□李鐵安 張惠云

這節(jié)課是以數(shù)學(xué)家歐拉解決“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”為史料背景展開(kāi)的。本節(jié)課不僅要讓學(xué)生探究一筆畫(huà)圖形的規(guī)律，還要讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題和分析解決問(wèn)題的完滿(mǎn)的過(guò)程，并在探索的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界”。

【教學(xué)過(guò)程】

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)作及判斷圖形能否一筆畫(huà)——明確何為一筆畫(huà)

教師在屏幕上動(dòng)態(tài)展示一筆寫(xiě)出“好玩”兩個(gè)字的過(guò)程（如圖1）。

師：同學(xué)們請(qǐng)看！這兩個(gè)字認(rèn)識(shí)嗎？

生：認(rèn)識(shí)！是“好玩”兩個(gè)字。生：我發(fā)現(xiàn)“好玩”這兩個(gè)字是一筆寫(xiě)出來(lái)的。師：一筆連著寫(xiě)出“好玩”兩個(gè)字，確實(shí)挺好玩。今天讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)“好玩的一筆畫(huà)”。大家請(qǐng)看，我用一筆創(chuàng)作了一個(gè)圖形，這是什么？（生答，略）

師：是的，老師用一筆畫(huà)出了一個(gè)向上指的箭頭。你們能用一筆畫(huà)出怎樣的圖形呢？自己試一試！

（學(xué)生交流各自的作品，如圖2）

圖1

圖2

師：哦！這么多圖案都能用簡(jiǎn)單的一筆就畫(huà)出來(lái)，你們的想象和創(chuàng)意都很獨(dú)特。下面同學(xué)們?cè)僬J(rèn)真看看這些圖形（出示圖3）。想一想，試一試，能一筆畫(huà)嗎？

圖3

生：第①個(gè)圖形能一筆畫(huà)，我是這樣畫(huà)的（從圓點(diǎn)處起筆）。

生：我還有其他的畫(huà)法，這樣畫(huà)也是可以的（從圓點(diǎn)處起筆）。

生：我再試試其他兩個(gè)點(diǎn)，都不行。

師：你們是從每個(gè)點(diǎn)開(kāi)始嘗試一筆畫(huà)的，這個(gè)想法挺好。

生：第②個(gè)圖形和第⑤個(gè)圖形從哪個(gè)點(diǎn)開(kāi)始畫(huà)都行，只要繞著所有的線(xiàn)走一圈就可以啦！

師：從哪個(gè)點(diǎn)畫(huà)都行！你的發(fā)現(xiàn)太美妙了！

生：第③個(gè)圖形也能一筆畫(huà)，從這兩個(gè)點(diǎn)開(kāi)始都是可以的。

師：是啊，這個(gè)圖形能一筆畫(huà)，也確實(shí)只有這兩個(gè)點(diǎn)能走通。

生：第④個(gè)圖形我嘗試了所有的點(diǎn)，無(wú)論從哪個(gè)點(diǎn)開(kāi)始都不能一筆畫(huà)，大家看。（展示圖片，如圖4）

圖4

生：第⑥個(gè)圖形也不能一筆畫(huà)，怎么畫(huà)都少一條線(xiàn)。

師：能不能一筆畫(huà)成，這里面會(huì)不會(huì)藏著什么秘密呢？（生陷入思考）

師（出示圖5）：再看這幅圖，好好觀察一下，也可以試著在頭腦里操作一下，它能一筆畫(huà)嗎？生:這個(gè)圖形看起來(lái)是可以一筆畫(huà)的，但我試了一下，先從一個(gè)點(diǎn)開(kāi)始，還剩一條線(xiàn)走不到。我繼續(xù)試，還是不行……我把所有的點(diǎn)都試過(guò)了都不行，所以這個(gè)圖形是沒(méi)有辦法一筆畫(huà)的（如圖6）。

師：說(shuō)得太好了，思考很?chē)?yán)謹(jǐn)。

圖5

圖6

環(huán)節(jié)二：探究一筆畫(huà)圖形是否有規(guī)律可循——確立奇偶點(diǎn)并明確規(guī)律

師：同學(xué)們，我很好奇，你們?cè)谠嚨倪^(guò)程中都有什么感覺(jué)呢？

生：感覺(jué)很繞，很神奇。

生：感覺(jué)像走迷宮一樣，很有意思。

生：有時(shí)候用眼睛看能夠一筆畫(huà)，但是實(shí)際畫(huà)卻不行。

生：在畫(huà)的過(guò)程中有時(shí)候還覺(jué)得挺著急，試了好多次，真想一次成功。如果有規(guī)律就好了。

師：是啊，如果有規(guī)律，是不是就會(huì)簡(jiǎn)單很多呢？那我們就帶著這樣的思考繼續(xù)探索圖形的一筆畫(huà)與什么有關(guān)系。（生說(shuō)猜想，過(guò)程略）

師：你們有的猜與點(diǎn)有關(guān)，有的猜與線(xiàn)有關(guān)，有的猜與點(diǎn)和線(xiàn)都有關(guān)系，這些猜測(cè)都很有道理！那么，就讓我們從這些猜測(cè)入手吧！（學(xué)生露出興奮的神情）

師：以上圖（指圖3）中的第①個(gè)圖形為例來(lái)進(jìn)行探究，這個(gè)圖有4個(gè)點(diǎn)，將每個(gè)點(diǎn)分別用字母ABCD 表示，每個(gè)點(diǎn)都能引出線(xiàn)，大家研究一下這些點(diǎn)和線(xiàn)，有什么發(fā)現(xiàn)（如圖7）？生：從A點(diǎn)和C點(diǎn)能引出3條線(xiàn)，從B點(diǎn)和D點(diǎn)能引出2條線(xiàn)。

圖7

師：從一個(gè)點(diǎn)引出的線(xiàn)有單數(shù)條，這個(gè)點(diǎn)我們稱(chēng)之為奇點(diǎn)；從一個(gè)點(diǎn)引出的線(xiàn)有雙數(shù)條，這個(gè)點(diǎn)我們稱(chēng)之為偶點(diǎn)。

生：就是說(shuō)這個(gè)圖形中有2個(gè)奇點(diǎn)，2個(gè)偶點(diǎn)。

環(huán)節(jié)三：使用規(guī)律判斷圖形——揭示“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”歷史背景

師：我們已經(jīng)能夠數(shù)出圖形中的奇偶點(diǎn)個(gè)數(shù)，但是它們和能一筆畫(huà)出的圖形又有什么關(guān)系呢？請(qǐng)自主完成表格，并探索發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

生：我們需要探究的是能一筆畫(huà)的圖形與奇點(diǎn)和偶點(diǎn)有什么樣的關(guān)系，這里面還包含不能一筆畫(huà)的圖形，我覺(jué)得只展示一筆畫(huà)圖形會(huì)更好。

師：這個(gè)想法太好了，那我們就像你說(shuō)的這樣展示。你有哪些發(fā)現(xiàn)呢？

（注：圖形及序號(hào)均來(lái)自圖3）

生：我看偶點(diǎn)個(gè)數(shù)是2、6、3、5，好像沒(méi)有什么規(guī)律。

生：我發(fā)現(xiàn)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是雙數(shù)的能一筆畫(huà)。

生：我感覺(jué)不對(duì)，圖（指圖3）中第④、第⑥個(gè)圖形的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)都是4，但是不能一筆畫(huà)。

師：你用舉反例的方法進(jìn)行證明，看來(lái)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是雙數(shù)的未必都能一筆畫(huà)呀！

生：我發(fā)現(xiàn)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是0或2的就能一筆畫(huà)。

師：真的是這樣嗎？（師出示圖8）你能用這個(gè)規(guī)律來(lái)判斷這兩個(gè)圖形究竟能不能一筆畫(huà)嗎？判斷后再動(dòng)筆畫(huà)一畫(huà)。

生：第①個(gè)圖形中有2個(gè)奇點(diǎn)，能一筆畫(huà)，我畫(huà)了一下，確實(shí)能一筆畫(huà)。

生：第②個(gè)圖形中有4 個(gè)奇點(diǎn)，不能一筆畫(huà)。我嘗試了很多次，還真的不能一筆畫(huà)。

師：看來(lái)我們探究出的這個(gè)規(guī)律還挺好用的。（師又出示圖5）還記得這個(gè)圖形吧，請(qǐng)你們?cè)倮梦覀儼l(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)判斷一下。

生：不能一筆畫(huà)，因?yàn)檫@個(gè)圖中有4個(gè)奇點(diǎn)。

師：是??！那么你們知道嗎？這幅你們最初看來(lái)很亂很煩，后來(lái)看起來(lái)又很清晰很可愛(ài)的圖，在它的背后，還有一段激動(dòng)人心的故事呢！

（教師播放課件，背景語(yǔ)音+動(dòng)態(tài)展示）

18 世紀(jì)，哥尼斯堡有一條河，河中有兩個(gè)小島。全城被河分割成四塊陸地，河上架有七座橋，當(dāng)時(shí)許多市民都在思索一個(gè)問(wèn)題:一個(gè)人能否從某一地點(diǎn)出發(fā)，不重復(fù)地走遍所有的橋。這就是歷史上著名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”。最后瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉把這七橋問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形能否一筆畫(huà)的問(wèn)題。

師：所以，我們今天就像數(shù)學(xué)家一樣，通過(guò)奇偶點(diǎn)判斷圖形能否一筆畫(huà)，由此順利地解決了七橋問(wèn)題。

環(huán)節(jié)四：通過(guò)規(guī)律解決灑水車(chē)行走路線(xiàn)問(wèn)題——發(fā)現(xiàn)奇點(diǎn)為0或2起止點(diǎn)不同

師：其實(shí)生活中還有很多這樣的問(wèn)題。例如灑水車(chē)要給這兩個(gè)街道灑水，仔細(xì)看圖（師出示圖9），能不能從每個(gè)點(diǎn)出發(fā)不重復(fù)地灑遍所有的路呢？

圖9

生：第①個(gè)圖形可以從每個(gè)點(diǎn)出發(fā)灑遍所有的路，第②個(gè)圖形只有從兩個(gè)點(diǎn)出發(fā)能灑遍所有的路，其他點(diǎn)都是不可以的。

師：是這樣嗎？（動(dòng)態(tài)展示所有點(diǎn)行走路徑）

師：你還有哪些發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)第①個(gè)圖形從每個(gè)點(diǎn)出發(fā)都回到了出發(fā)點(diǎn)，第②個(gè)圖形沒(méi)有回到出發(fā)點(diǎn)。

師：真是這樣！這兩幅圖的起止點(diǎn)不同。

生：我發(fā)現(xiàn)了第①個(gè)圖形的奇點(diǎn)是0，第②個(gè)圖形的奇點(diǎn)是2。

生：也就是說(shuō)，奇點(diǎn)是0 的圖形從哪個(gè)點(diǎn)開(kāi)始都可以一筆畫(huà)，從起點(diǎn)開(kāi)始最終都回到起點(diǎn)。如果奇點(diǎn)是2的圖形只能從一個(gè)奇點(diǎn)開(kāi)始，到另外一個(gè)奇點(diǎn)結(jié)束，而且只能從那兩個(gè)奇點(diǎn)畫(huà)才能一筆畫(huà)。

環(huán)節(jié)五：根據(jù)規(guī)律嘗試改造“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”，使之可以一次走完

師：下面我們?cè)賮?lái)玩一玩！之前老師在教學(xué)這課時(shí)，曾經(jīng)有一位小朋友好奇地提出：能不能把無(wú)法一筆畫(huà)的圖形變成能夠一筆畫(huà)的圖形呢？這是不是也很有意思？我們就來(lái)試一試！（過(guò)程略）

師：我們今天共同學(xué)習(xí)了好玩的一筆畫(huà)。一筆畫(huà)好玩，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探究過(guò)程更好玩！我們經(jīng)歷了一次充實(shí)而愉悅的數(shù)學(xué)文化之旅！最后我要告訴你們一個(gè)小秘密——今天的課也讓老師特別地充實(shí)和愉悅，所以我要謝謝同學(xué)們??！再見(jiàn)！

【育人意蘊(yùn)解析】

本節(jié)課在創(chuàng)新性上做了一些探索與突破。

開(kāi)課情境引入“新”。課始，教師就出示了一筆寫(xiě)成的兩個(gè)字“好玩”?！笆裁醋?？”“好玩?！薄昂猛鎲?？”“好玩?！薄昂猛嬖谀睦?？”“一筆寫(xiě)出‘好玩’兩個(gè)字，是挺好玩的?！边@個(gè)略帶俏皮的設(shè)計(jì)能讓學(xué)生初步感受一筆畫(huà)圖形，同時(shí)也告訴學(xué)生這節(jié)課是要“玩”數(shù)學(xué)。簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)恰到好處！既能喚起學(xué)生的認(rèn)知，又能迅速調(diào)整好學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

問(wèn)題結(jié)構(gòu)搭建“新”。課程內(nèi)容要“問(wèn)題化”才能成為教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)內(nèi)容要“邏輯化”才能成為學(xué)習(xí)內(nèi)容。本節(jié)課設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題：①在學(xué)生嘗試一筆畫(huà)的基礎(chǔ)上，教師給出一些圖形，讓學(xué)生判斷可否一筆畫(huà)出。②特別給出哥尼斯堡七橋問(wèn)題的抽象圖，讓學(xué)生判斷可否一筆畫(huà)出。③結(jié)合給出的圖形，讓學(xué)生探究什么樣的圖形能夠一筆畫(huà)出。④讓學(xué)生通過(guò)分類(lèi)，概括出“奇點(diǎn)”和“偶點(diǎn)”的概念。⑤讓學(xué)生歸納出一筆畫(huà)與偶點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，只與奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)（0或2）。⑥給出哥尼斯堡七橋問(wèn)題的抽象圖，讓學(xué)生揭示為什么不能一筆畫(huà)。⑦介紹哥尼斯堡七橋問(wèn)題，讓學(xué)生抽象出結(jié)構(gòu)圖。⑧讓學(xué)生應(yīng)用特征規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題并探究歸納奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是0或2的圖形一筆畫(huà)出的路徑特征。⑨探索如何把不能一筆畫(huà)的圖形升級(jí)為可以一筆畫(huà)的圖形（以哥尼斯堡七橋問(wèn)題為例）。

前5個(gè)問(wèn)題直接指向核心問(wèn)題，其中問(wèn)題①②重在實(shí)踐感知，學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、想一想、試一試，形成對(duì)一筆畫(huà)圖形的初步認(rèn)識(shí)；問(wèn)題③④⑤則在感知的基礎(chǔ)上通過(guò)列表分類(lèi)歸納得出結(jié)論。這是一個(gè)完整的培養(yǎng)學(xué)生的思維從形象思維向邏輯思維過(guò)渡的過(guò)程。問(wèn)題⑥⑦旨在建立起數(shù)學(xué)模型和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題之間的聯(lián)系，“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”從抽象圖到結(jié)構(gòu)圖再回到抽象圖，學(xué)生在經(jīng)歷像數(shù)學(xué)家一樣思考的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)從生活中來(lái)再回到生活中去。問(wèn)題⑧⑨指向具體應(yīng)用，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)進(jìn)一步理解規(guī)律并啟發(fā)學(xué)生從更深層次對(duì)問(wèn)題進(jìn)行追問(wèn)、反思和再創(chuàng)造。這樣的問(wèn)題結(jié)構(gòu)按邏輯搭建之后，便為學(xué)生提供了一個(gè)充滿(mǎn)學(xué)習(xí)意義的有力抓手，讓學(xué)生經(jīng)歷完滿(mǎn)的學(xué)習(xí)過(guò)程成為可能。同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在結(jié)構(gòu)化和邏輯化問(wèn)題的導(dǎo)引下得到有效發(fā)展。

數(shù)學(xué)史料處理“新”。在數(shù)學(xué)文化課堂上，隱性的數(shù)學(xué)史料要成為顯性的教學(xué)內(nèi)容。因此，對(duì)數(shù)學(xué)史料的設(shè)計(jì)處理往往決定一節(jié)課的高度。本節(jié)課教學(xué)中三次出現(xiàn)“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”，第一次直接出示數(shù)學(xué)模型——抽象圖，讓學(xué)生嘗試探索能否一筆畫(huà)，初步感知；第二次先讓學(xué)生用規(guī)律直接判斷抽象圖能否一筆畫(huà)后出示現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，經(jīng)講解后再?lài)L試建立抽象圖和結(jié)構(gòu)圖之間的聯(lián)系；第三次結(jié)合模型和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題讓學(xué)生再創(chuàng)造——怎樣改造成能一筆畫(huà)的圖形，即不重復(fù)不遺漏走完所有的橋。這是一種極為巧妙的創(chuàng)新！“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”的每一次出現(xiàn)都獨(dú)具匠心、別有意味。設(shè)計(jì)上充分把數(shù)學(xué)史料作為課堂教學(xué)主線(xiàn)，用好用透，課程內(nèi)容充滿(mǎn)了文化意蘊(yùn)。

學(xué)生活動(dòng)過(guò)程“新”。由于教師基于具體問(wèn)題科學(xué)地組織教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式就變得靈活有效，學(xué)生的思維體驗(yàn)和情感體驗(yàn)就變得生動(dòng)有趣。在本節(jié)課開(kāi)始階段學(xué)生動(dòng)手嘗試哪些圖形能一筆畫(huà)時(shí)，教師沒(méi)有滿(mǎn)足于學(xué)生的淺嘗輒止，而是充分引導(dǎo)——“能一筆畫(huà)的圖形還可以怎樣畫(huà)？”學(xué)生初步感知能一筆畫(huà)的圖形的不同畫(huà)法。在得到規(guī)律進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，解決“灑水車(chē)不重復(fù)不遺漏灑水”的兩個(gè)具體問(wèn)題后，教師有意留白，給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行思考。果然，學(xué)生恍然大悟，激動(dòng)不已，發(fā)現(xiàn)能一筆畫(huà)圖形的不同畫(huà)法：一種圖形奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0，一種圖形奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2。首尾照應(yīng)，水到渠成，學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)和情感體驗(yàn)都得到了強(qiáng)化。在提煉能一筆畫(huà)圖形的規(guī)律的過(guò)程中，教師很好地引導(dǎo)學(xué)生觀察一組圖形的列表：“認(rèn)真觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生首先發(fā)現(xiàn)可以去掉不能一筆畫(huà)的圖形讓表格更簡(jiǎn)潔直觀，接著又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)偶點(diǎn)的個(gè)數(shù)與能否一筆畫(huà)沒(méi)有直接關(guān)系，可以在表格中去掉“偶點(diǎn)個(gè)數(shù)”一欄。在教師精妙的評(píng)價(jià)中學(xué)生的思維火花完全被點(diǎn)燃，通過(guò)舉反例的方法聚焦奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0或2。在此過(guò)程中，師生、生生的信息交流渠道完全被打通，學(xué)生既能在教師的預(yù)設(shè)下獨(dú)立思考問(wèn)題，不斷地進(jìn)行追問(wèn)和反思，又能在同伴的啟發(fā)下，多角度思考問(wèn)題，完善自己對(duì)問(wèn)題的理解和解決。此時(shí)，學(xué)習(xí)真正發(fā)生！