安徽省濉溪縣教育科學(xué)研究室(235100) 楊經(jīng)驗(yàn)

幾何畫板能夠動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出幾何對(duì)象的位置關(guān)系、運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律,有著傳統(tǒng)尺規(guī)作圖所無(wú)法比擬的優(yōu)越性,其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D程序、強(qiáng)大的作圖和計(jì)算功能,能有效地提升學(xué)生數(shù)學(xué)的水平和能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂教學(xué)中,使用幾何畫板,可以使教學(xué)更加形象化、生動(dòng)化、多樣化和趣味化,這更有利于揭示數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程,呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,展示數(shù)學(xué)思維的形成過(guò)程;有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)圖形構(gòu)建能力及空間想象的能力[1].經(jīng)過(guò)不斷地學(xué)習(xí)探索實(shí)踐,在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用幾何畫板已取得顯著成效.在農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中如何運(yùn)用幾何畫板呢? 下面幾條是具體做法.

1 利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)是從問(wèn)題開始的,每一節(jié)數(shù)學(xué)課都離不開問(wèn)題.這些問(wèn)題是由教師一道一道的講解,還是由學(xué)生自己探究呢?時(shí)代優(yōu)勢(shì)教學(xué)理論特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己探究的重要性.在學(xué)生自主探究中,幾何畫板可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)合適問(wèn)題情境,給學(xué)生自主探究提供幫助.例如, 在講解函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí), 可以用幾何畫板提出這樣的問(wèn)題: 在圓的內(nèi)接矩形中,邊長(zhǎng)比是多少的矩形面積最大? (請(qǐng)用畫板軟件探索結(jié)果).學(xué)生們可以很快就投入到操作和實(shí)踐中,通過(guò)移動(dòng)圓上的動(dòng)點(diǎn),比較邊長(zhǎng)的關(guān)系,便可以很快得出結(jié)論: 圓的內(nèi)接正方形即邊長(zhǎng)比為1 的矩形面積最大.教師接著再問(wèn),為什么圓的內(nèi)接正方形是圓的內(nèi)接矩形中面積最大的呢? 學(xué)生們你一言,我一語(yǔ)互相討論起來(lái),進(jìn)而在教師的引導(dǎo)下,利用二次函數(shù)求最值的方法,得出了證明……學(xué)生在課上,經(jīng)歷了探索——猜想——證明這三個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必須階段,使知識(shí)得到了進(jìn)一步的內(nèi)化,大大提高了農(nóng)村孩子的學(xué)習(xí)效率.

初中數(shù)學(xué)枯燥又抽象,不少的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)敬而遠(yuǎn)之,甚至是懼怕和厭惡,特別是在初中接觸了幾何與函數(shù)之后,這種情緒更為強(qiáng)烈,這極大地壓抑了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力.幾何畫板具有強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)變化功能,一流的交互功能,能以濃縮的形態(tài)給學(xué)生提供數(shù)學(xué)背景,通過(guò)學(xué)生的參與和親手操作,枯燥抽象的內(nèi)容變成生動(dòng)形象的圖形,原本不明白或不甚明白的概念等變得一目了然[2].以往用圓規(guī)、三角板繪制幾何體,是不動(dòng)的一個(gè)圖形,幾何畫板運(yùn)用動(dòng)態(tài)的幾何圖形培養(yǎng)了學(xué)生空間想象的能力.

當(dāng)我們使用幾何畫板動(dòng)態(tài)地、探索式地表現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系,還有像圓錐的側(cè)面展開圖等等,都能形象化地直觀呈現(xiàn).原本靜止枯燥的數(shù)學(xué)課變成了生動(dòng)、活潑、優(yōu)美感人的舞臺(tái),學(xué)生情緒高漲,專注渴求和欣喜的神情掛在臉上,作為老師的我們感到無(wú)限欣慰.幾何畫板一時(shí)成了師生的熱門話題,使學(xué)生深刻體會(huì)到:“自己的眼睛可以看到自己在現(xiàn)實(shí)生活中看不到的一面”、“數(shù)學(xué)原來(lái)也能這樣來(lái)學(xué)”、“想不到數(shù)學(xué)還真有趣”……

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的最好的老師, 是學(xué)生學(xué)習(xí)的原動(dòng)力.實(shí)踐證明使用幾何畫板探索學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅不會(huì)成為學(xué)生的負(fù)擔(dān),相反變抽象為形象,給農(nóng)村孩子的學(xué)習(xí)生活帶來(lái)極大的樂(lè)趣,孩子們完全可以在輕松愉快的氛圍中獲得知識(shí).

2 鼓勵(lì)學(xué)生利用幾何畫板自主參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣,老師可以鼓勵(lì)學(xué)生,利用幾何畫板這一工具,自主參與數(shù)學(xué)研究[3].例如,證明“三角形中,如果有兩個(gè)角的平分線相等,則這個(gè)三角形是等腰三角形”這一問(wèn)題,由于該題目的證明思路很不容易被找到,學(xué)生嘗試用多種方法思考證不出來(lái)時(shí),提出了這樣的問(wèn)題:“老師,你讓我們證明的題目是正確的嗎? ”教師可以提示學(xué)生用幾何畫板對(duì)題目進(jìn)行驗(yàn)證.學(xué)生作出了圖形,并測(cè)量了有關(guān)的線段的長(zhǎng)度,當(dāng)通過(guò)拖動(dòng)M、N兩點(diǎn),在找準(zhǔn)使AM與BN相等的點(diǎn)時(shí),學(xué)生得到AC與BC的值總是相等的.于是,在驗(yàn)證了結(jié)論是正確的這樣一種良好心理的支撐下,學(xué)生興奮地告訴說(shuō):“老師,題目的結(jié)論是正確的,我要再試試如何證明.”

幾何畫板不僅在學(xué)生解題時(shí)很有用處,而且對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)也很有用.如學(xué)習(xí)“三角形三內(nèi)角和為180°”定理時(shí),教師可以讓學(xué)生繪制一個(gè)三角形,測(cè)量出每個(gè)角的度數(shù)求出三內(nèi)角和的值,并拖動(dòng)三角形的任一個(gè)頂點(diǎn),觀察三個(gè)內(nèi)角之和是否仍保持為180°.在具體論證之前,學(xué)生利用幾何畫板,對(duì)問(wèn)題由感性認(rèn)知到理性認(rèn)同,這為下一階段的學(xué)習(xí)作了很好的鋪墊.再如勾股定理、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理等重要數(shù)學(xué)定理的證明,利用這種方法都能起到很好的教學(xué)效果.

在八年級(jí)下冊(cè)中的四邊形一章中,很多學(xué)生很容易將常用的四邊形性質(zhì)混淆,如矩形、菱形、平行四邊形、正方形等.對(duì)于中點(diǎn)四邊形更是弄不明白,傳統(tǒng)的教學(xué)方式中,教師就需要畫很多的圖形進(jìn)行證明,這更容易令學(xué)生產(chǎn)生眼花繚亂的感覺(jué).運(yùn)用幾何畫板,我們可以將其進(jìn)行整合與變形,可以讓學(xué)生舉一反三,快速掌握相關(guān)知識(shí).例如,在一節(jié)習(xí)題講評(píng)課上,教師設(shè)計(jì)了如下一組題目: 順次連結(jié)四邊形的各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 學(xué)生經(jīng)過(guò)思考和證明不難得到結(jié)論,進(jìn)而教師利用畫板按鈕變換圖形和題目引出下列變式習(xí)題: 變式1: 順次連結(jié)矩形的各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式2: 順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式3: 順次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式4: 順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式5: 順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式6:順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 學(xué)生利用幾何畫板,用動(dòng)態(tài)的圖促進(jìn)學(xué)生深入思考,以便快速總結(jié)出規(guī)律.

3 利用幾何畫板提高課堂教學(xué)效率

3.1 利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容

幾何畫板可以動(dòng)態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問(wèn)題,使教學(xué)更加直觀、生動(dòng),這有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)教學(xué)的趣味性.數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微”.幾何畫板為“數(shù)形結(jié)合”創(chuàng)造了一條便捷的通道,它不僅對(duì)幾何模型的繪制提供信息,同時(shí),可以解決學(xué)生難以繪制的圖形,而且提供了圖形“變換”的動(dòng)感,豐富多彩的“動(dòng)畫”模型,給農(nóng)村學(xué)生一種耳目一新的視覺(jué)感受,使學(xué)生從畫面中去尋求到問(wèn)題解決的方法和依據(jù),并從畫面中去認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì),幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)基本概念.

在引入幾何畫板之后,可以測(cè)量各種數(shù)值以及進(jìn)行各種函數(shù)運(yùn)算,在圖形的變化過(guò)程中,數(shù)量變化特征也可以直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前,“以形助數(shù)”,“用數(shù)解形”,這在傳統(tǒng)教學(xué)中是無(wú)法辦到的.比如,在學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系時(shí),用幾何畫板畫一個(gè)二次函數(shù)圖像y=ax2+bx+c.各參數(shù)的變化情況以及數(shù)量關(guān)系都顯示在同一屏幕上(如圖1 二次函數(shù)圖像的演變), 不用老師開口, 學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)b2?4ac的值與拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,以及a、b、c的變化對(duì)二次函數(shù)的圖像形狀及位置的影響.這種做法非常形象直觀,易于接受,比過(guò)去直接用理論來(lái)說(shuō)明或簡(jiǎn)單地在黑板上畫幾個(gè)草圖來(lái)講解的效果會(huì)好得多.

圖1

圖2

在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,正方形OFEG與邊BC,CD相交于點(diǎn)N、M,求四邊形ONCM的面積(如圖2).該問(wèn)題解決關(guān)鍵在于得出四邊形ONCM的面積與三角形OBC的面積相等,引導(dǎo)學(xué)生注意四邊形OFEG的運(yùn)動(dòng)特征,讓學(xué)生應(yīng)用幾何畫板的動(dòng)畫特征,轉(zhuǎn)動(dòng)正方形OFEG,觀察四邊形ONCM面積的變化,從而探究出S四邊形OMCN=SΔOBC的結(jié)論.

3.2 利用幾何畫板揭示問(wèn)題本質(zhì)

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中,由于問(wèn)題本身的抽象性和推理的復(fù)雜性,學(xué)生花費(fèi)了很多時(shí)間都未能把問(wèn)題證明出來(lái),此時(shí),產(chǎn)生對(duì)問(wèn)題的疑義并對(duì)問(wèn)題真實(shí)性進(jìn)行驗(yàn)證是一種極為可能并想去做的事.因?yàn)轵?yàn)證一方面可以緩解心理緊張和心理焦慮,變換思維角度,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行再認(rèn)識(shí);另一方面可以調(diào)節(jié)心理平衡,重塑解題信心.學(xué)生在通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,可以確定問(wèn)題的正確性.這將會(huì)增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的動(dòng)力.從而幫助學(xué)生有效地克服推理過(guò)程中產(chǎn)生的心理障礙[4].例如,研究函數(shù)圖像的性質(zhì),特別是增減性,是教學(xué)的難點(diǎn),有了幾何畫板,就很容易解決這一問(wèn)題.

圖3

圖4

(1)一次函數(shù)(如圖3): 在坐標(biāo)系內(nèi),任作一條直線,很容易得到它的解析式,我們拖動(dòng)直線,就可以看到它的k和b在不斷變化,學(xué)生們自己操作,仔細(xì)研究,就可以總結(jié)出,k、b大小與圖像所經(jīng)過(guò)的象限的關(guān)系.如下圖,如果拖動(dòng)直線上的點(diǎn)P,則它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都在同時(shí)變化,變化趨勢(shì)明顯.這樣,當(dāng)k ＞0 和k ＜0 時(shí),極易掌握一次函數(shù)的增減性.(2)二次函數(shù)(如圖4): 在研究二次函數(shù)圖像的增減性時(shí),我們拖動(dòng)拋物線上點(diǎn)P,可以很形象地看到,y隨著x的增大,一會(huì)兒增大,一會(huì)兒減小.問(wèn)及同學(xué)們它的分界線在哪里,再次研究后都能回答是拋物線的對(duì)稱軸.

3.3 利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

在教師的引導(dǎo)下, 幾何畫板可以給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際“操作”幾何圖形的環(huán)境,學(xué)生可以任意拖動(dòng)圖形、觀察圖形、猜測(cè)和驗(yàn)證結(jié)論,在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí),形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景從而更有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解.同時(shí)幾何畫板還能為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)進(jìn)行幾何“實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境,有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算、演澤等具有根本意義的嚴(yán)格推理的能力,還培養(yǎng)學(xué)生嘗試歸納、探索、尋找相似性等非形式推理能力的思想.

實(shí)驗(yàn)方法在數(shù)學(xué)科學(xué)中的作用愈來(lái)愈被重視,除了直接觀察、假想試驗(yàn),統(tǒng)計(jì)抽樣等方法也日益被采用.而幾何畫板的使用,使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)多了一件有用的工具,使得在課堂上讓每個(gè)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為可能.這種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),對(duì)學(xué)生主體意識(shí)的形成,主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐本領(lǐng)的提高,自行獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力培養(yǎng),都將發(fā)揮作用.例如,(1)在計(jì)算機(jī)上用幾何畫板軟件畫任意一個(gè)三角形,再畫出它的三條中線,有什么規(guī)律? (三角形三條中線交于一點(diǎn))然后拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)A隨意改變所畫的三角形的形狀,看看這個(gè)規(guī)律是否改變.(2)在計(jì)算機(jī)上用幾何畫板軟件畫任意一個(gè)三角形,量出它的各內(nèi)角并計(jì)算它們的和,然后拖動(dòng)頂點(diǎn)改變所畫三角形的形狀,再量出變化后的各內(nèi)角計(jì)算內(nèi)角和.從而得出“三角形內(nèi)角和等于180 度”這一結(jié)論.

4 使用幾何畫板的教學(xué)體會(huì)

幾何畫板作為一種新的認(rèn)知工具,一定能得到廣泛的使用.設(shè)想,如果學(xué)生能進(jìn)一步掌握操作技能,在教師的引導(dǎo)下,自行構(gòu)建模型,然后通過(guò)類比,優(yōu)化模型,找到解決問(wèn)題的途徑,將起到事半功倍的成效.廣大農(nóng)村數(shù)學(xué)教師要進(jìn)一步研究并使用這種工具.在運(yùn)用幾何畫板的時(shí)候,要充分地利用它來(lái)引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí).我們用幾何畫板繪制圖表、圖像、圖形、動(dòng)畫等來(lái)創(chuàng)設(shè)直觀情境輔助學(xué)生思考,而不是代替學(xué)生思考.作為教師要給予恰當(dāng)?shù)奶崾?通過(guò)計(jì)算機(jī)演示實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生完成思考過(guò)程,形成對(duì)知識(shí)的理解,而不是利用計(jì)算機(jī)直接地給出結(jié)論[5].否則會(huì)使學(xué)生一味停留在視覺(jué)層面,養(yǎng)成過(guò)分依賴的習(xí)慣,挫傷學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和實(shí)踐能力.

5 結(jié)論

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合,不是簡(jiǎn)單地把信息技術(shù)僅僅作為輔助教師教學(xué)的演示工具,而是要實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)融合.通過(guò)對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中幾個(gè)典型事例的分析,我們可以發(fā)現(xiàn): 幾何畫板能更好地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,自主地參與到學(xué)習(xí)與研究之中;幾何畫板能動(dòng)態(tài)地展示教學(xué)內(nèi)容,揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì);幾何畫板利用進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),能提高課堂教學(xué)效率,有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平和能力的提升.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合,還有很多值得探討的課題,我們?nèi)栽谘芯康穆飞?