邵瀚雍

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

一般運(yùn)動是剛體運(yùn)動學(xué)中最復(fù)雜的問題，因此國內(nèi)的理論力學(xué)教材大多對此介紹較少. 且由于剛體運(yùn)動學(xué)教學(xué)難度大，課時少，故多數(shù)同學(xué)跳過了剛體一般運(yùn)動的內(nèi)容，但這恰是將剛體運(yùn)動轉(zhuǎn)化成代數(shù)知識的極佳機(jī)會，不得不說是一種遺憾.

事實上，剛體的一般運(yùn)動總能分解成基點的運(yùn)動和繞過該點某軸線的定軸轉(zhuǎn)動，國外教材對此用代數(shù)語言給出了證明，但也沒有就代數(shù)理論和剛體運(yùn)動的關(guān)聯(lián)進(jìn)行深入的探討.

本文從正交矩陣講起，力圖用清晰簡明的語言，論證使用矩陣描述剛體運(yùn)動的合理性和優(yōu)越性，并借用代數(shù)思想，將剛體運(yùn)動和線性代數(shù)的知識聯(lián)系起來，希望能對理論力學(xué)的相關(guān)教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)起到一定的補(bǔ)充和幫助作用.

1 參考系

實驗室參考系，即觀者所在的慣性參考系；本體參考系，即固連在剛體上，并與之共同運(yùn)動的參考系，一般是非慣性系.

固連在兩種參考系上的坐標(biāo)系各有利弊. 在實驗室坐標(biāo)系中，基矢對時間的微商為零，便于建立動力學(xué)方程，但許多力學(xué)量在該系中較復(fù)雜并不斷變動；在本體坐標(biāo)系中，這些力學(xué)量雖然直觀簡單，恒定不變，但其坐標(biāo)軸的基矢處在變動之中.

在研究剛體定點轉(zhuǎn)動的問題時，我們需要尋找這兩種系之間的關(guān)聯(lián)，恰當(dāng)使用它們描述剛體的運(yùn)動[1].

2 剛體的一般運(yùn)動

剛體在空間不受約束自由運(yùn)動時，其自由度s=6. 一般選定廣義坐標(biāo)(xc,yc,zc,φ,θ,ψ)描述剛體的狀態(tài)，其中xc、yc、zc為剛體質(zhì)心在實驗室系中的笛卡爾坐標(biāo)，φ、θ、ψ為剛體的本體系和實驗室系坐標(biāo)變換對應(yīng)的歐拉角.

剛體一般運(yùn)動有4類特殊情況：平動、定軸轉(zhuǎn)動、平面平行運(yùn)動、定點轉(zhuǎn)動. 雖然它們形式各異，但可以證明如下兩點[2]：

1) 定點轉(zhuǎn)動總可以等效于繞過該定點某一軸線的定軸轉(zhuǎn)動.

2) 剛體一般運(yùn)動總可以分解為某點的運(yùn)動和繞過該點某軸線的旋轉(zhuǎn).

換言之，總可以將復(fù)雜的一般運(yùn)動，分解成過一點的定軸轉(zhuǎn)動(或由多個定軸轉(zhuǎn)動合成)與該點的運(yùn)動.

第1點所談到的內(nèi)容，正是剛體運(yùn)動歐拉定理. 該定理指出，對于基點固定的剛體，其運(yùn)動可以分解為繞某個或多個轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動. 根據(jù)歐拉運(yùn)動定理，我們可以將之推廣，即第2點，沙勒定理. 該定理指出，剛體的最廣義位移等價于一個平移和一次旋轉(zhuǎn). 它們是本文的重點，在證明前，需要先通過代數(shù)的語言，合理描述剛體的運(yùn)動，以便于后續(xù)的證明.

3 正交矩陣

在線性代數(shù)理論中，正交矩陣A被定義為行向量、列向量皆正交且值為1的方陣[3]，即滿足如下的性質(zhì)(E為單位陣)：

ATA=AAT=E

(1)

矩陣乘法等價于一次線性變換，換句話說，在數(shù)學(xué)里這種特殊的變換(正交變換)可以保持空間中任意兩點的歐式距離不變. 這意味著若將某向量v乘上正交矩陣A，得到的新向量長度不變，且空間的原點不變. 我們通常將這種變換稱為歐拉變換[4].

此外，由于正交矩陣滿足：

ATA=A-1A=E

(2)

正交變換一定存在逆變換，而且該逆變換很容易寫出：A-1=AT. 正交矩陣的這些特殊性質(zhì)在描述剛體運(yùn)動時展現(xiàn)出極大的優(yōu)越性，因此，我們常用它描述剛體運(yùn)動.

4 剛體運(yùn)動的代數(shù)表達(dá)[2]

從物理上講，根據(jù)沙勒定理，剛體的運(yùn)動可以分為兩種：定點轉(zhuǎn)動和點的運(yùn)動. 也就是第2節(jié)中提到的6個廣義坐標(biāo). 而上一節(jié)中提到的正交變換——?dú)W氏距離不變的線性變換，恰好可以準(zhǔn)確反映剛體的定點轉(zhuǎn)動. 換言之，剛體的定點旋轉(zhuǎn)過程可以由一次歐拉變換來描述. 容易得知，這種變換對應(yīng)的正交矩陣R應(yīng)是一個含時矩陣，即R(t).

僅僅描述旋轉(zhuǎn)過程是不夠的，還需要描述點的運(yùn)動. 易知，描述該運(yùn)動只需在旋轉(zhuǎn)后添上一個簡單的平移矢量p即可.

從數(shù)學(xué)上講，剛體的運(yùn)動，可以反過來看作是坐標(biāo)軸的運(yùn)動. 因此，假設(shè)兩組正交基分別為[e1,e2,e3] 和 [e′1,e′2,e′3]. 在這兩組基下，某向量v在這兩組基下的值分別為[a1,a2,a3]T和[a′1,a′2,a′3]T.

因此有

(3)

于是，得到

(4)

已知a=[a1,a2,a3]T，a′=[a′1,a′2,a′3]T且定義如下：

(5)

則可以將上式寫為

a=Ra′

(6)

稱R是旋轉(zhuǎn)矩陣. 可以看到，R矩陣是由兩個標(biāo)準(zhǔn)正交基相乘而來，在線性代數(shù)中可以很容易證明，這樣得到的矩陣R是正交矩陣，或者反過來說，任何正交矩陣都可以拆分為兩個標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣乘積.

因此，旋轉(zhuǎn)矩陣R恰好是正交矩陣，而正交矩陣對應(yīng)的變換也恰好是兩組基之間的旋轉(zhuǎn)變換，也就是實驗室系和本體系的歐拉變換；并且，任意實正交矩陣都能看作為一個旋轉(zhuǎn)矩陣. 值得一提的是，旋轉(zhuǎn)矩陣的集合稱之為特殊正交群：

SO(n)={R∈n×n|RRT=E，detR=1}

這個正交群可以描述n維空間的旋轉(zhuǎn)變換，在此只考慮n=3的情況.

再考慮定點的運(yùn)動，可以將剛體的運(yùn)動在數(shù)學(xué)上表示為

a′=RTa+p

(7)

數(shù)學(xué)的正交矩陣(變換)，對應(yīng)著歐式空間中距離不變的線性變換，而物理的旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn))，對應(yīng)著剛體運(yùn)動時的任意兩點保持相對距離不變的屬性. 這樣，在本節(jié)和上一節(jié)中已經(jīng)論證了剛體運(yùn)動的代數(shù)表達(dá)，這種代數(shù)的表達(dá)方式是相當(dāng)合適且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

5 旋轉(zhuǎn)變換的本征問題

剛體的定點轉(zhuǎn)動定理指出，對于基點固定的剛體，其一般運(yùn)動都可以分解為繞某個或多個軸的轉(zhuǎn)動.

根據(jù)定理，假設(shè)轉(zhuǎn)軸對應(yīng)的空間列向量為p，由于轉(zhuǎn)軸并不會因為剛體轉(zhuǎn)動而發(fā)生任何變化(剛體本身就在繞軸轉(zhuǎn)動)，因此，當(dāng)發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換時，p應(yīng)當(dāng)保持不變. 這對應(yīng)著數(shù)學(xué)中的不變子空間理論. 請看定理[4]：

設(shè)φ是線性空間V上的線性映射(變換)，而總能找到V的子空間U，使得

φ(U)?U

即子空間U的任意元素p在線性映射φ的像Imφ中依然是p本身，稱U為φ的不變子空間.易得，φ總有兩種特殊的不變子空間U，分別是零子空間和全空間V，并稱之為平凡子空間.

可以發(fā)現(xiàn)，在三維旋轉(zhuǎn)映射R下，有一個我們最關(guān)注的非平凡不變子空間，這個子空間恰好就是轉(zhuǎn)軸所處直線對應(yīng)的子空間.

上述內(nèi)容也可以在拓?fù)淅碚撝欣斫獬捎成涞牟粍狱c原理(Brouwer’s Fixed-point Theorem).

(8)

因此，由Rp=1p，得知p為旋轉(zhuǎn)變換φ的本征函數(shù)，λ為變換φ的本征值，這恰好就是線性代數(shù)中熟知的矩陣特征值問題：

Ap=λp

(9)

所以若要證明歐拉定理，可以將定理的證明等價于證明旋轉(zhuǎn)矩陣R的特征值組中必然有一特征值λ1=1.

本征值與本征函數(shù)對刻畫線性系統(tǒng)的普遍性質(zhì)和演化規(guī)律有著重要意義. 它是所有線性體系中最根本的特點. 如果能得到線性體系對應(yīng)的本征值與本征函數(shù)，就可以通過線性組合的方法描述或解釋這一體系更為普遍的規(guī)律.

6 歐拉運(yùn)動定理的證明和推論

歐拉運(yùn)動定理的論證過程在H.Goldstein所著的Classical Mechanics[6]和Beatty M.F. 所著的Principles of Engineering Mechanics: Kinematics中都有著詳細(xì)的描述. 兩本書巧妙利用矩陣和線性代數(shù)理論證明了歐拉定理，而我們的證明過程也借鑒了其中的思想.

設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣為R，歐拉定理中所描述的軸線為p，則有：Rp=p.

根據(jù)上一節(jié)中內(nèi)容，若需要證明旋轉(zhuǎn)過程中存在始終不變的軸線p，則等價于證明矩陣R具有特征值λ1=+1.

容易證明旋轉(zhuǎn)矩陣R為正交矩陣，所以由RTR=RRT=E，可得：

(R-E)RT=E-RT

(10)

|R-E||RT|=|E-RT|

(11)

設(shè)旋轉(zhuǎn)前后兩組正交基的基點重合于剛體的定點，且初始基為標(biāo)準(zhǔn)正交基. 則可以得出初始旋轉(zhuǎn)矩陣為三階單位陣E.因此，根據(jù)矩陣乘法，后續(xù)的旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式的值|R|和|RT|仍為+1.

由式(11)可得

|R-E|=|E-RT|=|E-RT|T=|E-R|

(12)

因此，有

|R-E|=|E-R|=|-1(R-E)|

(13)

而

|-1(R-E)|=(-1)n|R-E|

(14)

其中n為矩陣維數(shù)，也是空間維數(shù). 所以得到

|R-E|=(-1)n|R-E|

(15)

剛體所處為三維空間，n=3，所以

|R-E|=-|R-E|=0

(16)

最終得出|R-E|=0，即矩陣R至少有一個特征值λ1=+1，歐拉運(yùn)動定理得證.

需要多談兩個問題：

其一[1]，如果剛體所處空間不為奇數(shù)維度，而是偶數(shù)維度，則得不到|R-E|=0的結(jié)論，也就是說歐拉運(yùn)動定理在二維、四維等偶數(shù)維空間失效. 所以，平面內(nèi)不存在歐拉定理，因為當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動時，任何位于平面內(nèi)的矢量均會發(fā)生改變，唯有沿轉(zhuǎn)軸方向的矢量不發(fā)生改變，但此時它與平面垂直，并不在平面內(nèi).

這是一個相當(dāng)有意思的推論，這意味著我們所處的三維空間并不是隨便確定的.

其二，是旋轉(zhuǎn)矩陣R是否還存在別的特征值？答案是肯定的. 利用矩陣的久期方程：

|R-λE|=0

(17)

可以發(fā)現(xiàn)，這是一個關(guān)于λ的三次方程. 高斯的代數(shù)基本定理指出，該一元三次方程在復(fù)數(shù)域中必然存在三個根. 在文獻(xiàn)[7]中，我們可以根據(jù)矩陣的跡tr(R)求得另外兩個特征值分別為

λ2,3=e±iΩ

(18)

也就是說，旋轉(zhuǎn)矩陣的另外兩個復(fù)特征值的輻角，恰好為歐拉定理中繞固定軸線p的旋轉(zhuǎn)角Ω.

這里給出兩個特殊情況：

1)λ1,2,3=+1：此時Ω=0，意味著剛體保持了初始時刻的狀態(tài)，為平凡解.

2)λ1=+1;λ2,3=-1：此時Ω=π，意味著剛體繞軸轉(zhuǎn)過了180°，剛體任意兩點之間的矢量p′都做了關(guān)于p的空間坐標(biāo)反演操作.

而沙勒定理是歐拉定理的一個直接推論. 該定理的證明如下.

剛體的一般運(yùn)動可以分解為剛體中某一點的運(yùn)動并疊加上剛體對該點的定點運(yùn)動. 而根據(jù)歐拉運(yùn)動定理，后一運(yùn)動可以認(rèn)為是繞過該點的某一軸線的轉(zhuǎn)動. 因此，剛體的一般運(yùn)動可以分解為某點的運(yùn)動和繞過該點某軸線的旋轉(zhuǎn). 沙勒定理得證.

至此，我們完成了剛體一般運(yùn)動中沙勒定理的證明，論證了剛體的任意運(yùn)動都可以分解為某點運(yùn)動和定軸轉(zhuǎn)動.

矩陣語言雖然簡練，但不能直觀反映物理實質(zhì). 這里需要尋找一種物理的描述辦法刻畫剛體的運(yùn)動，這就是所謂的歐拉角，也是前面所述的3個廣義坐標(biāo)φ、θ、ψ.

7 歐拉角

在天體和力學(xué)領(lǐng)域里，為了完備、清晰地刻畫剛體運(yùn)動，分別用了章動角θ、進(jìn)動角φ和自轉(zhuǎn)角ψ來描述.這些稱呼來自陀螺的定點運(yùn)動，如圖1所示.

圖1 陀螺定點運(yùn)動示意圖

為了便于描述歐拉角的具體意義，可將剛體的定點轉(zhuǎn)動通過坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，依次分成3個步驟，如圖2—圖4，這里在每個步驟后面都寫上了對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣R. 每一次的旋轉(zhuǎn)并不是任意的，它們都可以在圖1的陀螺運(yùn)動中找到對應(yīng)，轉(zhuǎn)動順序是進(jìn)動、章動、自轉(zhuǎn)，如下所示.

1) 繞Oz0軸進(jìn)動φ：圖2(a)→(b)

圖2 進(jìn)動示意圖

從Ox0y0z0到Ox′y′z′的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(19)

2) 繞Ox′軸(節(jié)線ON)章動θ：圖3(a)→(b)

圖3 章動示意圖

從Ox′y′z′到Ox″y″z″的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(20)

3) 繞Oz″軸自轉(zhuǎn)ψ：圖4(a)→(b)

圖4 自動示意圖

從Ox″y″z″到Oxyz的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(21)

經(jīng)過上面的三次旋轉(zhuǎn)變換，可以得到描述剛體的任意旋轉(zhuǎn)的總變換矩陣：

R*=RψRθRφ

(22)

由前面的結(jié)論可知，所有的變換矩陣都是正交矩陣，均由變換前后的兩組基底相乘而來(此處為一組基的轉(zhuǎn)置和另一組基之間的矩陣乘法).

(23)

將不同的角速度對應(yīng)的基矢利用旋轉(zhuǎn)矩陣得到的函數(shù)關(guān)系展開化簡，可以得到如下的結(jié)論：

ω在實驗室系的坐標(biāo)軸投影為

(24)

ω在本體系的坐標(biāo)軸投影為

(25)

這樣，我們得到了剛體定點轉(zhuǎn)動中繞某一軸線旋轉(zhuǎn)的角速度ω的實際物理意義，即可以把這一定軸轉(zhuǎn)動對應(yīng)的轉(zhuǎn)角Ω分解到3個有意義的歐拉角(也就是φ、θ、ψ)上去.

不過，需要強(qiáng)調(diào)的是，在導(dǎo)出歐拉角的時候，所經(jīng)歷的三次連續(xù)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)軸的選取順序其實存在著隨意性. 只要每次選定的旋轉(zhuǎn)軸不與上一次相同，便可以任意選取. 因此，在右手系中我們有3×2×2=12種不同的旋轉(zhuǎn)方法，這稱為歐拉角的順規(guī).

大多數(shù)的理論力學(xué)教材所采用的是x順規(guī)，即第二次旋轉(zhuǎn)繞x軸(前文中的節(jié)線ON)，而多數(shù)的量子物理、核物理的教材所采用的是y順規(guī)，即第二次旋轉(zhuǎn)繞y軸.

在工程中，為了彌補(bǔ)前兩種順規(guī)在變換前后的坐標(biāo)系區(qū)分程度低的缺點，常采用第三種常見順規(guī)：xyz順規(guī)[2]，這樣得到的3個角就分別是飛機(jī)的偏航角(Yaw)、俯仰角(Pitch)和滾動角(Roll).

8 總結(jié)

在本文中，我們介紹了正交矩陣在描述剛體運(yùn)動的優(yōu)越性，并將之應(yīng)用到剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中，隨后利用旋轉(zhuǎn)矩陣證明了剛體運(yùn)動的沙勒定理，這意味著復(fù)雜的剛體一般運(yùn)動可以由定軸轉(zhuǎn)動和點的運(yùn)動來描述. 之后，我們從物理給出了剛體定點運(yùn)動的圖像，并用歐拉角來描述這樣的運(yùn)動. 剛體的運(yùn)動學(xué)在數(shù)學(xué)上和物理上都全部得以描述.