劉成業(yè)　汪洋　周穎

【摘 要】本文首先介紹了需要進行位置矩陣求解歐拉角的應用場合，接著對位置矩陣和歐拉角的定義進行了描述。然后推導了從位置矩陣到歐拉角的轉(zhuǎn)換公式，并提出兩種從位置矩陣求解歐拉角的計算方法，分別為下三角矩陣求解方法和上三角矩陣求解方法。同時說明了上述方法的優(yōu)缺點及適用條件。最后說明了一類特殊類型的位置矩陣，分析其對應的歐拉角無唯一解的原因并提出相應的求解方法。

【關(guān)鍵詞】位置矩陣；歐拉角；計算方法

0 引言

在進行多體動力學仿真時通常需要將三維設(shè)計軟件中的數(shù)模導入到多體仿真軟件中[1]，以CATIA數(shù)模導入ADAMS軟件為例，通常有兩種方法，第一種方法是將零件手動依次導入到ADAMS軟件中[2]。第二種方法是通過SIMDESIGNER軟件將組件導入到ADAMS中[3]。第一種方法首先需將零件的局部坐標系轉(zhuǎn)換到組件的全局坐標系中并依次手動導入，存在工作量大的問題。第二種方法首先需要購買SIMDESIGNER軟件，同時在實現(xiàn)零件導入的過程中同樣存在著零件名稱與數(shù)模不一致的情況[4]。經(jīng)研究可以對第一種方法進行擴展，通過自動提取CAITA組件中的位置矩陣，接著將位置矩陣轉(zhuǎn)換為ADAMS中可以識別的歐拉角，最后通過編寫CMD命令實現(xiàn)零件的批量導入，本文僅對上述方法中的位置矩陣轉(zhuǎn)換為歐拉角的求解方法進行分析求解。

1 位置矩陣和歐拉角的定義及轉(zhuǎn)換

1.1 CAITA位置矩陣的定義

在CAITA中每個組件都定位在產(chǎn)品的三維坐標系統(tǒng)所確定的三維空間中，位置信息由Position屬性來定義[5]。物體的位置信息由一個長度為12的數(shù)組來定義，該數(shù)組結(jié)構(gòu)如下所示（設(shè)數(shù)組變量為M）：

前九個數(shù)值組成了一個3x3的矩陣，它描述了物體的旋轉(zhuǎn)信息[6]，最后3個數(shù)值描述了物體的原點位置。整個數(shù)組描述了一個相對于絕對坐標的三維坐標（T，U，V，W）系統(tǒng)[7]。

1.2 ADAMS中的歐拉角的定義

根據(jù)歐拉轉(zhuǎn)動定理，剛體在空間旋轉(zhuǎn)時，其連體坐標系可以相對于自身旋轉(zhuǎn)后的某個坐標軸旋轉(zhuǎn)一定角度（剛體固定，Body Fixed），也可以相對于自身原來的坐標系旋轉(zhuǎn)一定角度（空間固定，Space Fixed）[8]。在旋轉(zhuǎn)時，可以繞不同的坐標軸旋轉(zhuǎn)，也可以繞著相同的坐標軸旋轉(zhuǎn)，這樣就形成了一個旋轉(zhuǎn)序列，在ADAMS/View中，繞x軸旋轉(zhuǎn)稱為1旋轉(zhuǎn)，繞y軸旋轉(zhuǎn)稱為2旋轉(zhuǎn)，繞z軸旋轉(zhuǎn)稱為3旋轉(zhuǎn)[9]，這樣就可以形成多個旋轉(zhuǎn)序列（Rotation Sequence），如313、213、123等。如果按照313剛體固定的旋轉(zhuǎn)序列來旋轉(zhuǎn)坐標系，則旋轉(zhuǎn)過程如圖1所示。圖中的旋轉(zhuǎn)序列稱為剛體固定313旋轉(zhuǎn)序列[10]，這種旋轉(zhuǎn)序列的三次旋轉(zhuǎn)的角度稱為歐拉角。

1.3 歐拉角和位置矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系

根據(jù)空間變換矩陣，剛體固定的313旋轉(zhuǎn)序列可以描述為下式：

式中α為首次繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度，β為第二次繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度，？酌為第三次繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度。設(shè)sinα=u，cosα=v，sinβ=w，cosβ=x，sin？酌=y，cos？酌=z通過上次三次變換得到的位置矩陣應與CAITA中的位置矩陣中旋轉(zhuǎn)部分矩陣一致，即：

M（0） M（1） M（2）M（3） M（4） M（5）M（6） M（7） M（8）？圳vz-uxy uz+vxy wy-vy-uxz -uy+vxz wz uw -vw x（3）

公式3即為ADAMS軟件中的歐拉角和CATIA軟件中的位置矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系，通過該公式即可對歐拉角進行求解。

2 歐拉角的求解方法

2.1 下三角求解方法

觀察公式3的左下角較為簡潔，從左下角的對應關(guān)系可以得出：

上式可以進一步得到：

由于三角函數(shù)的特性，上式得到的α、β、？酌三個值的解存在解的不唯一性，可以將求解得到的幾組歐拉角數(shù)值代入公式3中進行驗算即可唯一確定歐拉角的數(shù)值。

上述方法的優(yōu)點是計算簡單，可以迅速通過編程實現(xiàn)自動求解，缺點是若有一個值為零，則上述方法無解。

2.2 上三角求解方法

在下三角求解方法不滿足求解條件的情況下從公式3的右上角對應關(guān)系入手，假設(shè)vz=l，vy=m，uz=n，uy=p，可以得到方程組：

進而得到：

上述公式可以用來判斷位置矩陣是否正確，從上式可以解出？酌的值進而得到：y，z則u、v可以得到，解出α值，由cosβ=x=M（8）可以解出β的值。與下三角求解方法的情況相同，由于三角函數(shù)的特性，上式得到的α、β、？酌三個值的解存在解的不唯一性，可以將求解得到的幾組歐拉角數(shù)值代入公式3中進行驗算即可唯一確定歐拉角的數(shù)值。

上述方法的優(yōu)點是計算方法易通過編程實現(xiàn)，在下三角求解方法不滿足適用條件時可以完成計算，缺點是計算公式略微繁瑣，同時當-M（1）-M（8）·M（3）=0且-M（0）+M（8）·M（4）=0時無解。

3 CAITA中特殊類型的位置矩陣

CAITA的位置矩陣中存在著一類特殊的位置矩陣，其對應的歐拉角有無窮多個解，因而采用常規(guī)的計算方法無法完成歐拉角的求解。本節(jié)對該類矩陣的類型進行描述，分析產(chǎn)生無窮多組解的原因，并提出針對這種矩陣的求解方法。

該類矩陣如式8所示，

由公式3可以得到下列關(guān)系：

上式中β的值可以確定，后兩組等式可以轉(zhuǎn)換為：

4 小結(jié)

本文首先推導了從位置矩陣到歐拉角的轉(zhuǎn)換公式，接著提出下三角矩陣求解方法、上三角矩陣求解方法兩種從位置矩陣求解歐拉角的計算方法，并對兩種方法的優(yōu)缺點及應用條件進行了闡述，最后說明了一種對應的歐拉角無唯一解的位置矩陣并分析其原因、提出相應的解法。得到的結(jié)論如下：

A.歐拉角與位置矩陣的對應關(guān)系見公式3。

B.求解歐拉角的下三角的計算方法適用條件為M（5）、M（7）均不為零，該方法計算公式簡單，可通過編程迅速求解。

C.求解歐拉角的上三角的計算方法適用條件為-M（1）-M（8）·M（3）≠0或-M（0）+M（8）·M（4）≠0，該方法作為下三角求解方法不適用時的補充，也可通過編程迅速求解。

D.類似公式8的位置矩陣無唯一對應的歐拉角，上述兩種類型的位置矩陣均可通過假定？酌=0來獲得歐拉角的唯一解。

【參考文獻】

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[10]李軍，等編.ADAMS實例教程[M].北京理工大學出版社，2002.

[責任編輯：朱麗娜]