張 潔

(云南民族大學 數(shù)學與計算機科學學院，云南 昆明 650500)

1935年，Landau等[1]首提描述連續(xù)統(tǒng)鐵磁體自旋磁場演化的Landau-Lifshitz方程(簡稱LL方程)：

其中 ，λ1，λ2(>0)是常數(shù).多年以來，既具有外加磁場又具有各向異性場的多維LL方程整體光滑解的存在性仍是重大的公開性問題.當外加磁場和各向異性場情形同時出現(xiàn)時，LL方程求解會面臨一定的困難，許多研究者僅對外加磁場或各向異性場缺一情形進行研究.2000 — 2001年，Guo等[2-3]構造了n≥2維LL方程的一些顯示柱對稱解.2001年，Guo等針對2維柱對稱情形構造了不存在外加磁場和各向異性場的LL方程的一族精確整體光滑圓盤解[4].2003年，Yang等[5]獲得了存在和不存在外加磁場之間的一個精確顯示解變換，利用此變換，可以構造出具有外加磁場的精確光滑柱對稱解，類似地，此變換也適用于僅具有各向異性場的情形.然而直到2009年，Yang[6]才考慮了存在脈沖型外加磁場和各向異性場的多維LL方程，并給出了2維情形的顯示柱對稱解.Mu等[7]研究了在保持與文獻[4]相同解的情形下如何反求出外加磁場和各向異性場問題.2011年，楊干山等[8]給出了一種求解存在外磁場和各向異性場的LL方程的新方法，并構造了LL方程的一族球面錐對稱解.本文主要研究的方程GLL是LL方程的一種典型形式.

1 具有多向效應場的二維柱對稱Landau-Lifshitz方程

首先，引入含Gilbert項的具有多向效應場的Landau-Lifshitz方程

其中各向異性場H(u)=(2αu1,2αu2,2βu3)；外磁場H=(h1,h2,h3)；γ是非負參數(shù)；λ是正參數(shù)；邊界條件g=(g1,g2,g3)∈C2,α(?Ω;R3)∩(?Ω;S2)；Ω?R2和常數(shù)α∈(0,1).

其次，將方程GLL整理化簡，可得

(1.1)

(1.2)

利用鏈式法則，柱坐標形式的拉普拉斯算子寫成：

若考慮方程(1.1)的解僅與角度θ有關，則

(1.3)

根據(jù)方程(1.1)和(1.2)-(1.3)式，可得

(1.4)

(1.5)

其中B=h1ur+h2uθ+h3uz;

(1.6)

其中C=2α(1-(uz)2)+2β(uz)2;

(1.7)

(1.8)

和

(1.9)

將(1.3)～(1.9)式代入方程(1.1)，并整理化簡為含Gilbert項的具有多向效應場的二維柱對稱Landau-Lifshitz方程組

2 證明定理3.1所需的基本不等式和嵌入定理

(2.1)

(2.2)

和

(2.3)

(2.4)

C=C(ε,j,k,Ω)，有下面不等式：

(2.5)

5) (Cauchy不等式[11])設對任意的a,b∈R，則有下面的不等式：

(2.6)

Ω?Rn，則有下面不等式：

(2.7)

其中當n=2時，ωn表示單位圓面積；當n=3時，ωn表示單位球體積.

(2.8)

8) (H?lder空間上的Sobolev嵌入定理[11])設對任意1≤p<∞和有界開子集Ω?Rn，

(2.9)

3 具有多向效應場的二維柱對稱HLZ方程靜態(tài)解的存在性

定理3.1的詳細證明過程可由下面的這些引理提供：

設二維柱對稱方程HLZ存在一個靜態(tài)光滑解，如下所示：

(3.1)

由于邊界條件g=(g1,g2,g3)∈C2,α(?Ω;S2)∩(?Ω;{uz=0})，因此在?Ω上

將(3.1)式代入二維柱對稱方程HLZ，通過直接計算和比較向量的各分量，得到下面2個方程：

(3.2)

和

(3.3)

(3.4)

和

(3.5)

(3.6)

和

(3.7)

證明將方程(3.6)重新改寫成橢圓型方程:

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

其中

(3.14)

(3.15)

(3.16)

2)再次考慮方程(3.7)，將其重新寫成如下形式：

(3.17)

(3.18)

C3≥max{C1,C2}，使得

(3.10)式證明完畢.

3)為證明(3.11)式，再次考慮方程(3.7)，使其等價于下面方程:

(3.19)

(3.20)

C6≥max{C4,C5}，使得

利用插值不等式(2.4)式，存在C7，使得

從而，存在C8，使得

(3.11)式證明完畢.

4)利用插值不等式(2.5)式，并結合(3.10)～(3.11)式，則(3.12)式成立.引理3.7證明完畢.

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

如果μ>max{μ1,μ2}，那么有估計

再次利用引理3.7，存在μ3≥max{μ1,μ2}，使得對于一切μ>μ3，有

第3步 由方程(3.6)和方程(3.22)，可得

(3.25)

第6步 類似于引理2.3.7證明過程中的第3步，從方程(3.25)可知，我們有估計

(3.26)

引理3.8證明完畢.

(3.27)

接著，考慮方程(3.6)，將其重新改寫成如下形式：

(3.28)