李開(kāi)勇, 趙 波, 王翼鵬, 王梓羽

(四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 教育部空天動(dòng)力燃燒與冷卻工程研究中心， 成都 610065)

1 引 言

航空航天等技術(shù)的迅猛發(fā)展對(duì)飛行器表面和發(fā)動(dòng)機(jī)壁面的高效熱防護(hù)性能提出更苛刻的要求，例如火箭發(fā)動(dòng)機(jī)壁面和高速飛行器表面的發(fā)散冷卻和航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片的氣膜冷卻技術(shù)一直受到廣泛關(guān)注[1-5]. 此外，質(zhì)子交換膜燃料電池在燃料輸運(yùn)過(guò)程中需經(jīng)過(guò)具有多孔壁面的雙極板通道并經(jīng)擴(kuò)散層到達(dá)膜電極處進(jìn)行化學(xué)反應(yīng)發(fā)電. 上述應(yīng)用均可歸結(jié)為壁面具有吹吸速度的外掠平板邊界層流動(dòng)問(wèn)題[6]. 本文主要限于多孔壁面的湍流速度邊界層理論研究. 目前，外掠多孔平板層流邊界層的理論研究相對(duì)較多，且多采用積分法或通過(guò)相似變換對(duì)動(dòng)量和能量微分方程進(jìn)行求解：Thomas等[7-8]采用多項(xiàng)式描述速度和溫度分布，利用積分法獲得了多孔壁面層流邊界層的速度和溫度場(chǎng)；Afzal[9]利用冪函數(shù)代表速度并通過(guò)積分法和變量替換，將Falkner-Skan控制方程轉(zhuǎn)換成常微分方程以得到速度場(chǎng)分布；Watanabe等[10]通過(guò)引入新變量，將控制方程簡(jiǎn)化為耦合非線(xiàn)性微分方程求得具有滲透表面圓盤(pán)的速度和溫度場(chǎng). 由于湍流機(jī)理的復(fù)雜性[11-15]，湍流邊界層動(dòng)量和熱量傳遞的試驗(yàn)研究常常先行于理論[16-19]，此外還采用數(shù)值仿真的方法[20-22]，目前驗(yàn)證湍流理論模型的基準(zhǔn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)多來(lái)自Kays院士及其合作者[23].

當(dāng)前，外掠平板湍流邊界層的理論研究多采用量綱分析的比擬法、漸近分析方法和積分方法建立雷諾時(shí)均動(dòng)量方程(RANS)和能量方程[24-28]，其中湍流運(yùn)動(dòng)粘度和湍流熱擴(kuò)散率的確定主要遵循普朗特混合長(zhǎng)度理論. Vigdorovich[25-26]針對(duì)外掠可滲透壁面湍流速度邊界層問(wèn)題，采用漸近分析和無(wú)量綱比擬的方法建立了雷諾時(shí)均N-S方程，但需以相同條件下的非滲壁面速度分布作為已知條件. Khademi等[27-28]將湍流速度和溫度邊界層劃分為層流底層和湍流核心區(qū)，兩個(gè)區(qū)域均采用多項(xiàng)式代表速度或溫度分布，最后采用積分方法獲得湍流邊界層的速度和溫度場(chǎng)分布，但他們的研究只限于非滲透壁面情況. 本文將在課題組前期非滲透壁面研究基礎(chǔ)上[29]，集中討論具有吹吸速度的可滲透表面湍流速度邊界層的分布，擬分別采用三次多項(xiàng)式和1/5次冪函數(shù)代表層流底層和湍流核心區(qū)的速度分布，利用積分方法建立湍流邊界層動(dòng)量方程，最終獲得速度場(chǎng)的解析解. 該方法與現(xiàn)有試驗(yàn)結(jié)果及經(jīng)驗(yàn)公式符合得較好，而且具有形式簡(jiǎn)潔和求解時(shí)收斂迅速等優(yōu)點(diǎn).

2 理論模型

2.1 利用積分方法建立動(dòng)量方程

如圖1，將外掠多孔平板湍流速度邊界層劃分為層流底層和湍流核心區(qū)[27-28]，u∞為主流區(qū)恒定流速，υs為垂直滲透壁面、均勻分布且不變的吹入或吸出速度，δ1和δ分別為湍流速度邊界層的層流底層厚度和總厚度(即層流底層加湍流核心區(qū)的厚度). 假設(shè)：流體不可壓縮且物性參數(shù)均為常數(shù)；湍流流動(dòng)是定常的，即流場(chǎng)各位置的時(shí)均速度不隨時(shí)間變化；主流區(qū)速度和壁溫為常數(shù)；不考慮轉(zhuǎn)捩區(qū)，認(rèn)為湍流從層流末端開(kāi)始，該臨界位置(x=0)處湍流速度邊界層總厚度δ等于該位置層流速度邊界層的厚度δ*，而層流底層厚度δ0極薄，參考Khademi[27-28]假設(shè)，這里視δ0為一個(gè)無(wú)限接近零的正數(shù)，文獻(xiàn)[29]中對(duì)非滲透表面的研究中已表明這種處理能夠保證理論模型的預(yù)測(cè)精度，取臨界雷諾數(shù)Re=5×105[27-28]，如圖1.

湍流邊界層的雷諾時(shí)均動(dòng)量方程為[23]

(1)

圖1 外掠可滲透平板湍流速度邊界層示意圖

圖2給出湍流流動(dòng)控制體積示意，區(qū)域1-2-3-4為層流底層，3-4-5-6為湍流核心區(qū)，l為流體厚度，dx為x向微元. 因dx極小，認(rèn)為湍流邊界層的層流底層厚度δ1在dx內(nèi)沿x向不變. 根據(jù)動(dòng)量守恒定理，采用與層流邊界層類(lèi)似的積分方法[23]，最后獲得多孔平板的湍流動(dòng)量積分方程為

(2)

式中μ為流體的動(dòng)力粘度，u1和u2分別為層流底層和湍流核心區(qū)的速度，uL為層流底層外緣處速度. 此外，相應(yīng)邊界條件為：

u1|y=0=0,u1|y=δ1=u2|y=δ1,

圖2 外掠可滲透平板湍流控制體積示意圖

2.2 速度分布函數(shù)

認(rèn)為外掠多孔壁面湍流邊界層的速度具有相似的速度分布，在非滲透壁面的研究基礎(chǔ)上，采用三次多項(xiàng)式和1/5次冪函數(shù)分別代表層流底層和湍流核心區(qū)的速度分布[29]，即

(3)

由上述邊界條件確定式(3)的待定系數(shù)為

a1=0，

a5=u∞δ-1/5.

這里，定義壁面吹吸雷諾數(shù)Res=υsδ1/v=Fu∞δ1/ν，F(xiàn)為吹風(fēng)比. 代回速度分布函數(shù)式(3)，則可滲透表面平板湍流邊界層的速度表達(dá)式如下

(4)

2.3 積分方程組求解

3 結(jié)果討論

3.1 湍流速度場(chǎng)的理論分布

圖3和圖4分別給出具有噴注(吹入)和吸出速度的外掠平板湍流邊界層速度分布情況，圖中 “IDENT”指1968年斯坦福大學(xué) AFOSR 大會(huì)所采用的那套實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文解析解分別與Whiten試驗(yàn)和Blackwell的試驗(yàn)結(jié)果[23]進(jìn)行了對(duì)比，其中吹風(fēng)比F=υs/u∞，F(xiàn)>0代表噴注，F(xiàn)<0為吸出. 由圖可見(jiàn)，在層流底層理論解與試驗(yàn)值符合得較好，而在湍流核心區(qū)雖存在一定偏差，但大體趨勢(shì)是符合的，最大相對(duì)誤差6%. 理論和試驗(yàn)結(jié)果存在一定偏差的主要原因是：就作者所知，以往外掠多孔壁面湍流試驗(yàn)中，與本文常自由速度和常壁溫條件完全相同的試驗(yàn)尚未發(fā)現(xiàn)，在文獻(xiàn)[23]收集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，Whiten的試驗(yàn)條件(IDENT 62067)是零壓力梯度加變化的壁溫，即混合邊界條件，這與本文前面的常自由速度和常壁溫假設(shè)不完全一致；而B(niǎo)lackwell的試驗(yàn)條件(IDENT 122371)是常壁溫和逆壓力梯度(即u∞隨x是減小的)，也與本文理論模型的假設(shè)有所差別. 求解理論模型時(shí)由于可滲透壁面湍流模型的復(fù)雜性，需用數(shù)值方法聯(lián)立求解動(dòng)量和能量積分方程組，求解結(jié)果與常壁溫條件相關(guān). 關(guān)于外掠多孔平板湍流溫度邊界層和三維熱對(duì)流密度函數(shù)的理論模型，將另文報(bào)道.

圖3 本文速度解析解與Whitten試驗(yàn)結(jié)果比較

圖4 本文速度解析解與Blackwell試驗(yàn)結(jié)果比較

圖5給出吹風(fēng)比F變化時(shí)主流方向速度u的分布規(guī)律. 注意到在流體厚度y保持不變時(shí)，隨著吹風(fēng)比F的增加，x方向的流體速度隨之增大. 由圖可見(jiàn)，與沒(méi)有壁面吹吸速度(F=0)時(shí)相比，當(dāng)通過(guò)壁面吸出流體(F<0)時(shí)，速度邊界層δ會(huì)變薄，而流體吹入(F>0)時(shí)δ相應(yīng)變厚，吹入速度υs增大到一定數(shù)值會(huì)最終導(dǎo)致邊界層分離，這些與Schlichting等人[12]以及Kays等人[23]試驗(yàn)結(jié)論一致.

3.2 摩擦系數(shù)的理論預(yù)測(cè)

圖5 吹風(fēng)比F變化時(shí)速度場(chǎng)的理論分布

圖6 理論解確定的摩擦系數(shù)與Kays經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)比

4 結(jié) 論

本文主要研究具有吹吸速度壁面外掠平板湍流邊界層速度場(chǎng)問(wèn)題，利用積分方法建立了湍流動(dòng)量方程，并獲得湍流速度場(chǎng)和壁面摩擦系數(shù)的理論分布. 首先將湍流邊界層劃分為層流底層和湍流核心區(qū)兩部分，然后分別采用三次多項(xiàng)式和1/5次冪函數(shù)對(duì)速度分布進(jìn)行描述，隨后用積分法建立了動(dòng)量積分方程，最后用四階龍格-庫(kù)塔算法求解得到湍流速度場(chǎng)的解析解，同時(shí)獲得壁面處的摩擦系數(shù). 邊界層速度理論解分別與Whitten和Blackwell的試驗(yàn)結(jié)果以及Kays的多孔壁面湍流經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)比表明，最大相對(duì)誤差為6%，摩擦系數(shù)與Kays經(jīng)驗(yàn)公式的最大相對(duì)誤差為4.9%. 這些工作為后續(xù)發(fā)散冷卻壁面條件下湍流溫度場(chǎng)和對(duì)流傳熱特性的理論研究奠定了較好基礎(chǔ).