廣東省珠海第一中學(xué) (519000) 楊 軍

圓錐曲線中線段最值問題一般涉及解析幾何的基本思想、基本方法.通過對(duì)直線、橢圓、雙曲線、拋物線中線段的最值問題探討，利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的原理，可以解決圓錐曲線這類線段之和最值問題，是研究性學(xué)習(xí)的體現(xiàn)，有益于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)基本思想.本文列舉數(shù)例予以說明.

1.求直線上的動(dòng)點(diǎn)到兩定距離最值問題

例1設(shè)點(diǎn)P為直線l:x+y-4=0上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),則|PA|+|PB|的最小值為.

圖1

變式例1條件不變，結(jié)論改為求|PA|-|PB|的最大值.

解：由三角形兩邊只差小于第三邊知，當(dāng)P,A,B三點(diǎn)不共線時(shí)，|PA|-|PB|<|AB|；當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|-|PB|=|AB|.所以當(dāng)P(4,0)時(shí)|PA|-|PB|有最大值|AB|=4.

評(píng)注：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和最小時(shí)，兩定點(diǎn)要在直線兩側(cè)；動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差最大時(shí)，兩定點(diǎn)要在直線同側(cè).

2.求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到兩定距離最值問題

圖2

圖3

評(píng)注：求橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和或之差時(shí)，先看定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部還是外部，利用三角形兩邊之和大于第三邊或者兩邊只差小于第三邊的結(jié)論，尋找共線時(shí)取到合適的最值.若不能直接找到最值，則可利用橢圓第一定義替換一個(gè)焦半徑，而達(dá)到求解目標(biāo).

3.雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)到兩定距離最值問題

圖4

解：如圖4所示，對(duì)任意點(diǎn)P都有|PF|+|PA|>|AF|,此時(shí)不能直接找到最小值，可利用雙曲線第一定義替換|PF|.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為M，則M(4,0)，由雙曲線的定義可得|PF|-|PM|=4，則|PF|=4+|PM|，所以|PF|+|PA|=|PM|+|PA|+4≥|AM|+4=9，當(dāng)且僅當(dāng)A,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.因此|PF|+|PA|的最小值為9.

評(píng)注：如果例3中A點(diǎn)是雙曲線內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)，則只要A,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，就有|PF|+|PA|取到最小值.

4.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到兩定距離最值問題

例4設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|+|PF|的最小值為.

圖5

解：因?yàn)?2<4×3，所以點(diǎn)B(3,2)在拋物線y2=4x的內(nèi)部，如圖5，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，根據(jù)拋物線定義可得，|P1Q|=|P1F|，又P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P1重合時(shí)，|PB|+|PF|取得最小值，且最小值為4.

評(píng)注：求解拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(定點(diǎn)在拋物線內(nèi)部)與焦點(diǎn)距離和的最值問題時(shí)，通常需要過該動(dòng)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，利用拋物線的定義，將問題轉(zhuǎn)為求拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線以及定點(diǎn)距離的最值問題，即可求解.

變式已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d1，到直線l：4x-3y+16=0為d2，則d1+d2的最小值為( ).

圖6

評(píng)注：利用拋物線的定義，可將d1+d2的取值轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離求得.