徐地虎 莊勇飛

摘? ?要：電容器具有通交流、阻直流的特性，在含交流電源電路中電容器不斷地進行充電和放電，宏觀上表現(xiàn)為交流“通過”了電容器。電容器在通交流電時具有容抗，且電容器兩端的電壓與電流存在相位差。文章通過交流電路分析，得到容抗的表達(dá)式，分析影響容抗大小的因素，得出電壓和電流之間的相位關(guān)系，并與純電阻電路進行對比，最后分析電容器對交流電路動態(tài)變化的影響。

關(guān)鍵詞：電容器;交流電路;動態(tài)變化;相位

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）3-0059-4

1? ? 問題緣起

從江蘇省南京市六校聯(lián)合體2020屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考第5題說起。

案例：如圖1所示，電源為交流恒壓源，即無論電路中的電阻如何變化，接入電路的交流電壓始終保持恒定。R1、R2阻值保持不變，理想交流電壓表■與理想交流電流表■的示數(shù)分別為U、I。當(dāng)恒壓交流源的頻率變大時，理想電壓表■與理想電流表■的示數(shù)變化量分別為ΔU、ΔI，下列說法正確的是（）

A. ■=R■

B. U變大，I變大

C. 燈泡變暗，I變小

D. ■=R■+R2

參考解答：恒壓交流源的頻率變大，根據(jù)容抗的表達(dá)式XC=■可知，容抗變小，電路的總阻值變小，干路中的電流增大，U變大，R1兩端的電壓變小，電流表讀數(shù)變小，通過燈泡的電流增大，B、C選項都錯;根據(jù)閉合電路歐姆定律ε=U+IR1可知，■=R■，答案選A。

在參考解答中，交流電源的頻率增大，電容器的容抗減小，其他的分析過程與直流電路分析過程類似，相當(dāng)于在直流電路中滑動變阻器阻值變小，但并沒有考慮到容抗對應(yīng)的電流與電壓之間的相位關(guān)系，正是這個原因?qū)е麓鸢赋霈F(xiàn)問題。

2? ? 電容器的容抗

定義：電壓有效值和電流有效值之比，叫作電路元件的阻抗。電容器對應(yīng)的比值叫作容抗。

圖2所示為只有交流電源和電容的純電容電路，交流電壓為U，電容為C。設(shè)電路中的尺寸為l，交流電源頻率為f，光速為c，若滿足

■<<■（1）

則可認(rèn)為電路對電源變化的響應(yīng)幾乎不需要時間。在這種近似下，電流將隨電源電動勢同步變化，（1）式稱為似穩(wěn)條件。以下研究的電路都滿足似穩(wěn)條件。

設(shè)所加交流電的交變電壓為

u=U0cosωt（2）

根據(jù)閉合電路歐姆定律，電容器兩端電壓滿足

u=■（3）

q為電容器所帶電荷量，則電路中的電流可寫為i=■（4）

q增大時，dq>0電容器充電;q減小時，dq<0，電容器放電。將（2）（3）式代入（4）式有

i=U0ωCcos（ωt+■）=I0cos（ωt+■）（5）

電壓與電流最大值之間的關(guān)系有

U0=I0■=I0XC（6）

有效值對應(yīng)關(guān)系為

U=I■=IXC（7）

其中

XC=■=■（8）

稱XC為容抗，單位與電阻的單位相同，也是歐姆。從（8）式可以看出，f越大， XC越小，電容器通交流電;f越小，XC越大，極限情況是f=0，此時為直流電，XC→∞，即電容器阻直流電。

與此同時，比較（2）和（5）式可以發(fā)現(xiàn)，電壓與電流的相位不同，電容器上的電壓相位相比“流經(jīng)”電容器的電流的相位落后■，電流與電壓隨時間變化的圖像如圖3所示。將該結(jié)果與純電阻電路進行對比。

如圖4所示的純電阻電路，電路中電壓和電流服從歐姆定律，若交流電壓依然如（2）式所示，則

i=■cosωt=I0cosωt（9）

其中I0=■，電流、電壓有效值滿足

U=IR（10）

可以看出，從最大值與有效值表達(dá)式上看，R與XC作用相當(dāng)，但在純電阻電路中，電阻兩端的電壓與電流相位相同，這與純電容電路有差別。正是由于這種差別，影響了含容交流電路的動態(tài)變化分析。為此，可以利用求解電路的總阻抗對電路做進一步分析。

3? ? 電容器與電阻串聯(lián)的總阻抗及矢量圖解法

如圖5所示為電阻與電容組成的串聯(lián)電路，分析電路的總阻抗。

分析：根據(jù)以上對電容器的容抗和電阻的分析可知，若是純電阻串聯(lián)或純電容串聯(lián)，電阻相加或容抗相加即可，但在電阻與電容串聯(lián)的電路中，兩者在兩端的電流與電壓的相位關(guān)系有差別，不能直接相加，需要重新計算。由于串聯(lián)電路中各處的電流是相同的，可設(shè)電流的表達(dá)式為

i=I0cosωt（11）

根據(jù)（2）（5）（9）式可知，電阻、電容器兩端的電壓分別為

uR=I0Rcosωt，uC=I0XCcos（ωt-■） （12）

串聯(lián)電路的總電壓為

u=uR+uC=I0■cos（ωt-φ）（13）

其中

tanφ=■（14）

比較（11）與（13）式，電壓相位比電流相位落后φ，電路總阻抗為

Z=■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

正是由于電阻與容抗特點的不同，導(dǎo)致電路的總阻抗?jié)M足（15）式，而不是直接代數(shù)相加，這也決定了電路中各處的電壓和電流分布與直流電路分布的不同。

利用矢量圖解法能更直觀地描述電壓與電流之間的相位關(guān)系。電流或電壓的瞬時值可對應(yīng)于某矢量在X軸或Y軸的投影。如（12）式所示，uC=I0XCcos（ωt-■）=UC0cos（ωt-■），可對應(yīng)于■■的矢量以角速度ω逆時針旋轉(zhuǎn)，UC為該矢量在X軸上的投影，ωt-■為相位;uR為uR=I0Rcosωt=UR0cosωt，對應(yīng)于■■的矢量以角速度ω逆時針旋轉(zhuǎn)，但相位始終比■■超前■，則串聯(lián)電路中總電壓可先求該兩個矢量之和，再在X方向投影。將零時刻各矢量放在同一矢量圖中，如圖6所示，其中電流始終與電阻兩端電壓同相位，tanφ=■，■以角速度ω逆時針旋轉(zhuǎn)，總電壓U為■在X軸上的投影。則電壓有效值U=■■，電流有效值I=■I0，根據(jù)阻抗的定義可知，電路總阻抗就是（15）式所示。

同樣，根據(jù)并聯(lián)電路中用電器兩端電壓相同，利用矢量圖解法，可求得電容器與電阻并聯(lián)后的總阻抗

Z=■? ?（16）

讀者可自行畫矢量圖推導(dǎo)。

根據(jù)以上的分析可知，當(dāng)交流電路中含電容器時，由于電容器兩端電壓與“通過”電容的電流相位不同，不能簡單地利用電阻串并聯(lián)方法計算總阻抗，利用矢量圖解法可以有效、直觀地反映電流與電壓之間的相位關(guān)系，從而可以進一步分析含電容器交流電路的動態(tài)變化問題，繼續(xù)以案例為例進行分析說明。

4? ? 含交流電源電路中電容器對電路動態(tài)變化的影響

電路結(jié)構(gòu)如圖1所示，設(shè)“通過”電容器的電流為iC=IC0cosωt，則燈泡與電容器的電流、電壓矢量關(guān)系如圖7（a）所示，設(shè)燈泡的電阻為RL，則tanφ1=■;根據(jù)并聯(lián)關(guān)系可知R1兩端的電壓也為U1，電流中的總電流與各支路之間的電流關(guān)系如圖7（b）所示，圖中■■=■，tanφ■=■;R2兩端的電壓與通過R2的電流同相位，電路中的總電壓與各處電壓的關(guān)系如圖7（c）所示，其中tanφ3=■。

分析電路的動態(tài)變化。電路總電壓U0恒定，ω增大，XC變小，φ■減小，φ■減小，■20增大，■10減小，■20減小，電流表與電壓表測量的是有效值，可知電壓表示數(shù)增大，電流表示數(shù)減小。從以上的矢量圖分析可知，R2兩端電壓與通過R1的電流有相位差，大小關(guān)系較復(fù)雜，不是簡單的線性關(guān)系，A、D選項都不正確，此題無正確答案。參考分析中利用ε=U+IR1，事實上ε、U與I相位不同，已不能直接進行簡單的代數(shù)計算。

因此，在分析含容交流電路的動態(tài)變化問題時，根據(jù)容抗的變化情況，一般定性分析電路中的電流、電壓變化是比較可靠的，但是當(dāng)要定量計算電路中的電流、電壓關(guān)系時，則需要考慮電容器兩端電壓與“通過”電流相位的不同帶來的影響，計算相對比較復(fù)雜，高中學(xué)生不要求掌握，所以在研制相關(guān)考題或訓(xùn)練題時應(yīng)加以考慮。

5? ? 小? 結(jié)

電容器具有通交流、阻直流的導(dǎo)電特性，容抗XC=■=■，隨交流電的頻率變化而變化，f越大容抗越小;與此同時，電容器兩端的電壓與“通過”電流存在■的相位差，這也導(dǎo)致在計算電路總阻抗時不能與電阻阻值直接代數(shù)相加。在處理含電容器的交流電路動態(tài)變化時，定性分析電路中的電流、電壓變化是比較可靠的，但要定量計算電路中的電流、電壓變化關(guān)系時，則需要考慮相位帶來的影響，利用矢量圖解法可以有效、直觀地分析電路中各部分的電流與電壓的相位關(guān)系。

參考文獻：

[1]程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽教程·電磁學(xué)篇[M]. 合肥：中國科學(xué)技術(shù)出版社，2014.

[2]趙凱華，陳熙謀. 電磁學(xué)（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

（欄目編輯? ? 羅琬華）