王 彪 陳 宇* 徐千馳 高世杰 張 岑

①(江蘇科技大學(xué) 鎮(zhèn)江 212002)

②(南京中海達海洋信息技術(shù)有限公司 南京 211800)

1 引言

矢量水聽器可以空間共點同步拾取聲場的聲壓和振速信息，獲得比標(biāo)量水聽器更好的水下探測性能而成為聲吶技術(shù)的一個新的發(fā)展方向[1]。在矢量陣列信號處理領(lǐng)域，目前以多重信號分類[2](MUltiple SIgnal Classificaion, MUSIC)為代表的子空間類方位估計算法在高信噪比條件下可以獲得較高的估計性能，但是由于矢量水聽器聲壓通道與振速通道接收噪聲功率不一致的問題[3]，隨著信噪比的降低，劃分的噪聲子空間與信號子空間不再滿足正交關(guān)系，算法性能急劇下降，此外，MUSIC算法需要大量的快拍采樣保證自相關(guān)矩陣的準(zhǔn)確度，同時子空間的劃分需要先驗信源數(shù)的信息。而隨著人類海洋活動的加劇，海洋噪聲水平上升，以及隨著科技的發(fā)展，潛艇及水面艦艇制造工藝的提升，潛艇及水面艦艇的噪聲級越來越小，如何在低信噪比，少快拍的條件下進行快速的方位估計是聲吶陣列信號處理中急需解決的問題，為了解決該問題，信號稀疏分解重構(gòu)理論被運用到陣列方位估計問題上[4–6]，將稀疏分解理論運用于矢量水聽器陣列方位估計有以下兩個方面的優(yōu)勢：一是基于空間稀疏的矢量水聽器陣列方位估計算法不需要構(gòu)建自相關(guān)矩陣，可以避免通道功率不一致與快拍數(shù)不足帶來的性能下降的問題，同時可實現(xiàn)單快拍方位估計；二是相較于傳統(tǒng)標(biāo)量水聽器均勻線陣，矢量水聽器陣列不存在左右舷模糊問題，所以可以實現(xiàn)全空間無模糊方位定位，即在同等來波數(shù)下，矢量水聽器陣列方位估計稀疏表示模型是更加稀疏的，提高了稀疏信號重構(gòu)的成功率。平滑L0算法通過一組近似L0范數(shù)的平滑函數(shù)將求解L0范數(shù)最小化問題松弛為求解平滑函數(shù)最小化問題，由于平滑函數(shù)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，所以易通過約束優(yōu)化類算法求解，計算量較小，但是在含噪條件下性能較差。文獻[7]提出了正則化平滑L0算法顯著提高了低信噪比條件下的稀疏信號重構(gòu)性能。文獻[8]提出了一種形式更為簡潔、更加接近L0范數(shù)的復(fù)合反比例函數(shù)(Compound Inverse Proportional Function,CIPF)提高算法速度。

2 聲矢量陣列模型與稀疏表示

2.1 聲矢量陣列模型

考慮2維矢量水聽器模型[9]，在遠場條件下，該模型包括一個聲壓通道和兩個振速通道，其中聲壓通道接收聲場中的聲壓信息p，兩個振速通道分別接收聲場中相互正交的兩個振速分量 vx和 vy，假設(shè)聲壓與振速之間系數(shù)為1，在忽略波阻抗的條件下有

2.2 矢量陣列方位估計的稀疏表示

真實信號的方位角度在空間域中是稀疏的，這是矢量陣列方位估計稀疏表示的理論基礎(chǔ)。與標(biāo)量水聽器水平均勻線陣的左右舷模糊問題相比[8]，由于矢量水聽器具有與頻率無關(guān)的指向性，所以可以實現(xiàn)全空間無模糊定位，即矢量陣列方位估計模型在空間域中是更加稀疏的，則利用矢量陣列的稀疏性進行方位估計成功率更高。

基于空間域稀疏表示的條件下，進行L次快拍采樣，矢量陣列方位估計模型可根據(jù)式(3)設(shè)計為

3 基于快速方位估計的改進算法

3.1 平滑L 0算法與改進

針對少快拍，低信噪比條件下矢量水聽器陣列快速方位估計問題進行如下幾個方面的改進。

3.1.1 基于矢量水聽器陣列方位估計的平滑L0算法

平滑L 0算法由于對信號稀疏性的充分描述以及較少的算法運行時間從而適合應(yīng)用于快速DOA估計問題。本文算法通過一個帶參數(shù)的可微的平滑函數(shù)逐步逼近 L0范數(shù)，該函數(shù)一般為高斯函數(shù)簇，其形式為

3.1.2 平滑L0算法初始值加權(quán)方法

平滑L 0算 法在迭代求解之前一般采用最小 L2范數(shù)解作為迭代初始值[10,11]，在信噪比較低的情況下采用該初始值會導(dǎo)致算法收斂性變差，如圖1所示，該圖為信噪比 SNR=5 dB 條件下 L2范數(shù)與L0范 數(shù)的對比，其中圖例為藍色三角的線條為L 0范數(shù)；圖例為綠色圓圈的線條為無噪情況下的 L2范數(shù)，該范數(shù)的值隨著 x絕對值的減小而減小，可反映L 0范數(shù)變化的一般規(guī)律；而圖例為紅色圓點的線條為信噪比為5 dB時的 L2范數(shù)，此時范數(shù)值波動較大，即在存在噪聲的環(huán)境下， L2不能準(zhǔn)確反映L0范數(shù)的特點，從而導(dǎo)致迭代初始值距離稀疏解較遠，則會增加算法的迭代次數(shù)從使得算法速度下降。

為了加快算法收斂速度，可通過加權(quán)的方式對初始值進行修正。對于水下安靜型目標(biāo)的方位估計而言，一般情況下，每次快拍估計的目標(biāo)方位角固定，根據(jù)這一特點可以利用上次方位估計結(jié)果對本次迭代初始值進行修正，用該具有正反饋特性的加權(quán)方式加快目標(biāo)函數(shù)收斂于稀疏解的速度，則根據(jù)上述原理，促稀疏權(quán)重表達式為

圖1 低信噪比情況下 L2范 數(shù)對 L0范數(shù)的近似效果

式中，W′為 上一次迭代的權(quán)重，S′為上一次快拍的方位結(jié)果， λ為正則化參數(shù)，取值范圍為[ 0,1]，該正則化參數(shù)表示對上一個快拍方位估計值的接受程度，一般說來在高信噪比時取較大值，低信噪比時取較小值。

3.2 基于實值轉(zhuǎn)化的矢量陣列信號處理模型

考慮一般情況，陣列的方向矢量和陣列輸出矢量均為復(fù)數(shù)，而文獻[7]在對平滑函數(shù)的特征總結(jié)中指出：平滑函數(shù)應(yīng)為實解析函數(shù)，但并未對平滑函數(shù)是否是更為嚴(yán)格的復(fù)解析函數(shù)進一步說明，附錄A給出了證明。

在后續(xù)平滑L 0算法中涉及方向向量的求逆，根據(jù)非奇異矩陣的性質(zhì)，該擴展后的酉變換矩陣應(yīng)為非奇異矩陣，綜上，以陣元數(shù)M=3為例，附錄B證明了擴展酉變換矩陣的非奇異性。

利用該擴展酉變換矩陣，式(11)可改寫為

4 對于算法的說明

4.1 算法描述

基于第3節(jié)對于平滑 L0算法的改進，本節(jié)將描述基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L0算法步驟，如表1所示。

4.2 算法復(fù)雜度

本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L0算法的計算量主要為兩個方面，一是如式(9)所示的促稀疏權(quán)重向量的建立，該處的計算量為O[2LP]， 二是利用平滑L 0算法重構(gòu)方位估計信號矩陣的稀疏解，假設(shè)平滑函數(shù)采用高斯函數(shù)，該處的計算量為 O[2LPNH]，CIPF函數(shù)作為平滑函數(shù)計算量為高斯函數(shù)的 3/5，采用促稀疏加權(quán)方法對迭代初始值進行修正可以使 σ1減小從而使平均迭代次數(shù)下降為原來的 2/5，綜上所述，本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑 L0算法的復(fù)雜度為O[2LP+12/25×LPNH]， 快速性較原始平滑 L0算法有所提升，具體效果可參考5.5節(jié)內(nèi)容。

5 數(shù)值仿真與分析

為了驗證本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L 0算法的性能進行以下仿真，考慮水量水聽器應(yīng)用于浮標(biāo)探測系統(tǒng)以及矢量的補盲節(jié)點，仿真選擇3個矢量水聽器組成的均勻線陣，陣元間距為半波長，搜索范圍為[ ?180?, 180?]，其余參數(shù)在各個具體仿真中給出。

表1 基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L0算法步驟

5.1 基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L0算法方位估計方式

在信噪比10 dB，來波方向為–50°, 0°, 50°的仿真條件下，本文所提基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L 0算法多快拍方位估計與單快拍方位估計結(jié)果如圖2所示，圖2(a)為多快拍方位估計結(jié)果，主瓣寬度較窄，旁瓣接近于0，估計結(jié)果為–50.3°, 0°,49.5°，由于每次迭代幅值與偏差略有不同，所以結(jié)果稍有波動，但準(zhǔn)確度較高。圖2(b)為單快拍方位估計結(jié)果，主瓣寬度極窄，旁瓣幾乎為0，估計結(jié)果為–48.6°, 1.1°, 50.1°，可以看出單快拍方位估計算法由于受噪聲影響在準(zhǔn)確度方面不及多快拍方位估計，可在高信噪比環(huán)境下使用，可對運動型目標(biāo)進行快速定位。

5.2 少快拍條件下算法性能對比

在快速信號處理的要求下，針對少快拍情況下的矢量陣列方位估計對常規(guī)波束形成，MUSIC,MVDR[13]和本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L 0算法的性能進行比較，設(shè)置信噪比為10 dB，快拍數(shù)為5，來波方向為0°, 90°, 150°，圖3描繪了各個算法的方位估計譜圖，可以看出，在少快拍條件下，由于自相關(guān)矩陣構(gòu)造誤差較大，子空間類算法性能下降較大，常規(guī)波束形成算法正確分辨出了位于0°的來波方向，但是其余兩個方向沒有形成獨立的譜峰，MVDR算法形成了與來波方向數(shù)量一致的譜峰，但是估計誤差較大，MUSIC算法性能相較前兩個算法有所提升，精確估計出了位于0°的來波方向，其余兩個方向形成獨立譜峰，誤差較MVDR小，但是譜峰較寬且幅值明顯低于0°處的譜峰，而本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L0算法在3個來波方向均形成了較為尖銳的譜峰，性能優(yōu)于其余3個算法，本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L 0算法可以應(yīng)用于少快拍條件下矢量陣列方位估計。

5.3 信噪比對算法精度的影響

為了驗證低信噪比條件下本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L 0算法與其他算法的均方根誤差，設(shè)置來波方向為0°，快拍數(shù)為10，由100次Monte Carlo試驗可得如圖4所示結(jié)果，可以看出，本文所提基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L 0算法與正則化平滑 L0算法性能較為相近，在信噪比低于–5 dB時，由于正則化參數(shù)的引入，兩個算法的RMSE明顯低于其他算法，即在低信噪比條件下，本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L 0算法優(yōu)于傳統(tǒng)方位估計算法，當(dāng)信噪比高于0后，傳統(tǒng)方位估計算法RMSE下降較快，性能略優(yōu)于稀疏分解類方位估計算法。

5.4 來波個數(shù)對算法成功率的影響

圖2 兩種快拍方位估計結(jié)果

圖3 少快拍條件下各算法方位估計譜圖

圖4 方位估計均方根誤差與信噪比關(guān)系圖

對于稀疏分解類算法，進行如下定義：如果信號X只是由N個基中K個基向量的線性組合，則稱信號X是K階稀疏的。一般說來，越稀疏的信號越容易恢復(fù)重構(gòu)，信號的稀疏度直接影響信號恢復(fù)的成功率。由于矢量水聽器振速通道的引入，在同等水聽器數(shù)量組成的陣列中，傳統(tǒng)矢量陣列方位估計算法能夠分辨的來波個數(shù)為標(biāo)量陣列的兩倍，在多數(shù)的條件下，稀疏分解類算法性能會無法避免地下降；而對于傳統(tǒng)的子空間類算法，在噪聲的條件下，來波個數(shù)的增加會給信號子空間和噪聲子空間的劃分帶來壓力，性能也會下降。為了驗證來波來波個數(shù)對不同算法成功率的影響，設(shè)置信噪比為10 dB，快拍數(shù)為10，設(shè)置來波方向為–150°, –100°,–50°, 0°, 100°, 150°，逐漸減少來波個數(shù)，每次進行100次Monte Carlo試驗，最終結(jié)果如圖5所示，可以看出，在多來波個數(shù)情況下，稀疏分解類算法成功率明顯高于MUSIC算法，并且隨著來波個數(shù)的減少成功率逐漸逼近100%。

5.5 各算法計算時間比較

為了驗證本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑 L0算法對于方位估計快速性的改善情況，將不同的算法參數(shù)設(shè)置相同，在信噪比為10 dB，快拍數(shù)為10，來波數(shù)為3個的環(huán)境下分別獨立運行100次，求取平均時間，具體結(jié)果如表2所示，結(jié)果與算法復(fù)雜度的理論分析基本吻合，其中平滑 L0與正則化平滑 L0運行時間基本一致，在采用促稀疏權(quán)值改善迭代初始值之后，算法運行時間大幅下降，最終采用CIPF函數(shù)作為平滑函數(shù)的本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L 0算法運行時間僅為正則化平滑L 0算法運行時間的54%。

6 結(jié)束語

圖5 來波個數(shù)與算法成功率關(guān)系圖

表2 不同算法運行時間比較

本文以矢量水聽器陣列方位估計為應(yīng)用背景，針對低信噪比少快拍的水聲環(huán)境下快速方位估計問題與傳統(tǒng)子空間類算法在應(yīng)用于矢量陣列出現(xiàn)的問題，結(jié)合矢量陣列自身的特點尋求利用稀疏分解理論進行解決的思路，并通過實值轉(zhuǎn)換技術(shù)成功應(yīng)用稀疏分解理論中的平滑L 0算法，引入正則化參數(shù)優(yōu)化低信噪比條件下的方位估計性能；并通過尋找更加快速的平滑函數(shù)和提出促稀疏加權(quán)方法進一步提升平滑L 0算法的運行速度，最終通過仿真驗證，證實了少快拍、低信噪比條件下，稀疏分解類算法在矢量陣列方位估計中相較于其他算法擁有不錯的性能，本文所提基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑 L0算法在保證性能的情況下可以有效地減少平滑 L0算法的運行時間，但是，在高信噪比條件下，傳統(tǒng)子空間類算法方位估計均方根誤差小于本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑L 0算法，如何進一步提升本文提出的基于實值轉(zhuǎn)換的促稀疏加權(quán)平滑 L0算法的估計精度是筆者下一步的工作重心。

附錄

附錄A

命題：平滑函數(shù)不是復(fù)解析函數(shù)。

證畢

附錄B

命題：擴展酉變換矩陣的非奇異性。