王耀衛(wèi)

(仰恩大學(xué) 數(shù)學(xué)系，福建 泉州 362014)

0 引言

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)的精髓，是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識的紐帶。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從根本上講就是獲得數(shù)學(xué)的思想和方法，并用以指導(dǎo)工作和生活。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏深刻地指出：學(xué)生們在校期間接受的數(shù)學(xué)知識，因畢業(yè)進(jìn)入社會后沒有機(jī)會應(yīng)用這種作為知識的數(shù)學(xué)，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神,數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身[1]。

化歸思想方法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法被廣泛應(yīng)用。微積分教材就是以化歸思想方法為主線將微積分基本理論知識有序編排。這很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，同時也符合知識發(fā)現(xiàn)和問題解決的教學(xué)規(guī)律，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和邏輯思維能力。本文通過若干事例展現(xiàn)化歸思想方法在解決微積分問題中的具體應(yīng)用，并給出其使用時的一般原則，便于師生學(xué)習(xí)和掌握。

1 化歸思想方法的基本思想

“化歸”即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，其基本思想是：把待解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，以求得解決[2-3]。轉(zhuǎn)化的手段稱為化歸的途徑，往往借助于其他的數(shù)學(xué)方法，如換元法、比較法、歸納法、構(gòu)造法等。化歸模式見圖1。

圖1 化歸模式Fig.1 Reduction Model

2 應(yīng)用事例

2.1 函數(shù)的極限問題

這部分內(nèi)容以基本初等函數(shù)極限情況和極限四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則為基礎(chǔ)，其他函數(shù)的極限問題則是在化歸思想方法的引導(dǎo)下通過具體的方法化為以上情況解決的。

2.2 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題

此類問題以一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本公式、導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則和一元復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則為基礎(chǔ)，其他情況則以化歸思想方法為指導(dǎo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化而求解。

例3[4](隱函數(shù)求導(dǎo)問題)方程x2+3xy+y2=1確定y=f(x)，求y′。

通過對方程“兩邊求導(dǎo)”將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的基本問題，再通過求解“關(guān)于y′”的方程，得到y(tǒng)′，即，對方程x2+3xy+y2=1兩端自變量x求導(dǎo)數(shù)，有

例4(求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)問題)求二元函數(shù)z=x3+6x2y-y3的一階偏導(dǎo)數(shù)。

此問題是通過將“二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義”轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題解決的。

2.3 積分問題

1)一元函數(shù)的不定積分問題。這類問題的求解以一元函數(shù)的不定積分基本公式和基本運(yùn)算法則為基礎(chǔ)，其他情況則是通過“換元法”“分部積分法”等方法轉(zhuǎn)化為直接積分問題而求解。

2)直角坐標(biāo)系下二元函數(shù)的積分問題。這類問題通過利用“求平行截面面積為已知的立體體積”的方法將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，最后只需計算兩個一元函數(shù)定積分，即

以上只列舉了幾個主要應(yīng)用，除此之外還有將函數(shù)單調(diào)性和極值的判斷、最值的求解、曲線凹凸性的判斷等問題化歸為函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的問題，將平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積求解化歸為定積分問題，以及無窮積分的求解問題[6]等。

3 化歸的基本原則[1]

由于組成數(shù)學(xué)問題的要素之間相互聯(lián)系的方式多種多樣，化歸思想方法僅提供了解決數(shù)學(xué)問題的目標(biāo)方向，而在具體應(yīng)用時沒有一個統(tǒng)一的模式，需具體問題具體分析找出“未知”和“已知”之間的化歸途徑和方法。大量的解題實(shí)踐表明，為了實(shí)施有效化歸，遵守一些基本原則是有益的。

3.1 簡單化原則

一個數(shù)學(xué)問題可以看成是由一些數(shù)學(xué)對象按確定的數(shù)學(xué)關(guān)系合乎邏輯地組合而成的具有某種數(shù)學(xué)意義的系統(tǒng)或關(guān)系結(jié)構(gòu)。對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問題，人們總是力求使之簡單化，這即是解題化歸遵循的簡單化原則。具體來講就是：在研究解決復(fù)雜問題過程中，人們應(yīng)該考慮變換問題結(jié)構(gòu)，使之變得表現(xiàn)形式上簡單或處理方式上簡便，通過對這個結(jié)構(gòu)簡單的問題的求解，而獲得原問題的解決。

3.2 熟悉化原則

一個不易解決的問題朝哪個方向化歸，最自然的化歸方向莫過于向熟悉的問題、熟悉的方法化歸了，此即熟悉化原則。這就要求對學(xué)過的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法要盡可能地熟練掌握。

3.3 標(biāo)準(zhǔn)化形式原則

化歸的標(biāo)準(zhǔn)化形式原則是說將待解決的問題在形式上向該類問題的標(biāo)準(zhǔn)形式化歸。標(biāo)準(zhǔn)形式是指已經(jīng)建立起來的典型的、規(guī)范的數(shù)學(xué)模式。

3.4 低層次化原則

化歸的低層次化原則是說解決數(shù)學(xué)問題時應(yīng)盡量將高維空間待解問題化歸成低維空間的問題，高次數(shù)的問題化歸成低次數(shù)的問題，多元問題化歸成少元問題解決。比如：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的問題化歸成一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，二重積分的問題化歸成一元函數(shù)積分問題等。

4 結(jié)語

可以說，化歸思想方法始終貫穿于微積分教材，始終貫穿于微積分問題的整個解題過程[9]。授人以魚，不如授人以漁。在教學(xué)過程中，教師的任務(wù)不僅在于講授數(shù)學(xué)知識，更重要的是要介紹和傳授數(shù)學(xué)思想方法。教師及時啟發(fā)學(xué)生使用這些思想方法將有助于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力和自主學(xué)習(xí)能力。