王一博，夏永波

(中南民族大學 數學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

1 基礎知識

實際應用中，若Δf越小，函數的抗差分攻擊能力就越強.注意到，若x是方程f(x+a)+f(x)=b的一個解，顯然有x+a也是方程的解，從而該方程的解成對出現.于是f(x)可能取到最小的差分一致性為2.當Δf=2時，稱f(x)為幾乎完全非線性函數(almost perfect nonlinear function)，簡稱為APN函數[6].

Ωf={ω0,ω1,…，ωk},

另外，在文[8]中有如下等式成立：

(1)

n-j.

注意到：

上式表明Qλ(x)的秩總是一個偶數2h，滿足2≤2h≤n.

下面的引理給出一類特殊二次型的秩的取值范圍.

為了方便后續(xù)結論的證明，給出如下定理.

上述兩個函數有以下性質：

利用上述記號，下面的引理給出Ni與nj的關系,為后續(xù)的計算提供已知條件.

特別地，當n為奇數且L(F)=2(n+3)/2時，有n1≠0，同時有N2=3n3成立.

1+A1z+A2z2+…+Anzn,

并稱序列(1,A1,A2,…,An)為碼C的重量分布.

2 主要結果及證明

F(x)=x22t+1+x2t+1,

(2)

由以上引理，可得出F(x)的差分一致性和非線性度.

定理2令F(x)為式(2)中定義的函數，則F(x)是四差分一致的函數，其差分譜如下：

(1)當n為奇數時，ΩF={ω0=5·22n-3-3·2n-2,ω2=22n-2,ω4=22n-3-2n-2}；

(2)當n為偶數時，ΩF={ω0=5·22n-3-2n,

ω2=22n-2+2n-1,ω4=22n-3-2n-1}.

F(x+a)+F(x)+b=ax22t+ax2t+(a22t+a2t)x+F(a)+b,由于a≠0，因而F(x+a)+F(x)+b=0等價于x22t+x2t+cx+d=0,其中：

注意到c=0當且僅當a=1.下面先考慮如下線性化多項式：

x22t+x2t+cx=0.

(3)

x22t-1+x2t-1+c=0,

(4)

由于c的特殊性，x=a必然是方程(4)的解.令y=x2t-1，則上式等價轉化為：

y2t+1+y+c=0.

(5)

表1 F(x)的Walsh譜

證明當a=0時，容易得出：

WF(a,b)=

由引理3知，2n-2-|M2|=3n3，再結合n1+n3=

當n為偶數時，存在3個變量n0,n2,n4，然而目前只得到兩個相關條件：

(1)n0+n2+n4=2n-1;

ΩF={ω0=616,ω2=256,ω4=120},

其Walsh變換的分布為：

非線性度NL(F)=8，以上數值結果分別與定理2和定理3的結論一致.

ΩF={ω0=2496,ω2=1056,ω4=480},

其Walsh變換的分布為：

非線性度NL(F)≥16，以上數值結果分別與定理2和定理3的結論一致.

注1 當n為偶數時，目前無法得出Walsh譜.倘若利用F(x)去構造線性碼，碼的參數未知.因而下面的應用主要是基于n為奇數的前提條件.

3 實際應用

當密碼函數具有較好的密碼學性質時，常可以用來構造性能優(yōu)異的編碼.下面利用F(x)，構造出如下兩種不同的二元線性碼.

定理4令F(x)為式(2)中定義的函數.設n為奇數，定義二元線性碼

A2n-1=3·2n-2+9·22n-3-2,

A2n=1,

對其他的i，有Ai=0.

定理5令F(x)為式(2)中定義的函數.設n為奇數，定義二元線性碼

A2n-1=3·2n-3+9·22n-4-1,

對其他的i，有Ai=0.

例3 令n=5,t=3，則式(2)中的函數F(x)=x65+x9.定義二元線性碼

則C1(F)的參數[32,11,8].進一步地，利用Magma軟件，可得C1(F)的重量分布如下：

A24=A8=20,A20=A12=416,A16=1174,A32=1,

對其他的i，有Ai=0.以上數值結果與定理4的結論一致.

例4 令n=7,t=5，則式(2)中的函數F(x)=x1025+x33.定義二元線性碼

則C2(F)的參數為[127,14,48].利用Magma軟件，可得C2(F)的重量分布如下：

A48=210,A56=3816,A64=9263,

A72=2968,A80=126,

對其他的i，有Ai=0.以上數值結果與定理5的結論相符.

4 結語