趙雅蓉，鮮 浩，牛興龍，林 都，李大威

(中北大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 太原 030051)

非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器不僅具有X型四旋翼飛行器的特性，還更符合實(shí)際生活的應(yīng)用。與十字型四旋翼飛行器相比，X型四旋翼飛行器靈活性更強(qiáng)，性能更加穩(wěn)定。對(duì)于外形各異的四旋翼飛行器來說，旋臂間夾角不再固定，會(huì)隨適用的場景而變化，例如，折疊式X型四旋翼飛行器為考慮輕裝便捷，根據(jù)模型樣式對(duì)旋臂夾角做適當(dāng)調(diào)整。

非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器是4輸入6輸出的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，由于控制變量個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)自由度個(gè)數(shù)，在節(jié)約能量、降低造價(jià)、增強(qiáng)系統(tǒng)靈活度等方面較完整驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)有很強(qiáng)的優(yōu)越性，同時(shí)，由于系統(tǒng)嚴(yán)重非線性、強(qiáng)耦合等原因，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)又足夠復(fù)雜，只能用自動(dòng)控制器來控制飛行姿態(tài)。

近年來，非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器迅速成為國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1-6]中結(jié)合氣動(dòng)效應(yīng)，研究了飛行器的姿態(tài)控制問題，建立了一種連續(xù)多變量姿態(tài)控制器。上述文獻(xiàn)的研究對(duì)象多是十字型四旋翼飛行器，而非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器姿態(tài)飛行聯(lián)動(dòng)性更好，實(shí)用價(jià)值更高。文獻(xiàn)[7]中講述了非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器總體建模的數(shù)學(xué)理論。文獻(xiàn)[8-9]中講述了非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器總體布局設(shè)計(jì)。由于飛行器的嚴(yán)重非線性和強(qiáng)耦合性，很難對(duì)模型精確刻畫，故對(duì)模型進(jìn)行線性化處理，見文獻(xiàn)[10-11]。文獻(xiàn)[12-18]中運(yùn)用了多種控制方法跟蹤飛行器的飛行軌跡，如PID控制、魯棒控制、全動(dòng)力學(xué)軌跡控制、滑?？刂频?。

文獻(xiàn)多選用十字型四旋翼飛行器作為研究對(duì)象，與其相比，非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器的飛行姿態(tài)聯(lián)動(dòng)性更好。由于標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器不能滿足多變化應(yīng)用場景的需求，因此DIY飛行器盛行。

針對(duì)一種非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器，本文首先建立數(shù)學(xué)模型，再用測量方法估計(jì)模型中的未知參數(shù)。然而，由于控制效率模型復(fù)雜，控制器設(shè)計(jì)難度增加，因此本文選用算法成熟且可靠的PD控制器，設(shè)計(jì)PD串級(jí)控制器，通過內(nèi)外環(huán)的控制策略，對(duì)控制器進(jìn)一步調(diào)控，最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證控制器的穩(wěn)定性和收斂性。

1 飛行姿態(tài)數(shù)學(xué)表示

非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器的姿態(tài)由滾轉(zhuǎn)角φ，俯仰角θ，偏航角ψ來描述。同時(shí)同量減小螺旋槳1和2的轉(zhuǎn)速，增加螺旋槳3和4的轉(zhuǎn)速，不平衡力矩使飛行器向右滾轉(zhuǎn)；同理，減少螺旋槳1和4的轉(zhuǎn)速，增加螺旋槳2和3的轉(zhuǎn)速，引起飛行器向前俯仰；減小螺旋槳2和4的轉(zhuǎn)速，增加螺旋槳1和3的轉(zhuǎn)速，使前后和左右飛行的力矩為零，逆時(shí)針的偏航力矩增加，飛行器逆時(shí)針偏航。

如圖1所示，螺旋槳1和3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，反扭矩逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)，螺旋槳2和4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，反扭矩順時(shí)針偏轉(zhuǎn)。根據(jù)右手定則建立坐標(biāo)系，z軸向下為正方向。地球固聯(lián)坐標(biāo)系用于研究飛行器相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，下標(biāo)用e表示地球固聯(lián)坐標(biāo)(earth)，機(jī)體坐標(biāo)系下標(biāo)用b表示機(jī)體坐標(biāo)(body)。

圖1 機(jī)體坐標(biāo)示意圖

圖2 姿態(tài)角分步轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖

按照Z-Y-X旋轉(zhuǎn)順序下的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：(由機(jī)體坐標(biāo)到地球固聯(lián)坐標(biāo))

(1)

根據(jù)位置動(dòng)力學(xué)模型

(2)

姿態(tài)變化率和機(jī)體旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系：

(3)

由式(3)可知，

(4)

由于

w=T·wb

(5)

2 數(shù)值建模

以一定假設(shè)為前提，對(duì)飛行器進(jìn)行機(jī)理建模[2,8-9]。假設(shè)1：飛行器為剛體模型，且無任何損壞；假設(shè)2：幾何中心和重心一致；假設(shè)3：質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變；假設(shè)4：螺旋槳奇數(shù)編號(hào)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，偶數(shù)編號(hào)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正；假設(shè)5：飛行器只受重力和拉力影響；假設(shè)6：所有狀態(tài)都可以得到反饋，且-π/2<θ<π/2，-π/2<φ<π/2。

(6)

圖3 建模流程框圖

2.1 動(dòng)力單元模型

輸入油門指令σ，通過電調(diào)輸入電壓Um，發(fā)動(dòng)電機(jī)帶動(dòng)螺旋槳旋轉(zhuǎn)，得到螺旋槳轉(zhuǎn)速，如圖4所示。動(dòng)力單元模型公式如下所示，見文獻(xiàn)[8]。

圖4 動(dòng)力系統(tǒng)信號(hào)傳遞框圖

2.2 控制效率模型

圖5中，飛行器中螺旋槳產(chǎn)生的水平方向力矩不同，如式(9)所示，cT表示拉力氣動(dòng)系數(shù)，φi表示電機(jī)距離x軸與旋轉(zhuǎn)臂的旋轉(zhuǎn)角度(機(jī)體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，φ1表示x軸正方向到電機(jī)1的旋轉(zhuǎn)角度，φ2表示x軸正方向到電機(jī)2的旋轉(zhuǎn)角度，其他角度同理)，d表示旋臂的長度，cM表示轉(zhuǎn)矩氣動(dòng)系數(shù)。cT和cM受氣體密度和螺旋槳葉片類型等因素影響。

圖5 非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器機(jī)體示意圖

其中，ρ表示空氣密度(kg/m2)；DP表示螺旋槳直徑(m)；CT表示螺旋槳拉力系數(shù)；CM表示螺旋槳轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

2.3 控制剛體模型

機(jī)體系下位置動(dòng)力學(xué)模型如式(3)所示，將機(jī)體坐標(biāo)變?yōu)閼T性坐標(biāo)。在滿足6個(gè)假設(shè)的前提下，只考慮重力和拉力對(duì)飛行器的影響。

位置動(dòng)力學(xué)模型：

(7)

即

姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型：

(8)

由式(2)、式(5)將機(jī)體坐標(biāo)變換為慣性坐標(biāo)，得到機(jī)體速度和角速度的方程。當(dāng)飛行器懸停時(shí)，拉力抵消重力，4個(gè)螺旋槳拉力產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)、俯仰力矩為零，偏航力矩為零，4個(gè)螺旋槳反扭矩效應(yīng)均被抵消。如下式所示。

2.4 模型線性化

對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器系統(tǒng)，由于三角函數(shù)相互聯(lián)系很難找到閉環(huán)形式的解，所以，線性化是在小振蕩的簡化模型上進(jìn)行的。通過將正弦函數(shù)與其幅角近似，將余弦函數(shù)與單位近似得到。

基于非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器的非線性模型，忽略陀螺力矩和-wb×(J·wb)，得到姿態(tài)模型，在無擾動(dòng)的情況下，只與力矩有關(guān)。通過懸停點(diǎn)的小角度線性化，得到下列方程組式(9)(見文獻(xiàn)[9-11])：

(9)

(10)

本文重點(diǎn)使用式(9)中的6個(gè)公式，根據(jù)加速度和角加速度，通過積分即可求得系統(tǒng)位置和姿態(tài)角。

(11)

將式(9)化簡為式(11)，其余6個(gè)公式中，機(jī)體坐標(biāo)約等于慣性坐標(biāo)。

一個(gè)可解的線性代數(shù)方程組只有一個(gè)解，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)矩陣是滿秩。所以根據(jù)系統(tǒng)矩陣的秩，檢測模型在有限時(shí)間內(nèi)的可觀性和可控性。

3 參數(shù)測量與數(shù)值仿真

由引言可知，非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器模型有4個(gè)輸入變量，總拉力ft和在3個(gè)坐標(biāo)軸的分力矩τx、τy、τz，6個(gè)輸出變量位置(x，y，z)和姿態(tài)(φ，θ，ψ)。

圖6為根據(jù)數(shù)值建模流程搭建的仿真模型，根據(jù)圖3建模流程的順序，仿真模型同樣共分3部分內(nèi)容。

圖6 機(jī)體仿真模型示意圖

如圖7所示，動(dòng)力單元模型是對(duì)電機(jī)油門值到電機(jī)轉(zhuǎn)速過程的建模，分為動(dòng)態(tài)部分測試和穩(wěn)態(tài)部分測試，動(dòng)態(tài)測試部分遵照設(shè)計(jì)的通訊協(xié)議發(fā)送“aa aa aa 7f xx xx”，前4位為數(shù)據(jù)起始位，后2位為發(fā)送的油門值，通過算法組合送到CCR1寄存器中，通過PWM程序控制電機(jī)，當(dāng)單片機(jī)收到油門指令立即發(fā)送計(jì)數(shù)器中編碼器的位置，通過微分和濾波得到轉(zhuǎn)速。測量并記錄不同油門值下的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)，計(jì)算一階慣性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益K與時(shí)間常數(shù)。穩(wěn)態(tài)測試部分實(shí)驗(yàn)過程與動(dòng)態(tài)過程基本一致，實(shí)驗(yàn)中需要改用光電檢測轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速從而獲得更加準(zhǔn)確的速度測試值。清除死區(qū)的影響，除去前四組數(shù)據(jù)，使用MATLAB的curve fitting tool，最小二乘法擬合得出圖8(d)。動(dòng)力單元模型近似收斂為一階傳遞函數(shù)30/(0.14s+1)形式。

圖7 動(dòng)力單元模型測速框圖

圖8 動(dòng)力單元模型數(shù)據(jù)測量

控制效率模型子系統(tǒng)，由式(9)可知，力和力矩與螺旋槳轉(zhuǎn)速的平方有關(guān)，輸入轉(zhuǎn)速的平方，輸出拉力和三軸力矩，具體測量見圖9所示。電機(jī)力矩測試如圖9(a)所示，電機(jī)固定在木板上，木板通過4個(gè)螺栓固定在主體木塊上面，在主體木塊上安裝兩個(gè)軸承，這兩個(gè)軸承與電機(jī)應(yīng)當(dāng)盡量共軸，主體木塊通過長螺栓與支撐柱連接，保證主體木塊在垂直方向上可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)水平方向上的運(yùn)動(dòng)盡量減小，這樣一來，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)換到了主體木塊上，木塊左端安裝一根螺桿，調(diào)節(jié)長度使得螺桿壓在電子秤上的同時(shí)，也保證主體木塊盡量水平。通過發(fā)送不同的油門值給單片機(jī)，來獲得電機(jī)的轉(zhuǎn)速和相應(yīng)的力，測試結(jié)果如圖9(b)所示。使用Mayatech MT10PRO電機(jī)拉力測試臺(tái)，平臺(tái)最大支持10 kg拉力測試，支持拉力計(jì)電流功率數(shù)顯。先將拉力用3 m固定貼和螺絲固定在桌面，接5～26 V電池，打開控制盒開關(guān)，歸零。裝上合適電機(jī)和槳，開始測試，如圖9(c)所示。實(shí)驗(yàn)通過上位機(jī)向單片機(jī)發(fā)送油門指令，然后通過儀器讀出升力的值，單片機(jī)串口向上位機(jī)發(fā)回測得的轉(zhuǎn)速，從而獲得轉(zhuǎn)速與升力的對(duì)應(yīng)關(guān)系。測試結(jié)果如圖9(d)所示?？刂苿傮w模型子系統(tǒng)(狀態(tài)空間描述)，通過式(11)完成非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器模型結(jié)構(gòu)變換，即建立狀態(tài)空間模型。根據(jù)4個(gè)輸入變量，總拉力ft和在3個(gè)坐標(biāo)軸的分力矩τx、τy、τz，輸出位置變量和姿態(tài)變量，具體數(shù)據(jù)如下，見表1(角度仿真采用弧度進(jìn)行計(jì)算)。

圖9 電機(jī)控制效率模型數(shù)據(jù)測量

表1 非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器模型參數(shù)

4 PD串級(jí)控制

本文設(shè)計(jì)PD串級(jí)控制策略，根據(jù)期望值和實(shí)際輸出值構(gòu)成的偏差，將偏差通過比例和微分的線性組合對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器進(jìn)行控制。如圖10所示，設(shè)計(jì)采用內(nèi)外環(huán)的控制策略，其中，內(nèi)環(huán)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器姿態(tài)角參數(shù)進(jìn)行控制，外環(huán)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器的飛行高度和水平位置等物理量進(jìn)行控制，外環(huán)控制器為內(nèi)環(huán)控制器提供指令。內(nèi)環(huán)控制器先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行“粗調(diào)”，外環(huán)控制器再進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)控，因此，PD串級(jí)控制品質(zhì)優(yōu)于普通控制系統(tǒng)，其優(yōu)點(diǎn)是控制器的工作頻率增加，控制響應(yīng)時(shí)間減少。

圖10 PD串級(jí)控制閉環(huán)框圖

當(dāng)有地面效應(yīng)或大氣紊流時(shí)，可以調(diào)節(jié)積分增益，提高姿態(tài)角的精度，從而消除穩(wěn)態(tài)誤差。在控制四旋翼時(shí)，無論室內(nèi)室外，四旋翼飛行高度一般不會(huì)低于1 m，地面效應(yīng)對(duì)四旋翼的影響微小，本文針對(duì)的是實(shí)驗(yàn)室場景、晴朗無風(fēng)或微風(fēng)場景下，故不考慮大氣紊流對(duì)四旋翼的影響。并且，對(duì)于多變量的非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器PID串級(jí)控制，PID控制增益的選擇非常復(fù)雜，DIY四旋翼時(shí)參數(shù)的調(diào)整難度大，故不考慮積分控制器。

4.1 PD內(nèi)環(huán)控制

PD內(nèi)環(huán)控制即姿態(tài)控制，姿態(tài)是一個(gè)隨動(dòng)控制系統(tǒng)，它的期望值隨水平位置控制器(外環(huán))的輸出而變化。一般來說，姿態(tài)控制能夠被實(shí)現(xiàn)，水平位置跟蹤問題就可以被解決。

理想的PD控制器：

(12)

其中,u(t)為控制輸出；e(t)為姿態(tài)誤差，選擇設(shè)計(jì)參數(shù)kP和kD來實(shí)現(xiàn)期望的閉環(huán)性能。對(duì)式(16)作拉普拉斯變換，得到的方程如下式：

U(s)=(kP+kDs)E(s)

姿態(tài)控制器由3個(gè)解耦控制器組成，一個(gè)滾轉(zhuǎn)控制器，一個(gè)俯仰控制器和一個(gè)偏航控制器。由于本文設(shè)計(jì)的是理論模型，積分環(huán)節(jié)為0，不影響系統(tǒng)的控制誤差。在無外環(huán)控制下，選擇3個(gè)控制器的期望參數(shù)，模擬估計(jì)模型使用不同增益值得到的控制器參數(shù)，具體參數(shù)如表2所示。

表2 PD串級(jí)控制參數(shù)

非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器PD串級(jí)控制參數(shù)的調(diào)節(jié)較為復(fù)雜，需針對(duì)各個(gè)軸分別進(jìn)行PD控制參數(shù)的調(diào)節(jié)。首先針對(duì)無人機(jī)的內(nèi)環(huán)進(jìn)行調(diào)參，控制其姿態(tài)，然后對(duì)外環(huán)進(jìn)行調(diào)參，控制其位置。

比例增益系數(shù)太低，飛行器行動(dòng)將變遲緩，增益系數(shù)過高，會(huì)導(dǎo)致誤差(超調(diào))過度修正，微分增益系數(shù)防止超調(diào)，抑制誤差變化，減小振動(dòng)。由于垂直動(dòng)態(tài)特性比水平動(dòng)態(tài)特性快，因此水平動(dòng)態(tài)控制將嚴(yán)重影響大變化的垂直動(dòng)態(tài)。對(duì)于偏航角的控制，需達(dá)到期望高度后再控制角度。

4.2 PD外環(huán)控制

期望位置動(dòng)態(tài)：

(13)

為實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)控制，位置動(dòng)態(tài)的期望速度和期望加速度均為0，故將式(13)化簡得到下式：

由于非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器處于懸停狀態(tài)，ft/m≈g，sin(θ)≈θ，cos(θ)≈1，將式(7)化簡可得式(14)、式(15)：

(14)

(15)

由式(14)、式(15)可得：

(16)

根據(jù)水平位置控制量轉(zhuǎn)化為期望的姿態(tài)角指令φd，θd。由式(13)可知，通過外環(huán)的PD控制器可以求得期望水平位置加速度，通過式(16)矩陣求逆可以得到期望姿態(tài)角指令，如下式所示，具體數(shù)據(jù)參考表2。

5 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出的PD串級(jí)控制器的有效性，給定期望的偏航角為10*pi/180(弧度值)，期望的水平位置，x為1 m，y為1 m，設(shè)定高度z為-10 m，因?yàn)楸疚脑O(shè)定z軸向下為正方向，所以非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器向上飛時(shí)，z的值應(yīng)為負(fù)值。

從仿真結(jié)果圖11中可以看出，圖11(d)中，飛行器在2 s內(nèi)持續(xù)平穩(wěn)垂直上升，姿態(tài)角和水平位置無變化，飛行器為了到達(dá)期望高度和位置，2s后開始產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)角和俯仰角，如圖11(a)(b)，且在飛行到一定高度后下降，飛行器最終在4 s 時(shí)穩(wěn)定在10 m高度，后趨于穩(wěn)定。滾轉(zhuǎn)角和俯仰角大角度的轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)水平通道位置的影響較大，如圖11(e)(f)，對(duì)高度通道位置影響微小，如圖11(d)，z只產(chǎn)生了微小的抖動(dòng)。飛行器姿態(tài)角調(diào)節(jié)角度，飛行器向期望水平位置移動(dòng)，并在10 s后，偏航角穩(wěn)定于0.175弧度，即偏航角為10°，如圖11(c)，最終在8 s后穩(wěn)定。滾轉(zhuǎn)角和俯仰角沒有大幅度的偏轉(zhuǎn)后，水平位置到達(dá)1 m后穩(wěn)定。

圖11 仿真曲線

6 結(jié)論

本文選用非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器，模型更具普遍性，能夠適合實(shí)際應(yīng)用中對(duì)模型樣式的多種需求。通過討論非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器的建模過程，系統(tǒng)的分析了模型內(nèi)部從輸入油門指令到動(dòng)力學(xué)輸出位置和姿態(tài)的全過程，并對(duì)參考文獻(xiàn)[8-10]中未提及或詳細(xì)說明的動(dòng)力單元模型轉(zhuǎn)速和控制效率模型螺旋槳拉力系數(shù)和螺旋槳轉(zhuǎn)矩系數(shù)的測量方法進(jìn)行了補(bǔ)充，具有實(shí)際參考價(jià)值。為了便于DIY飛行器玩家根據(jù)不同的應(yīng)用場景調(diào)試參數(shù)來達(dá)到控制穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)了連續(xù)多變量的PD串級(jí)控制器，通過內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制，外環(huán)位置控制，能夠更方便精準(zhǔn)的實(shí)現(xiàn)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)X型四旋翼飛行器模型的進(jìn)一步調(diào)控。