江西省萍鄉(xiāng)中學(xué) (337000) 賀 江
有這樣兩個有趣的數(shù)學(xué)問題:
問題1一個合唱團共有15人,暑假期間有一個緊急演出,老師需要盡快通知到每一個隊員.如果用打電話的方式,每分鐘通知1人,請幫助老師設(shè)計一個打電話的方案.
方案一:逐一通知,需要15分鐘才能通知到每一個隊員.
方案二:把學(xué)生分成兩組,一組8人,一組7人,兩分鐘后組長通知組員,最快8分鐘才能通知到每一名隊員.
方案三:把學(xué)生分成三組,一組6人,二組5人,三組4人,最快7分鐘才能通知到每一名隊員.
方案四:把學(xué)生分成四組,一組4人,二組4人,三組4人,四組3人,最快5分鐘才能通知到每一名隊員.
思考:是不是組分得越多,用的時間越少?(因為每組的組長也需要通知)怎么分組才能使得所需時間最少呢?
分析:在上面的方法中,存在老師或者學(xué)生在有空檔的時間里面沒有打電話給別人.最優(yōu)方案是:所有得到通知的師生,在下一分鐘都通知給另外的不知情的學(xué)生,才能使總時間最短.此時,每一分鐘后知情的人數(shù)(包括老師)會增加一倍.
解析:老師第一分鐘打給任意一個學(xué)生,第二分鐘老師和學(xué)生打給另外的學(xué)生,此時有4人(包括老師)知道通知了,第三分鐘4人均打給不知情的4人,共有8人(含老師)得到通知了,第四分鐘8人均打電話給剩下不知情的8人,到4分鐘后15人全部通知到位.
老師把合唱團15名同學(xué)編號,第一分鐘老師通知1號;第二分鐘老師通知3號,1號通知2號;第三分鐘,老師通知7號,1號通知5號,2呈通知4號,3號通知6號;第4分鐘,4號通知8號,2號通知9號,5號通知10號,1號通知11號,6號通知12號,3號通知13號,7號通知14號,老師通知15號,全部通知完畢.
推廣1一個合唱團共有m人,暑假期間有一個緊急演出,老師需要盡快通知到每一個隊員,如果用打電話的方式,每分鐘通知1人,n分鐘至多可以通知2n-1個人.如下表:
需要通知的人數(shù)至少需要打電話的次數(shù)112~324~738~15416~315…………2n-1~2n-1n
變式1一個合唱團是50人,如果按問題1的通知方式,最少花多長時間就能通知到每個人?
解析:因25=32,26-1=63,32<50<63,所以最少花6分鐘就可以通知到每個人.
問題2.1有3瓶鈣片,其中1瓶少了粒,你能用天平把它找出來嗎?
分析:記3瓶鈣片為1,2,3,先選1,2稱,如果平衡,3是次品;如果不平衡,1,2中輕的是次品,所以3瓶鈣片只需一次就能把次品找出來.
問題2.28個零件里有1個是次品(次品重一些),假如用天平稱,至少稱幾次能保證找出次品?
解析:用1,2,3,4,5,6,7,8表示零件.如果分成兩組,每組4個,一次后就能知道次品在哪4個零件里面,4個零件里面找次品,不管怎么稱,至少需要兩次,才能確保找到次品,即需要三次才能找出;如果分成三組,4,2,2,也需要3次才能找出 ;如果分成三組,分為(3,3,2),則至少需要2次才能找出.所以本問題中我們發(fā)現(xiàn)如果3件產(chǎn)品(含1件次品)至少需要1次測出次品;9件產(chǎn)品(含一件次品)則分組成3組,記為(3,3,3),只需2次可以找出次品;27件產(chǎn)品(含一件次品),只需分組成(9,9,9),只需3次可以找出次品……
推廣2有m件產(chǎn)品,里面有1件次品,用天平找次品,n次檢測,至多可以找出3n件產(chǎn)品中的次品,即3n-1+1≤m≤3n時,把m件產(chǎn)品分成3組(每組不超過3n-1件),其中至少有兩組的產(chǎn)品數(shù)目一樣多,就可以至少需要n次找出次品.如下表:
要辨別的物品數(shù)目保證能找出次品至少需要的次數(shù)2~314~9210~27328~81482~2435…………3n-1+1~3nn
變式2有70個零件,其中有1個次品(質(zhì)量輕一些),則用天平進行稱量,至少稱多少次才能保證找出這個次品?
解析:因為33+1=28,34=81,28<70<81,所以至少稱4次就可以保證找出這個次品.
變式3把上述問題中70改成23,則至少需要n次才能保證找出這個次品,怎么分組?
解析:因為32+1=10,33+1=28,10<23<28,所以至少稱3次就可以保證找出這個次品.并且可用分組法分成(9,9,5),(8,8,7),(7,7,9)等方案.
推廣3有m個零件,其中有1個次品,若3n-1+1≤m≤3n,則至少需n次才能保證找出這個次品,且每一次分組應(yīng)該保證:①分成三組,每組的數(shù)字不大于3n-1;②至少有兩組是相同的;③分組方法可能不唯一.