動(dòng)畫制作的基本步驟是：先用AutoCAD繪制一系列某參數(shù)漸變的圖形，然后把這些圖形以堆棧方式載入到Photoshop中，再用 “時(shí)間軸”工具將這些圖形串聯(lián)起來，存為web所用格式，即可得到相關(guān)的gif格式幀動(dòng)畫。圖1為用AutoCAD和Photoshop制作的示意性動(dòng)畫，圖1(a)表示恒定電流的產(chǎn)生，圖1(b)反應(yīng)媒質(zhì)的磁化過程。

(a)恒定電流動(dòng)畫 (b)媒質(zhì)磁化動(dòng)畫 圖1 用AutoCAD和Photoshop制作的示意性動(dòng)畫

為防止幀動(dòng)畫在播放時(shí)出現(xiàn)抖動(dòng)，幀數(shù)要充足，另外每幀靜態(tài)圖形所表示的區(qū)域應(yīng)該完全相同，即在截取每張圖形時(shí)，圖形的外邊框應(yīng)嚴(yán)格一致。在用AutoCAD繪制這些靜態(tài)圖形時(shí)，要給每個(gè)圖形四周繪制一個(gè)統(tǒng)一的定位圖框，按照定位圖框截取圖形，從而保證定位精準(zhǔn)。

2 存在解析解的電磁場的可視化

電磁學(xué)中的很多問題解決的前提是對場分布有一定的了解。真實(shí)的、準(zhǔn)確的場分布圖形和場變化動(dòng)畫能帶給學(xué)生積極、正確的信息，顯著提升學(xué)生對基本理論、公式和結(jié)論的理解，所以準(zhǔn)確的場分布圖形和場變化動(dòng)畫是可視化的目標(biāo)，而靜態(tài)場分布圖形是最基本的元素。幀動(dòng)畫正是由一張張靜態(tài)圖合成的，場可視化的第一步就是得到最基礎(chǔ)的靜態(tài)場分布圖形。課程中的基本電磁場模型通常有解析結(jié)果，可以用Matlab等軟件來繪制靜態(tài)場分布圖形。對于電磁場中的標(biāo)量，如電位，常用Matlab中的contour命令繪制等高線，也可用surf、mesh等命令來描繪電位在某個(gè)區(qū)域中的分布。

對于電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等矢量，既要表示其數(shù)值大小，又要標(biāo)明其方向?？梢杂脙深悎D形來描繪矢量場分布，其一是用quiver命令繪制矢量點(diǎn)圖，即在要繪制圖形的區(qū)域中均勻選擇一系列點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)上繪制一個(gè)帶箭頭的有向線段，線段的長度表示矢量場數(shù)值的大小，箭頭指向?yàn)槭噶繄鲈谠擖c(diǎn)的方向；其二是用streamline命令繪制矢量線圖(流線圖)，即通常的電力線圖(或磁力線圖)，電力線上任意一點(diǎn)處的切線方向是該點(diǎn)電場強(qiáng)度的方向，任意點(diǎn)處電力線的疏密程度反映該點(diǎn)電場強(qiáng)度的數(shù)值的大小。相比于矢量點(diǎn)圖，矢量線圖具有整體性，能清楚反映出場分布的全局概況，揭示出場與源的關(guān)系，具有深刻的物理意義。在電磁場的可視化過程中，最好采用矢量線圖來描述電磁場分布。

用contour、surf、mesh、quiver等4個(gè)命令繪制圖形，簡單直接，基本步驟是先用meshgrid命令定義一個(gè)矩陣區(qū)域以及其中的眾多矩形陣列點(diǎn)，然后用矩陣給這些點(diǎn)賦值，值是這些陣列點(diǎn)上的標(biāo)量場的值，也可以是矢量場的分量值，再使用這4個(gè)命令直接繪圖即可。而用streamline命令繪制矢量線圖，除了上面的基本步驟外，還需要繪圖者有一定的經(jīng)驗(yàn)和技巧。streamline命令需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)精心選擇矢量線的起點(diǎn)，有時(shí)還需要分割繪圖區(qū)域，拼接圖形，還要仔細(xì)判別繪圖結(jié)果的正確性，改正某處的錯(cuò)誤繪圖，保證理論上的正確性。

如圖2所示，設(shè)在自由空間無限大勻強(qiáng)電場(電場方向?yàn)樗椒较颍瑥淖蟮接?，稱之為原場)中放置一個(gè)無限長均勻介質(zhì)圓柱體，圓柱體軸線垂直與電場方向?？梢杂梅蛛x變量法求出電場強(qiáng)度和電位的解析解，從解析解可知圓柱體內(nèi)的電場是同方向的勻強(qiáng)電場。圖2(a)是用contour和quiver命令繪制的圓柱體附近的等位面和電場矢量點(diǎn)圖，該圖反應(yīng)出圓柱體外面的勻強(qiáng)電場受到了擾動(dòng)，并且圓柱體內(nèi)是一個(gè)水平向右的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)小于原場。圖2(b)中豎直方向的線仍然是等位面，與圖2(a)一致，水平方向的線是用streamline命令直接繪制出來的電力線。該電力線反映出圓柱體內(nèi)部的電場強(qiáng)度數(shù)值大于原場，是錯(cuò)誤的，應(yīng)該去掉幾條電力線，變成圖2(c)，才能正確反應(yīng)出圓柱體內(nèi)部的電場強(qiáng)度分布。根據(jù)圓柱體內(nèi)電場強(qiáng)度與原場的比值，可以確定出需要去掉的電力線的條數(shù)。圖2(c)是修正后的等位面和電力線分布圖，電力線箭頭通過Matlab圖形面板中的箭頭工具添加。比較圖2(c)與圖2(a)，顯然矢量線圖比矢量點(diǎn)圖更清晰美觀，更有整體性，能更清晰地反應(yīng)出場和源的關(guān)系，電力線在介質(zhì)圓柱體表面上不連續(xù)，是因?yàn)榻橘|(zhì)圓柱體的外表面出現(xiàn)了極化面電荷。用quiver命令繪制的矢量點(diǎn)圖雖然粗糙，但結(jié)果是正確的，所以將contour命令與streamline命令結(jié)合使用是更好的途徑。如果矢量線圖與矢量點(diǎn)圖不一致，就修正矢量線圖，矢量點(diǎn)圖可作為一個(gè)判斷矢量線圖正誤的標(biāo)準(zhǔn)。

(a) 等位面與電場矢量點(diǎn)圖 (b)等位面與電力線圖(有誤)

矢量線的起點(diǎn)需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)精心選擇，由于圖2中的原場是勻強(qiáng)電場，矢量線的起點(diǎn)選擇為區(qū)域左邊緣上均勻分布的一組點(diǎn)。對于復(fù)雜的情況，矢量線起點(diǎn)不容易選擇，并且streamline命令繪制的電力線，只能從電位高的點(diǎn)出發(fā)，增加了起點(diǎn)選擇上的困難。圖3是無限長帶電平行雙線的等位面和電力線圖，帶箭頭的線表示電力線，不帶箭頭的圓弧形線表示等位面。圖3(a)為平行雙線橫斷面上的電力線與等位面分布圖，圖3(b)為圖(a)的旋轉(zhuǎn)后得到的3D圖，更生動(dòng)形象。

(a)橫截面分布圖 (b)3D分布圖 圖3 無限長帶電平行雙線的電力線與等位面分布圖

用streamline命令繪制平行雙線的電力線時(shí)，起點(diǎn)如何選擇？如果不存在能畫出全部電力線的一組起點(diǎn)，又該如何處理呢？電力線從正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷，起點(diǎn)自然選擇在左邊帶正電的線電荷上，但是線電荷的電場強(qiáng)度無限大，具有奇異性，合適的選擇是將線電荷變成一個(gè)半徑很小的圓柱體，其橫截面外邊緣是個(gè)小圓圈，電力線起點(diǎn)選擇為小圓圈上一組均勻的點(diǎn)。為什么是均勻的一組點(diǎn)？因?yàn)楫?dāng)圓圈半徑很小時(shí)，距離線電荷很近，遠(yuǎn)處電荷產(chǎn)生的電場可以忽略，電場主要是線電荷自身產(chǎn)生的輻射狀的圓柱對稱場，因而在小圓圈上選擇均勻的點(diǎn)作為電力線的起點(diǎn)是合理的。如此選擇起點(diǎn)后，并不能畫出全部的電力線，因?yàn)橛行╇娏€從正電荷發(fā)出后，穿出了繪圖區(qū)域，經(jīng)過了很遠(yuǎn)的路徑，再返回來進(jìn)入繪圖區(qū)域終止到負(fù)電荷，streamline命令無法繪制這些返程的電力線。所以無法僅設(shè)置一組起點(diǎn)來繪制全部的電力線。

通過設(shè)置兩組點(diǎn)和多組點(diǎn)，可以繪制出全部的電力線，但是會(huì)發(fā)生電力線交疊、重復(fù)等情況，需要大量的圖形編輯工作。解決的方法是分成左右兩個(gè)區(qū)域，分別繪制電力線，然后將圖形拼接起來。有兩種手段處理這個(gè)問題，其一是鏡像對稱法，先繪制左半?yún)^(qū)域的電力線，再沿著中分面做個(gè)鏡像，得到右半?yún)^(qū)域的電力線，拼接后得到全部的電力線，該方法適合于電力線分布鏡像對稱的情況，并且需要Photoshop軟件。其二是先繪制左半?yún)^(qū)域的電力線，然后將平行雙線的電荷設(shè)置為左負(fù)右正，再繪制右邊的電力線，拼接后得到全區(qū)域的電力線，該方法在Matlab中即可實(shí)現(xiàn)，不需要另外的圖形編輯軟件。用streamline命令繪制矢量線，對于無法選擇一組起點(diǎn)繪制全部矢量線的情形，分割區(qū)域、拼接圖形是有效的途徑。用Matlab繪制帶電平行雙線的等位面和電力線分布圖的主要代碼如下：

rho_1=1e-8;%C/m, 電荷線密度

b=2.5;%m, 繪圖區(qū)域?qū)挾?/p>

a=1;%m, 線電荷中心距

h=2.5;%m, 繪圖區(qū)域高度

delta=0.001;%防止出現(xiàn)奇異值，設(shè)置小偏移

M=101;N=101;%繪圖區(qū)域x、y方向點(diǎn)數(shù)

K=9e9;%靜電力常數(shù)

[x,y]=meshgrid(-b:2*b/(M-1):b,-h:2*h/(N-1):h);

r1=sqrt((x+a/2).^2+y.^2+delta);

r2=sqrt((x-a/2).^2+y.^2+delta);

Phi=2*K*rho_1*log(r2./r1);%電位

figure;contour(x,y,Phi,15);%繪制等位面

hold on;

plot(-a/2,0,'r+','MarkerSize',10);%繪制正電荷標(biāo)志“+”

axis equal;%令圖上x、y方向的單位長度相等

%----下面繪制左半?yún)^(qū)域電力線------

[x1,y1]=meshgrid(-b:2*b/(M-1):0,-h:2*h/(N-1):h);

r11=sqrt((x1+a/2).^2+y1.^2+delta);

r21=sqrt((x1-a/2).^2+y1.^2+delta);

Phi_1=2*K*rho_1*log(r21./r11);

[Ex1,Ey1]=gradient(-Phi_1);%根據(jù)電位求電場強(qiáng)度

aa=0.1;%電力線起點(diǎn)所在圓的半徑

KK=1:18;

Max=max(KK);

xx1=[-a/2+aa*cos(2*pi/Max.*KK)];%電力線起點(diǎn)x坐標(biāo)

yy1=[aa*sin(2*pi/Max.*KK)];%電力線起點(diǎn)y坐標(biāo)

streamline(x1,y1,Ex1,Ey1,xx1,yy1);%繪制左半?yún)^(qū)域電力線

%----下面繪制右半?yún)^(qū)域電力線------

[x2,y2]=meshgrid(0:2*b/(M-1):b,-h:2*h/(N-1):h);

r12=sqrt((x2+a/2).^2+y2.^2+delta);

r22=sqrt((x2-a/2).^2+y2.^2+delta);

Phi_2=2*K*rho_1*log(r22./r12);

[Ex2,Ey2]=gradient(Phi_2);%電場取相反數(shù)，繪圖方便

xx2=[a/2+aa*cos(pi-(2*pi/Max.*KK))];

yy2=[aa*sin(pi-(2*pi/Max.*KK))];

streamline(x2,y2,Ex2,Ey2,xx2,yy2);

3 無解析解的電磁場的可視化

無解析解的電磁場模型的可視化，需要借助電磁場分析軟件求出數(shù)值解，如HFSS，Comsol，Ansoft等等，然后根據(jù)計(jì)算出的數(shù)值解來繪制電磁場分布圖形。其中Comsol軟件計(jì)算可靠，出圖清晰，既能輸出靜態(tài)圖，又能輸出avi和gif格式的動(dòng)畫，是電磁場可視化的一種理想工具。

使用Comsol計(jì)算電磁場模型，遵循有限元方法的基本步驟。首先定義求解區(qū)域，選擇正確的電磁模組(電磁場方程)，選取準(zhǔn)確的材料參數(shù)，設(shè)置正確的邊界條件，劃分合適的網(wǎng)格，然后計(jì)算出結(jié)果，再經(jīng)過后處理步驟得到各物理量(標(biāo)量場或矢量場的分量)在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的數(shù)值。

根據(jù)可靠的數(shù)值計(jì)算結(jié)果繪制電磁場分布圖形，制作可視化所需的圖形和動(dòng)畫，要注意兩點(diǎn)。首先要搞清楚計(jì)算模型中最基本、最重要、最有意義的物理量有哪些，這些基本物理量的有關(guān)圖形即可作為可視化的結(jié)果。其次，直接繪制的三維電磁場分布圖形比較復(fù)雜和混亂，而二維圖形比三維圖形更能清晰、直觀地反映出電磁場的變化規(guī)律。所以繪制圖形時(shí)，要注意選取某個(gè)合適截面上的某個(gè)合適的物理量。

圖4(a)是用Comsol軟件繪制的某電偶極子天線遠(yuǎn)場方向圖，是軸對稱的，跟解析結(jié)果是一致的。

圖4(b)是以偶極子天線為軸線的子午面(偶極子天線所在的一個(gè)剖面)上電場強(qiáng)度矢量點(diǎn)圖，由于偶極子天線的電磁場空間分布具有軸對稱性(以偶極子天線為軸)，該圖能清晰反應(yīng)出電場強(qiáng)度的空間分布特性。

圖4(c)是電偶極子天線中垂面上電場強(qiáng)度的幅度分布圖，說明空間電場分布是軸對稱且向遠(yuǎn)處震蕩減弱的。

用Comsol軟件制作動(dòng)畫，要選擇某個(gè)合適的參數(shù)，它的變化能反映計(jì)算模型中電磁場的變化規(guī)律。(衛(wèi) 延文)

(a)方向圖 (b)子午面電場強(qiáng)度分布圖

比如頻率或相位，在Comsol建模后，將頻率或相位定義成一個(gè)漸變的參數(shù)，從某個(gè)初值變化到終值，進(jìn)行掃描計(jì)算，根據(jù)這個(gè)掃描計(jì)算的結(jié)果，使用Comsol軟件可以直接生成動(dòng)畫。以圖4(b)(c)為例，選擇相位為漸變參數(shù)，從0變化到2π，進(jìn)行掃面計(jì)算后，可以輸出電磁場分布隨時(shí)間變化的動(dòng)畫。

4 結(jié)語

本文對電磁場與電磁波的可視化工作進(jìn)行了分類，并指出了各類可視化圖形和動(dòng)畫的制作方法、應(yīng)用軟件和注意事項(xiàng)，還詳細(xì)說明了用streamline命令繪制矢量線圖的方法和技巧,對電磁場相關(guān)課程的可視化工作具有指導(dǎo)作用，對電磁場可視化技術(shù)的發(fā)展也具有重要參考意義。