王 安,楊 雨

(1.平頂山學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 平頂山 467036；2.平頂山學院 軟件學院，河南 平頂山 467036)

0 引言

灰色系統(tǒng)理論是1982年中國學者鄧聚龍教授創(chuàng)立的解決“小樣本、貧信息”不確定系統(tǒng)問題的新學說[1].吳利豐為了降低模型的擾動，構(gòu)建了Caputo型分數(shù)階灰色預測模型，并設(shè)計了信息優(yōu)先的規(guī)則[2].孟偉建立了分數(shù)階灰色預測模型，并設(shè)計了階數(shù)優(yōu)化的算法[3].惠志昊等人優(yōu)化了灰色預測模型，并對平頂山市基礎(chǔ)教育學齡人口進行預測[4].20世紀國外學者U.Kumar、V.K.Jain使用灰色馬爾可夫模型結(jié)合了灰色模型和滾動機制以及奇異譜分析(SSA)，預測印度的能源的消耗[5].Chen Zhiqiang等人在能源管理工程采用了灰色GM(1,1)預測模型，為長期預測問題提供更好的預測優(yōu)勢.利用中國能源數(shù)據(jù)庫對改進的GM(1,1)模型的預測性能進行了驗證,并與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和時間序列的結(jié)果進行了比較，實驗結(jié)果顯示明顯提高了灰色預測的精度模型[6].Wang Jianzhou等人用多周期Hubbert模型對我國天然氣年產(chǎn)量進行了預測,此外，還提出了小樣本有效滾動GM(1,1)，實驗結(jié)果為我國的供需缺口將越來越大[7].分數(shù)階累積GMC(1,1)模型，對原始數(shù)據(jù)的有效性來優(yōu)化，該模型能較好地模擬，與傳統(tǒng)的灰色預測模型相比，具有顯著的預測性能[8].Yang Yang和Xue Dingyu利用分數(shù)階累積法去建立區(qū)間灰數(shù)的灰色預測模型，與整數(shù)階模型相比，該方法有好的建模和預測性能，可應用于小批量區(qū)間歷史工業(yè)序列樣本預測[9].Wei Baolei等人提出了單變量離散灰色多項式模型，并設(shè)計了自適應選擇模型結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明了該方法的有效性[10].吳利豐應用最小二乘法的攝動理論解釋了累積生成算子違背了灰色新信息優(yōu)先原則系統(tǒng)論，提出了一種新的分數(shù)階累積灰色系統(tǒng)模型，實例計算結(jié)果與傳統(tǒng)的預測方法相比，具有非常顯著的預測性能[11].Mao Shuhua等人認為經(jīng)典的GM(1，1)模型有以下缺點：它不能反映新的信息優(yōu)先原則，如果是為了獲得理想的建模效果，原始數(shù)據(jù)必須滿足比率要求[12].王安等人先后設(shè)計了灰色組合優(yōu)化模型[13-14]，以及一類新的灰色耦合模型[15]，并通過算例證明了其有效性.

在大量的數(shù)據(jù)中，如何提取有價值的數(shù)據(jù)，利用高質(zhì)量的數(shù)據(jù)，構(gòu)建高效的數(shù)學模型已成為當今研究的重要課題，筆者提出了一種基于遺傳算法的分數(shù)階灰色預測模型，該方法是提高模型精度，拓展模型的應用范圍的一種嘗試，通過算例驗證了該模型的有效性.

1 模型的建立與檢驗

分數(shù)階灰色預測模型是利用數(shù)據(jù)建立分數(shù)階預測模型，然后設(shè)計階數(shù)優(yōu)化的動態(tài)模型，先把原始數(shù)據(jù)序列進行分數(shù)階累加，然后對分數(shù)階累加逐個累加.根據(jù)分數(shù)階累加序列進行建模，最后對階數(shù)進行優(yōu)化，使得分數(shù)階灰色預測模型精度得到提高.具體的分數(shù)階預測模型的建立過程如下：

定義1[3]令X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}為原始數(shù)據(jù),對X(0)進行分數(shù)階累加，r∈R+,X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))是X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))的r階累加生成序列，其中，

k=1,2,…,n.

稱xr-1(k)+az(r)(k)=b為分數(shù)階灰色預測模型，其中:

(1)

分數(shù)階灰色預測模型x(r-1)(k)+az(r)(k)=b的時間響應序列為:

k=2,3,…,n.

(2)

還原值為:

k=2,3,…,n.

(3)

根據(jù)分數(shù)階灰色預測模型的原理，算法步驟可概括如下：

步驟1 生成r階累加序列和r階累減序列

設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),r∈R+,X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))是X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))的r階累加生成序列，其中:

k=1,2,…,n.

其中:

X(-r)=(x(-r)(1),x(-r)(2),…,x(-r)(n))為X(0)的r階累減生成算子，其中:

x(-r)(k)=

k=1,2,…,n.

步驟2 建立一階微分方程

其為分數(shù)階算子GM(1,1)模型白化微分方程.

步驟4 求出分數(shù)階GM(1,1)的時間響應式

k=2,3,…,n.

步驟5 將數(shù)值進行r階次累減還原，得到預測值.

k=2,3,…,n.

步驟6 模型檢驗

殘差檢驗公式為:

(4)

相對誤差檢驗公式為:

(5)

其中,平均絕對百分比誤差檢驗公式為:

(6)

基于遺傳算法的分數(shù)階灰色預測模型階數(shù)優(yōu)化的算法流程圖見圖1.

圖1 基于遺傳算法的分數(shù)階灰色預測模型階數(shù)優(yōu)化的算法流程

2 算例分析

根據(jù)河南省統(tǒng)計年鑒中2000—2017年河南省的能源消費數(shù)據(jù)，利用構(gòu)建的基于遺傳算法優(yōu)化的分數(shù)階灰色預測模型和經(jīng)典的灰色預測模型進行對比，見表1.利用遺傳算法，進行全局搜索最優(yōu)解，在迭代了20代后，得到階數(shù)為r=0.727 15時是最優(yōu)解，如圖2和圖3，與上述之前的誤差進行對比,見表2.

表1 5個模型的河南省能源需求量的預測結(jié)果 萬t

圖2 分數(shù)階灰色預測模型基于遺傳算法階數(shù)r進化過程

圖3 分數(shù)階GM(1,1)階數(shù)優(yōu)化的相對誤差總和進化過程

表2 5個模型的河南省能源需求量的相對誤差對比

研究結(jié)論如下：根據(jù)2004—2017年的河南省能源消耗量數(shù)據(jù)，進行建模仿真，利用遺傳算法在全局尋找最優(yōu)近似解r=0.727 15之后，精度相比之前在單位0.1遞增去嘗試分數(shù)階灰色預測模型的最好階數(shù)為r=0.7時提高了0.07%的精度，利用遺傳算法能夠快速準確地解決分數(shù)階灰色預測模型階數(shù)的優(yōu)化問題.

最優(yōu)分數(shù)階灰色預測模型與其他灰色預測模型相比較平均相對誤差為1.81%最小,預測的模擬精度最高.利用最優(yōu)分數(shù)階灰色預測模型對河南省未來8年能源需求量進行預測.預測結(jié)果見圖4和表3.

圖4 河南省未來8年能源需求量的預測

表3 河南省未來8年的能源需求量的預測值 萬t

從圖4和表3可以看出，2018—2025年河南省的能源需求量呈現(xiàn)上升的趨勢，分別為23 610.21、23 883.87、24 134.48、24 364.33、24 575.35、24 769.23、24 947.42、25 111.21.

3 結(jié)論

構(gòu)建了基于遺傳算法的分數(shù)階灰色優(yōu)化模型.通過算例發(fā)現(xiàn):相對已有的灰色預測模型，分數(shù)階灰色優(yōu)化模型的預測結(jié)果精度更高.

分數(shù)階灰色優(yōu)化模型從灰色預測模型的白化方程出發(fā)，將GM(1,1)模型的階數(shù)1推廣到階數(shù)r，并且對階數(shù)r用遺傳算法進行優(yōu)化，利用優(yōu)化后的階數(shù)進行預測，精度得到了明顯提升.因此,針對不同的分數(shù)階灰色預測模型階數(shù)r的優(yōu)化，以及分數(shù)階灰色模型的建模機制的改進等問題，值得進一步研究.