李紫奕 許蘭喜

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100029)

引 言

對于磁流體力學(xué)的穩(wěn)定性研究在地球物理學(xué)、天文學(xué)、工程學(xué)等許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。Rionero[1]首先提出非線性磁流體力學(xué)中的經(jīng)典能量法，之后該方法被Joseph[2]、Straughan[3]加以應(yīng)用并推廣。

討論一個無限水平均勻的黏性導(dǎo)電不可壓縮的流體層，其中與流體相鄰的介質(zhì)不導(dǎo)電，并且夾層處于共面磁場中，文獻(xiàn)[4]通過引入基本變量，利用李雅普諾夫直接法，即通過定義廣義能量泛函對該系統(tǒng)層流解的線性和非線性穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。在此基礎(chǔ)上，Xu等[5]利用無源場的螺旋分解，通過構(gòu)造新的廣義能量泛函對該問題的非線性穩(wěn)定性進(jìn)行研究，并將所得結(jié)果與文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)其文中的吸引域半徑不依賴于共面磁場。這兩篇文獻(xiàn)均給出了層流解穩(wěn)定的充分條件，且所證明的穩(wěn)定性是有條件的，即初始擾動必須在某吸引域內(nèi)。本文通過數(shù)值計算來比較文獻(xiàn)[4]和[5]中的吸引域半徑在不同雷諾數(shù)下的大小，繼而得出不同廣義能量泛函的優(yōu)劣性。

1 數(shù)學(xué)模型

考慮一水平方向無限的、均勻的、不可壓縮黏性流體夾層R2×(-d,d)，該流體夾層位于一笛卡兒坐標(biāo)系Oxyz中，z軸垂直于夾層且與重力方向相反，流體夾層置于均勻的共面磁場H=H0i+H1j中，并滿足邊界條件U(x,y,z,-d)=-V0i，U(x,y,z,d)=V0i，其中H、U分別為磁場和速度場，V0,H0,H1∈。

設(shè)前述共面磁場內(nèi)的流體夾層系統(tǒng)有層流解，那么其無量綱化后的擾動方程組為[4]

(1)

(2)

h=0,uz=0,vz=0,w=0,z=±1,?t>0

(3)

(4)

2 文獻(xiàn)[4]中的穩(wěn)定性結(jié)論

(5)

3 文獻(xiàn)[5]中的穩(wěn)定性結(jié)論

(6)

4 穩(wěn)定性吸引域半徑比較

根據(jù)共面磁場中無限均勻的不可壓縮黏性流體夾層在兩種不同廣義能量泛函下的非線性穩(wěn)定性結(jié)論，可以得到對應(yīng)的穩(wěn)定性吸引域半徑，即：R[1]=A-2和R[2]=B-2，其中R[1]表示文獻(xiàn)[4]中的穩(wěn)定性吸引域半徑，R[2]表示文獻(xiàn)[5]中的穩(wěn)定性吸引域半徑。

接下來比較不同雷諾數(shù)下R[1]和R[2]的大小。文獻(xiàn)[5]在吸引域半徑估計時多次利用嵌入不等式，嵌入不等式常數(shù)分別為

(7)

(8)

基于上述條件，在之后數(shù)值計算求解R[1]和R[2]時，只改變雷諾數(shù)Re的值，磁雷諾數(shù)Rm取定值，即Rm=1，其余常數(shù)的賦值情況與前文一致。需注意的是，當(dāng)計算R[1]時，H0+H1的值也會改變。為便于同R[2]比較，這里取4組常數(shù)進(jìn)行數(shù)值計算，即H0+H1=1,20,50,1 000，計算結(jié)果如圖1所示。

R[1](X)中的X表示H0+H1的取值。圖1 不同雷諾數(shù)下的穩(wěn)定性吸引域半徑Fig.1 Radii of stable attractive regions for different Reynolds numbers

本文中的吸引域半徑小于1，因此靠近橫軸的曲線對應(yīng)較大的吸引域半徑。觀察圖中的曲線可知，當(dāng)雷諾數(shù)增大時，兩種不同能量泛函下的吸引域半徑均不斷變小，說明此時的系統(tǒng)越發(fā)不穩(wěn)定。當(dāng)共面磁場H的取值為1，20，50和1 000時，無論雷諾數(shù)如何取值，R[2]始終大于R[1]。

5 結(jié)論

對兩篇文獻(xiàn)中吸引域半徑的數(shù)值計算結(jié)果分析后可得，對本文取定的參數(shù)有R[2]>R[1]成立。計算表明，文獻(xiàn)[4]中的吸引域半徑隨共面磁場中參數(shù)H的增大而減小，這說明對文獻(xiàn)[4]中的能量泛函而言，共面磁場可導(dǎo)致層流解的不穩(wěn)定,但該計算結(jié)果是否能真實地反映實際情況還有待實驗驗證。與此對照，共面磁場中參數(shù)H對于文獻(xiàn)[5]中的吸引域半徑卻無影響,由此可得文獻(xiàn)[5]中的能量泛函在某種程度上優(yōu)于文獻(xiàn)[4]中的能量泛函。

同時，分析文獻(xiàn)[4]和[5]中的能量泛函還發(fā)現(xiàn)，兩篇文獻(xiàn)中的能量泛函均由兩部分組成，其中第二部分的泛函是用來控制非線性項的。第二部分泛函的選取直接影響吸引域半徑的大小。比較發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[4]中的第二部分泛函遠(yuǎn)大于文獻(xiàn)[5]中的第二部分泛函，這正是導(dǎo)致文獻(xiàn)[4]中吸引域半徑較小的原因。因此在定義廣義能量泛函時第二部分泛函應(yīng)盡可能的小。