張偵英，錢云鵬，涂宏茂，2，劉 勤，2

(1.中國兵器科學研究院， 北京 100089；2.東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

電動舵機廣泛應(yīng)用于火箭、導彈、魚雷等武器系統(tǒng)中[1-3]，通過驅(qū)動舵片偏轉(zhuǎn)控制彈藥的姿態(tài)與航向。舵機性能的好壞直接決定著制導彈藥飛行過程的動態(tài)品質(zhì)。從電動舵機研制過程中的故障模式看，除機械零部件、電子元器件的失效外，很多是由于控制系統(tǒng)輸入電壓、控制信號、控制參數(shù)等參數(shù)漂移而導致的動作不到位、頻響緩慢、超調(diào)等性能故障[4]。結(jié)合在研的某型電動舵機，考慮主要控制參數(shù)的隨機性，利用MATLAB SIMULINK和MSC.ADAMS軟件建立了控制系統(tǒng)的動力學仿真模型，通過擬合運動精度、超調(diào)量、上升時間等性能參數(shù)與控制參數(shù)的響應(yīng)面模型進行了可靠性分析；然后以運動精度誤差最小為目標，考慮多個性能可靠度約束建立優(yōu)化模型，運用概率功能度量法將可靠度約束近似轉(zhuǎn)換為線性約束，并利用序列二次規(guī)劃算法實現(xiàn)可靠性優(yōu)化模型的求解，得到了優(yōu)化的控制參數(shù)設(shè)計方案。與常規(guī)優(yōu)化結(jié)果對比表明，基于該設(shè)計方案的電動舵機具有更好地性能和可靠性。

1 電動舵機控制系統(tǒng)動力學仿真模型

電動舵機的工作原理如圖1所示，由控制器、電機、減速器、反饋電位計等構(gòu)成。控制器接收彈上計算機給定的舵機偏轉(zhuǎn)角度指令，與舵片實際偏轉(zhuǎn)角進行比較，得到角度偏差，經(jīng)由控制算法處理生成控制信號，然后進行功率放大驅(qū)動電機運轉(zhuǎn)，經(jīng)減速器減速后帶動舵片向指令位置偏轉(zhuǎn)。舵片偏轉(zhuǎn)的角度利用反饋電位計反饋給舵機控制器以構(gòu)成閉環(huán)控制。為了滿足這樣的要求，控制器需要計算出轉(zhuǎn)角對應(yīng)的電機輸入電壓，并將這個電壓以PWM波的形式輸出。

圖1 電動舵機工作原理框圖

為提高控制精度，采用了PID控制策略。比例系數(shù)Kp用于實時成比例的反映控制系統(tǒng)的偏差信號，偏差一旦產(chǎn)生，控制系統(tǒng)立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。積分系數(shù)Ki主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的誤差度。微分系數(shù)Kd反映偏差信號的變化趨勢，并能在偏差信號值變的更大之前，在系統(tǒng)中引入一個早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減少調(diào)節(jié)時間。

根據(jù)電動舵機的原理，利用MATLAB SIMULINK分別對控制器、直流電動機、反饋電位計建立數(shù)學模型，利用MSC.ADAMS建立減速器的機構(gòu)運動學模型(見圖2)，通過MATLAB與MSC.ADAMS的接口將機構(gòu)運動學模型導入MATLAB，構(gòu)建動力學仿真模型如圖3所示，可仿真計算穩(wěn)態(tài)值、超調(diào)量、上升時間和調(diào)整時間。

圖2 減速器的機構(gòu)運動學模型示意圖

圖3 電動舵機控制系統(tǒng)動力學仿真模型框圖

電動舵機的傳遞系數(shù)為2(°)/V，即1 V輸入信號下理論轉(zhuǎn)角為2°。初始設(shè)計方案的比例系數(shù)Kp=4.15，積分系數(shù)Ki=2，微分系數(shù)Kd=0.8，gain6為反饋電位計，gain6=0.44，gain1為增益系數(shù)，gain1=0.882。adams_sub為減速器MSC.ADAMS機構(gòu)運動模型導入到MATLAB中的調(diào)用接口。driv(s)為用電機電路總電感d1和總電阻d2表征的傳遞函數(shù)。

圖4為1 V階躍輸入信號下電動舵機的響應(yīng)曲線。可以看出，盡管穩(wěn)態(tài)值滿足要求，但初始方案的上升時間和調(diào)整時間過長，導致舵機不滿足快速性要求，需進一步優(yōu)化控制系統(tǒng)的控制參數(shù)。

圖4 1 V信號下舵機的響應(yīng)曲線

2 可靠性分析

該型電動舵機的主要性能指標為運動精度±(0.2+4%δ)，δ為理論轉(zhuǎn)角；動態(tài)上升時間小于35ms；超調(diào)量小于5%；調(diào)整時間小于300 ms。

考慮主要控制參數(shù)的隨機性(表1)，分別以運動精度誤差、超調(diào)量、上升時間、調(diào)整時間大于指標要求作為失效判據(jù)，建立極限狀態(tài)函數(shù)如下：

Z1=δ-|2-f|

(1)

Z2=0.05-fp

(2)

Z3=0.035-tp

(3)

Z4=0.3-ta

(4)

式中：f、fp、tp、ta分別為利用前述的動力學仿真模型計算的穩(wěn)態(tài)值、超調(diào)量、上升時間和調(diào)整時間。

表1 可靠性分析考慮的主要隨機參數(shù)

利用一次可靠度法進行可靠度計算時，常需要進行多次迭代計算[5]，直接調(diào)用動力學仿真模型進行計算一方面計算量較大[6]，另一方面由于數(shù)值計算誤差會影響可靠性分析與優(yōu)化算法的應(yīng)用。因此選用均勻試驗設(shè)計方法多次調(diào)用動力學仿真模型計算，然后擬合性能參數(shù)與隨機參數(shù)的響應(yīng)面模型[7]，基于該響應(yīng)面模型計算可靠度。其中均勻試驗設(shè)計的試驗次數(shù)選擇216次，各次仿真結(jié)果見圖5，響應(yīng)面模型選擇包含交叉項的2階多項式，分別如圖6所示。響應(yīng)面模型擬合的精度可以采用復相關(guān)系數(shù)R2進行檢驗：

(5)

圖5 各次均勻試驗設(shè)計的性能仿真結(jié)果

圖6 主要性能參數(shù)的響應(yīng)面

基于擬合的響應(yīng)面模型和式(1)～式(4)，利用一次可靠度法進行可靠度計算，得到了初始設(shè)計方案情況下各性能參數(shù)滿足要求的可靠度(見表2)?？梢钥闯觯\動精度滿足要求的可靠度較高外，超調(diào)量滿足要求的可靠度較低，而上升時間、調(diào)整時間無法滿足指標要求。

表2 可靠度分析結(jié)果

可靠性靈敏度主要通過計算重要性靈敏度和參數(shù)靈敏度，確定各隨機變量及其參數(shù)的重要程度[8]。其中，重要性靈敏度的計算表達式如下：

(6)

式中：β為可靠度指數(shù)，滿足R=Φ(β)；y為x的等效標準正態(tài)隨機變量向量，一般通過構(gòu)造Nataf分布，并進行相應(yīng)變換得到[9]；L為y的相關(guān)系數(shù)矩陣經(jīng)過Choleskey分解得到的下三角矩陣；μ是與y相對應(yīng)的獨立標準正態(tài)隨機變量向量，滿足μ=L-1y。

參數(shù)靈敏度的計算表達如下：

(7)

式中：θ為隨機變量x對應(yīng)的均值或標準差向量；T(x)為μ與x的變換函數(shù)；σ=[σij]n×n，當i=j時，σij為第i個隨機變量的標準差，當i≠j時，σij=0。

1) 穩(wěn)態(tài)可靠性的參數(shù)靈敏度結(jié)果

從圖7可以看出，影響穩(wěn)態(tài)可靠性的主要參數(shù)為gain1、gain6，這與試驗設(shè)計相關(guān)性分析的結(jié)果是一致的。

圖7 穩(wěn)態(tài)可靠性的參數(shù)靈敏度

2) 超調(diào)量可靠性的靈敏度結(jié)果

從圖8可以看出，在PID控制策略下，Kp和Ki對超調(diào)量的可靠性影響比較大，為超調(diào)量可靠性的主要影響因素，提高Kp比例系數(shù)，降低微分系數(shù)Ki可以提高超調(diào)量可靠度。Kp對穩(wěn)態(tài)可靠度、超調(diào)量的影響如圖9所示，超調(diào)量隨著Kp的增大而變大。其他輸入變量對超調(diào)量可靠性的影響較小。超調(diào)量可靠度的總體水平偏低。

圖8 超調(diào)量可靠度的參數(shù)靈敏度

圖9 Kp與穩(wěn)態(tài)值、超調(diào)量的關(guān)系曲線

3) 上升時間可靠性的靈敏度結(jié)果

從圖10可以看出，提高比例系數(shù)Kp，降低微分系數(shù)Kd可以提高上升時間可靠度。上升時間顯然不滿足設(shè)計要求。

圖10 上升時間可靠度的參數(shù)靈敏度

4) 調(diào)整時間可靠性的靈敏度結(jié)果

從圖11可以看出，提高比例系數(shù)Kp，降低微分系數(shù)Kd可以提高調(diào)整時間可靠度。調(diào)整時間可靠度顯然不滿足設(shè)計要求。

圖11 調(diào)整時間可靠度的參數(shù)靈敏度

3 可靠性優(yōu)化

初始設(shè)計方案的可靠性顯然不滿足指標要求，因此以Kp、Ki、Kd、gain1、gain6為設(shè)計變量，以運動精度誤差最小為目標，并設(shè)定穩(wěn)態(tài)可靠性、超調(diào)量、上升時間、調(diào)整時間的性能可靠度約束大于0.999，建立可靠性優(yōu)化模型

(8)

在上述的可靠性優(yōu)化模型中，用多個可靠度約束函數(shù)R的概率大于或等于期望可靠度來表征設(shè)計是否可行，可靠度約束函數(shù)本質(zhì)上是設(shè)計變量、隨機變量的隱式復合函數(shù)，無法直接利用現(xiàn)有的優(yōu)化算法求解，一般情況下，考慮一個響應(yīng)Y(d，X)和最大容許的響應(yīng)水平b常用功能函數(shù)來表示，定義為

G(d，X)=b-Y(d，X)

(9)

顯然，為了考慮所有發(fā)生不可接受行為的可能需建立多個功能函數(shù)。這里需要強調(diào)下，功能函數(shù)等于0構(gòu)成的曲面通常稱為極限狀態(tài)曲面。

功能函數(shù)G(d，X)>0的概率，即可靠度可以用式(10)來表示。

(10)

式中，hX(x)是X的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

通常情況下直接計算式(10)很困難甚至不可行，一個常用的方法是采用蒙特卡羅仿真。但是當可靠度很高時(例如接近1時)，蒙特卡羅仿真的計算量很大。在可靠性領(lǐng)域，廣泛采用Hasofer、Lind、Rackwitz等提出的一次可靠度法(First Order Reliability Method，F(xiàn)ORM)來計算式(10)。

由于優(yōu)化過程中需要反復進行可靠度約束評估以檢查設(shè)計點是否可行，所以可靠度約束的處理方式是可靠性優(yōu)化求解的關(guān)鍵問題，會影響優(yōu)化效率、精度和穩(wěn)定性。目前常用的可靠性優(yōu)化方法都是采用轉(zhuǎn)換的策略，迭代過程中按照一定的方式將可靠度約束轉(zhuǎn)換為不包含隨機變量的確定性約束，從而將概率約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為常規(guī)確定優(yōu)化問題，再利用常規(guī)的優(yōu)化算法如序列二次規(guī)劃法實現(xiàn)問題的求解。

目前在可靠性優(yōu)化過程中比較常用的可靠度約束的處理方式主要有可靠度指標法(Reliability Index Approach，RIA)和功能度量法(Performance Measure Approach，PMA)[11-13]。

可靠度指標法本質(zhì)上是將可靠度約束轉(zhuǎn)化為了一個不包含隨機變量的近似的確定性線性約束。如果問題具有多個可靠度約束，則對每個可靠度約束都采用相同的近似處理辦法，分別構(gòu)造各自的線性近似，最終建立原問題的序列近似規(guī)劃模型[14]

(11)

可靠度指標法可以直接將可靠度算法和常規(guī)的優(yōu)化軟件結(jié)合起來，但由于每次外層優(yōu)化都需要進行完整的可靠度分析，總體的數(shù)值效率較低。當采用基于梯度的優(yōu)化算法時，需要高效的計算可靠度指標關(guān)于設(shè)計變量的偏導數(shù)[15]。

功能度量法是借助所謂的逆可靠度方法來表征可靠度約束的方法，其原理基于如果當概率功能度量gi(d，u*)=0時，則功能函數(shù)的實際可靠度指標恰好等于逆可靠度分析給定的可靠度指標βtol，因此優(yōu)化過程中可以根據(jù)gi(d，u*)是否大于0來評定是否滿足可靠度指標要求。這樣，式(8)可以表示為：

minf(d)

s.t.g(d，u*)>0

(12)

式中u*是通過逆可靠度分析確定的逆可靠度最可能失效點(Most Probable Point，MPP)，可以通過求解如下的優(yōu)化問題獲得：

ming(d，u)

s.t. ||u||=βtol

(13)

式(13)通常采用改進均值法[12]迭代格式計算，如式(14)所示。

(14)

迭代初值可取標準正態(tài)空間的原點，當u*=uk+1小于容許誤差ε時，即可求得u*=uk+1。

將功能函數(shù)在當前設(shè)計點dk泰勒展開，得到

(15)

這樣通過逆可靠度分析，本質(zhì)上是將可靠度約束轉(zhuǎn)化為了一個不包含隨機變量的近似的確定性線性約束。如果問題具有多個可靠度約束，則對每個可靠度約束都采用相同的近似處理辦法，分別構(gòu)造各自的線性近似，最終建立原問題的序列近似規(guī)劃模型

k=1，2，…

minf(d)

s.t.gi(dk，u*)+▽dgi(dk，u*)T(d-dk)≥0

(i=1，…，n)

(16)

已有的研究表明PMA比RIA更加穩(wěn)定，這是由于求解式(13)時已知可靠度指標。更進一步研究表明，與RIA相比，PMA法更適于處理不起作用的概率約束問題。已有學者提出了不同的逆可靠度方法來求解可靠性優(yōu)化問題[16-21]。因此采用概率功能度量法，在優(yōu)化過程中將可靠度約束轉(zhuǎn)換為不包含隨機變量的確定性約束，再利用序列二次規(guī)劃算法求解，主要算法流程如圖12所示。

圖12 可靠性優(yōu)化算法流程框圖

為作為對比，不考慮參數(shù)隨機性建立了常規(guī)優(yōu)化模型(式(17))，也進行了優(yōu)化，最終得到的可靠性優(yōu)化和常規(guī)優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 可靠性優(yōu)化結(jié)果

(17)

可以看出，常規(guī)優(yōu)化和可靠性優(yōu)化均有效減小了運動精度誤差。可靠性優(yōu)化結(jié)果均滿足設(shè)定的可靠度大于0.999的要求，而常規(guī)優(yōu)化由于無法直接在模型中考慮可靠性要求，導致運動精度可靠度略低。圖13為可靠性優(yōu)化后，其他變量用優(yōu)化后的結(jié)果，Kp變動時對穩(wěn)態(tài)可靠度、超調(diào)量的影響，可以看出，Kp對穩(wěn)態(tài)可靠度的影響很小，對超調(diào)量的影響比較大，Kp過大時會導致超調(diào)量過大。圖14為利用優(yōu)化結(jié)果重新進行的仿真分析，可以看出，與初始設(shè)計方案、常規(guī)優(yōu)化方案相比，可靠性優(yōu)化確定的電動舵機控制參數(shù)設(shè)計方案具有更好的性能和可靠性。

圖13 優(yōu)化后Kp與穩(wěn)態(tài)值、超調(diào)量的關(guān)系曲線

圖14 優(yōu)化后1 V信號下舵機的響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

本文結(jié)合在研的某型電動舵機，針對動作不到位、頻響緩慢、超調(diào)等整機性能故障，利用MATLAB SIMULINK和MSC.ADAMS軟件建立了控制系統(tǒng)的動力學仿真模型，利用仿真軟件提供的數(shù)據(jù)接口，基于可靠性分析軟件建立了參數(shù)化的電動舵機控制系統(tǒng)的可靠性仿真模型，一方面通過參數(shù)化的數(shù)據(jù)接口實現(xiàn)了電動舵機控制參數(shù)的隨機性分析，另一方面實現(xiàn)了參數(shù)化的電動舵機控制系統(tǒng)可靠性仿真，并進行了超調(diào)量、上升時間等性能可靠性分析；在此基礎(chǔ)上，將上述分析的4個性能可靠度作為約束，以運動精度誤差最小為目標建立了電動舵機控制系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化模型，并通過選擇合適的優(yōu)化算法求解，得到了優(yōu)化的控制參數(shù)設(shè)計方案。與常規(guī)優(yōu)化結(jié)果對比表明，基于該設(shè)計方案的電動舵機具有更好地性能和可靠性，能夠為設(shè)計電動舵機控制系統(tǒng)提供有效的設(shè)計依據(jù)。