鄧凱

筆者在數(shù)學教學中一直努力探索并實踐“讓學生學簡單的數(shù)學，讓學生簡單地學數(shù)學，讓學生數(shù)學學得不簡單”，并在此基礎上提出“至簡數(shù)學”的教學主張。但是有何證據(jù)表明數(shù)學能變簡單？有何證據(jù)表明能讓學生簡單地學數(shù)學？基于對這兩個問題的追問，筆者在“中國知網(wǎng)”以“至簡數(shù)學”“簡單數(shù)學”“簡易數(shù)學”“簡約數(shù)學”為主題詞分別檢索到382篇、96360篇、3182篇和3486篇文獻，從中篩選出與“至簡數(shù)學”相關的189篇文獻泛讀后，再從中選出36篇重要文獻精讀，然后根據(jù)這些文獻及被引文獻追蹤研究重要作者的著作，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多位數(shù)學家和數(shù)學教育家均對“至簡數(shù)學”的必要性和可行性有相關的論述。

一、“讓學生學簡單的數(shù)學”是可能的

當代著名數(shù)學家阿蒂亞在1976年就任倫敦數(shù)學會主席時曾說：“如果我們積累起來的經(jīng)驗要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一。”“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解。”?阿蒂亞的這兩句話表明數(shù)學家的使命不僅在于研究數(shù)學，還在于努力將數(shù)學簡化和統(tǒng)一，讓數(shù)學變得更容易理解，這是數(shù)學發(fā)展的必然。

英國數(shù)學家、邏輯學家、哲學家懷特海在著作《教育的目的》的第六章“數(shù)學課程”中指出：“我們的數(shù)學課程，應該被設計得能夠簡單明了地對具有明顯重要性的概念進行舉例說明。”他還指出：“數(shù)學的一般用處，應該是簡單地研究一些一般定理，通過實例來給這些定理以有力的說明?！睉烟睾５倪@兩個觀點一方面強調(diào)抓住數(shù)學的本質(zhì)，另一方面強調(diào)內(nèi)容簡單明了。

著名數(shù)學家、物理學家牛頓曾說：“幾何學之所以堪稱輝煌，就在于它只從很少的幾條公理出發(fā)，而最終卻得到了如此之多的結(jié)果。歐幾里得只用了5條公理就把千頭萬緒的幾何素材組織起來，組成了一個有機的整體?！?牛頓這段經(jīng)典的名言表明，數(shù)學本身是“簡潔”的，不僅內(nèi)容簡潔，而且結(jié)構(gòu)簡潔、邏輯簡潔、形式簡潔。事實上，數(shù)學就是人們在不斷試圖用簡潔的方式揭示隱藏著的自然奧秘，并在“求簡”目標驅(qū)動下興起和發(fā)展起來的。

數(shù)學家莫里斯·克萊因在《數(shù)學與知識的探求》中寫道：“如果沒有符號體系，數(shù)學將迷失在文字的荒原中?！?這句話不僅表明數(shù)學通過符號語言變得更簡單，而且表明符號化是讓數(shù)學變簡單的一種方法。

因此，數(shù)學變簡單，既是數(shù)學自身的特點，也是數(shù)學發(fā)展的需求。隨著時代的發(fā)展，根據(jù)學生的認知心理特點，讓學生學簡單的數(shù)學不僅是可能的，而且是未來的趨勢。

二、“讓學生學簡單的數(shù)學”是可行的

中國科學院院士、數(shù)學家、計算機科學家張景中先生寫過《把數(shù)學變得更容易》《把數(shù)學變得容易一些》《把高等數(shù)學變得更容易》《從數(shù)學難學談起》等多篇文章舉例論證了“數(shù)學變簡單是可行的”這一論點。

他在《把數(shù)學變得更容易》一文中不僅提出了“教育數(shù)學就是要把數(shù)學變得更容易”，而且以“重建三角（筆者注：用單位菱形面積表示正弦及推廣）”在無錫、寧波、廣州等地實驗的數(shù)據(jù)，論證通過“重建三角”能讓初中生學習數(shù)學變得更簡單。

他在《把數(shù)學變得容易一些》一文中提出“把數(shù)學變?nèi)菀滓恍敝饕?個途徑：想想哪些難點是人為制造的，不必要的規(guī)定要改掉，制造點人為的“容易”（對學生來說就是具體、熟悉，而不是抽象、陌生）;引進新的概念時，必須適合學生的思想，符合學生的生活經(jīng)驗（要返璞歸真，要把條件變得較少、較簡單;盡可能對一些定理少加附加條件）;教給學生比較一般的解題方法。

與此相應地，人教版數(shù)學教材在近年的修訂過程中，多處數(shù)學知識點變得比原來更簡單了，有兩處變化是典型的例證。第一處是七年級下冊第10章“10.1統(tǒng)計調(diào)查”這一節(jié)中對“總體”“個體”“樣本”的描述定義?，F(xiàn)行教材中寫道：“全校學生是要考察的全體對象，稱為總體，組成總體的每一個學生稱為個體，而被抽取調(diào)查的那部分學生構(gòu)成總體的一個樣本?！边@段話有一段旁白：“為了強調(diào)調(diào)查目的，人們有時也把全校學生喜愛的電視節(jié)目作為總體，每一個學生喜愛的電視節(jié)目作為個體。”該教材這樣處理就是為了淡化和簡化概念，學生更容易理解。第二處是八年級下冊第15章“15.3分式方程”這一節(jié)關于分式方程應用題的檢驗，跟檢驗分式方程的解一樣，只需檢驗解方程的結(jié)果是否為該分式方程的解，不需要檢驗是否符合實際。其原因是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》只要求“能解化為一元一次方程的分式方程”，所得結(jié)果只要不是增根都符合實際，因此可省去這個環(huán)節(jié)。

遵循張景中院士提出的3個途徑，在教學中可以對教材中的一些概念、定理、例題等進行科學合理的處理，可以讓學生先簡單地了解，然后通過“螺旋式上升”的教學讓學生在后續(xù)學習中完整地理解與掌握，也可以讓數(shù)學變得簡單一些，讓更多的學生有興趣、有信心學習數(shù)學。

三、“讓學生簡單地學數(shù)學”是可能的

祖丹和孔凡哲從28位數(shù)學家（亞里士多德、畢達哥拉斯等）對數(shù)學品格的相關論述中，歸納統(tǒng)計得到數(shù)學必備品格的七個要素，按其重要性排序為：數(shù)學興趣、創(chuàng)新、自強不息、嚴謹、勇于質(zhì)疑、化繁為簡、獨立思考。這個統(tǒng)計結(jié)果說明，化繁為簡是數(shù)學教師作為數(shù)學人“先天”的品格，讓學生簡單地學數(shù)學不僅是數(shù)學教師必備的品格，也是其教學該有的自發(fā)行為。統(tǒng)計結(jié)果還說明要培養(yǎng)學生“化繁為簡”的數(shù)學學習必備品格，通過讓學生簡單地學數(shù)學是最直接的方式。

華羅庚運用講授法傳授知識主張“深入淺出見功夫”，在教學內(nèi)容的處理上，他主張：“高的內(nèi)容放低了，難的內(nèi)容改易了，繁的內(nèi)容化簡了?！彼€曾對他的助教說：“高水平的教師總能把復雜的東西講簡單，把難的東西講容易;反之，如果把簡單的東西講復雜了，把容易的東西講難了，那就是低水平的表現(xiàn)?！?華羅庚先生不僅這樣說，而且自己上課時堅持讓學生簡單地學數(shù)學，他的學生回憶道：“他講課時先把枝節(jié)的地方很快講完，馬上就進入主題，讓人很容易理解?！?華羅庚先生身體力行地證明了讓學生簡單地學數(shù)學是可能的，但需要教師具有較高的教學水平。

德國著名數(shù)學家克萊因則指出了一種具體的方法，他在其著作《高觀點下的初等數(shù)學》中提到：“基礎數(shù)學的教師應該站在更高的視角（高等數(shù)學）來審視、理解數(shù)學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單?！?/p>

人教版初中數(shù)學教材主編章建躍撰寫了多篇論文如《數(shù)學教學要“準”“精”“簡”》《追求本質(zhì)、簡單、自然的數(shù)學教學》等都提出數(shù)學教學要追求“簡”。當然，章建躍表達言語中不止“簡”和“簡單”，還包含“準”“精”“本質(zhì)”“自然”等內(nèi)容。數(shù)學課真正實現(xiàn)了“簡”和“簡單”的目標，同時就能實現(xiàn)“準”“精”“本質(zhì)”“自然”的目標，它們之間是相輔相成的。

因此，讓學生簡單地學數(shù)學不僅是可能的，而且是必須的。數(shù)學教師必須提高自己的數(shù)學專業(yè)能力，努力讓學生簡單地學數(shù)學。

四、“讓學生簡單地學數(shù)學”是可行的

不少數(shù)學家、數(shù)學教育家、科普工作者以及廣大教師都努力探索過讓學生簡單地學數(shù)學，因此相關文獻十分豐富，而且各自從不同的角度提出了讓學生簡單地學數(shù)學的具體措施與方法。

華羅庚說：“退到最原始而不失去重要性的地方，把簡單的、特殊的問題弄清楚了，并從這些簡單的問題的解決中，或者獲得解題思路，或者提示解題方向，或者發(fā)現(xiàn)一般問題的結(jié)論，或者得到化歸為簡單問題的途徑，從而再‘進到一般性問題上來。”這是讓學生簡單地學數(shù)學的基本原理。

英國史里斯·韋林（Chris?Waring）著有《極簡數(shù)學》，作者通過實例將代數(shù)、幾何、概率、統(tǒng)計等學科的知識分解為生活中的場景，將看似抽象、復雜的運算用實物表現(xiàn)出來。這是“具身數(shù)學”“手工數(shù)學”“測量數(shù)學”的源頭。

美國賽·太蒙尼（Cy?Tymony）著有《數(shù)學本來很簡單》，作者富有創(chuàng)意地將數(shù)學符號用易于理解和記憶的方式書寫，比如在表示速率的R中畫一個正在跑步的人像，在表示時間的T中畫一個計時的表等，作者還創(chuàng)設了一些數(shù)學實驗，通過讓學生動手做實驗理解數(shù)學符號和數(shù)學運算。這是“實驗數(shù)學”的基本思想。

英國理查德·埃爾威斯（Richard?Elwes）著有《數(shù)學簡單學——化繁為簡“學數(shù)學”》，作者試圖用一些小故事、小游戲和簡潔的語言表述從小學到高中的數(shù)學核心概念和運算法則等內(nèi)容。這是“故事數(shù)學”和“游戲數(shù)學”的基本思想。

斯坦福大學教授喬·博勒（Jo?Boaler）的著作《這才是數(shù)學》，該書提出將數(shù)學可視化，設計開放性數(shù)學作業(yè)，不留家庭作業(yè)等觀點。這是“視頻數(shù)學”的源頭。

在研究上述著作的基礎上，筆者還研讀了大量與“至簡數(shù)學”相關的心理學、教育學、信息學、數(shù)學及數(shù)學教育等文獻，發(fā)現(xiàn)“讓學生簡單地學數(shù)學”主要有以下策略：通過“具身數(shù)學”讓數(shù)學具身化、通過“圖畫數(shù)學”讓數(shù)學圖片化、通過“視頻數(shù)學”讓數(shù)學可視化、通過“游戲數(shù)學”讓數(shù)學娛樂化、通過“手工數(shù)學”讓數(shù)學模型化、通過“故事數(shù)學”讓數(shù)學情境化、通過“史料數(shù)學”讓數(shù)學文化化、通過“測量數(shù)學”讓數(shù)學數(shù)量化、通過“列舉數(shù)學”讓數(shù)學數(shù)字化、通過“實驗數(shù)學”讓數(shù)學實驗化，等等。這些形式都能實現(xiàn)讓學生簡單地學數(shù)學的目標，都能讓學生在數(shù)學課堂上輕松地理解數(shù)學概念、掌握運算法則、理清數(shù)學關系以及建構(gòu)數(shù)學模型，學生通過具身認知、圖像感知及建立聯(lián)結(jié)等方式自然而然地獲得數(shù)學認知與發(fā)展。

注：本文系中山市教育科研2020年度重點立項課題“‘至簡數(shù)學的理論與實踐研究”（課題編號：A2020019）的階段性成果。

責任編輯 羅 峰