谷曉培，劉建新

(天津大學 力學系，天津 300072)

0 引 言

從較大型民用客機的發(fā)展到高超聲速飛行器的研制過程中，人們發(fā)現(xiàn)層流邊界層和湍流邊界層的熱傳導系數(shù)和所產(chǎn)生的摩擦阻力相差很多。正確預測轉(zhuǎn)捩位置對飛行器的設計具有重要的意義。通過前人對轉(zhuǎn)捩問題的研究，一般認為，轉(zhuǎn)捩是由流動中的擾動失穩(wěn)導致的，主要可以分為三個具有不同特征的階段：感受階段、層流中擾動的演化階段、以及轉(zhuǎn)捩階段[1-2]。而感受性階段作為轉(zhuǎn)捩過程的第一個階段，決定了引起轉(zhuǎn)捩的不穩(wěn)定波的初始條件，包括頻率、幅值和相位。因此，要從科學意義上研究清楚轉(zhuǎn)捩過程，準確預測轉(zhuǎn)捩位置，邊界層的感受性是關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié)。除了感受性階段，線性穩(wěn)定性階段作為轉(zhuǎn)捩過程中相對尺度最長的階段也格外重要。在工程中可以使用eN方法來估計轉(zhuǎn)捩位置就是利用了線性穩(wěn)定性的這一特征。

已有研究[3]表明，在超聲速邊界層中存在著多個不穩(wěn)定特征模態(tài)，如Mack第一、第二模態(tài)。不同的模態(tài)之間可能相互轉(zhuǎn)化，而且有些模態(tài)的相速度接近于來流速度或者來流中聲波的傳播速度，這意味著這些模態(tài)可能與來流中渦波、熵波和聲波有緊密的聯(lián)系，因此超聲速邊界層的感受性問題比較復雜。其中Fedorov等[4-6]研究了超聲速邊界層對來流中快、慢聲波的感受性，提出了“同步”的概念來解釋高超聲速邊界層中的感受性過程。Fedorov和Khokhlov將邊界層前緣的離散模態(tài)分為快模態(tài)和慢模態(tài)。根據(jù)邊界層前緣感受性理論，來流中的快、慢聲波可以分別激發(fā)快、慢模態(tài)。他們對無黏穩(wěn)定性進行分析時發(fā)現(xiàn)，第二模態(tài)波的產(chǎn)生與快、慢模態(tài)的同步點有關(guān)。即在某些條件下，當快、慢模態(tài)發(fā)展到下游的某一位置，可能會具有相同的相速度，這個位置即為“同步點”。因為表征快速變化的波數(shù)實部相同，而波數(shù)的虛部αi＜＜1，兩個模態(tài)由于基本流的弱平行效應耦合起來，從而導致模態(tài)轉(zhuǎn)化。這就意味著在流場中需要同時存在快、慢模態(tài)。事實上，即便入口只引入一個模態(tài)的擾動也可以依靠非平行性激發(fā)出第二模態(tài)。從物理上來講，一個模態(tài)在非平行流中傳播時，其形狀函數(shù)會偏離局部特征函數(shù)，由此產(chǎn)生的畸變會在另一個模態(tài)的特征函數(shù)上的投影一般不為零，這樣的散射效應會將一個模態(tài)的部分能量轉(zhuǎn)化到另一個模態(tài)。因此，Mack第二模態(tài)的激發(fā)實際上是上游快、慢模態(tài)共同作用的結(jié)果，單一地考慮其中一個模態(tài)無法正確地刻畫Mack第二模態(tài)的生成。

在工程中，通常使用基于線性穩(wěn)定性理論即eN方法來進行轉(zhuǎn)捩預測[7]，即通過計算不穩(wěn)定波的線性增長倍數(shù)來預測轉(zhuǎn)捩。使用這一方法時，需要確定積分式的起始位置坐標x0。經(jīng)典的eN方法只計算擾動的增長而不考慮擾動的衰減。因此積分起始位置就是擾動增長開始的位置。在一個二維流場中，給定一個展向波數(shù)β，則在頻率和流向坐標x所組成的面內(nèi)可以找到一條中性曲線。曲線上的每一個點對應于某一頻率的擾動，其積分的起始位置就是與該頻率對應的中性曲線下支的位置。

因此，綜合高超聲速邊界層中的感受性過程和傳統(tǒng)的eN轉(zhuǎn)捩預測方法，在研究問題中需要考慮以下兩點：第一點，流場的非平行性特征。在高超聲速邊界層中，流動具有非平行性，而在使用線性流動穩(wěn)定性理論（LST）的方法[8]來研究穩(wěn)定性時，一般需要做平行流假設，即假設邊界層厚度不變，將小擾動設成行進波的形式來進行計算。這在大雷諾數(shù)的情況下，帶來的誤差并不大，但是在當?shù)乩字Z數(shù)較小的區(qū)域，平行性假設會引入較大的誤差。第二點，快模態(tài)、慢模態(tài)的感受性機制。即快、慢模態(tài)所激發(fā)出的第二模態(tài)可能受感受性機制的細節(jié)差別導致中性曲線下支存在差異，由此會影響到eN積分中積分起始點即中性曲線下支的確定。

為研究以上問題，本文將在考慮流場的非平行性前提下，利用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）方法及其伴隨方法開展研究，以期在考慮感受性過程的前提下對Mack模態(tài)中性曲線下支的確定問題進行探討，并在此基礎上給出確定中性曲線下支的方法。

1 馬赫數(shù)4.5工況下考慮平板邊界層感受性的中性曲線下支研究

為了研究考慮感受性的中性曲線下支確定問題，本節(jié)以Ma= 4.5的可壓縮平板邊界層為研究對象，以Blasius相似性解為基本流，以入口處邊界層動量厚度為無量綱長度，采用線化N-S方程（LNS）和線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）方法分別對邊界層內(nèi)快、慢模態(tài)激發(fā)第二模態(tài)不穩(wěn)定波的過程進行研究。首先計算出離散模態(tài)擾動的演化過程，然后通過對結(jié)果的處理，得到中性曲線的下支。計算參數(shù)表1所示。這里采用了兩種不同的數(shù)值模擬方法—LNS方程和LPSE方程。其中對于本文所研究的小擾動問題來說，LNS方程[9]可以完全替代N-S方程，并且求解效率也要高很多。因此本文選用LNS方程的結(jié)果作為基本參照對象，更多的相關(guān)LNS方程的推導以及驗證可以參考文獻[9]。下一小節(jié)主要就LPSE方程加以介紹。

表1 算例1的主要計算參數(shù)Table 1 Main calculation parameters of Case 1

1.1 線性拋物化穩(wěn)定性方程

線化拋物線穩(wěn)定性方程（LPSE）是一種有效的描述小擾動線性演化的方法[10]。這種方法由于可以考慮邊界層的非平行效應，因此計算較為精確。同時，對于小擾動問題來說，其對擾動演化的預測與N-S方程一致，但具有更高的效率，其系數(shù)矩陣元素的具體表達式見周恒等的著作。

考慮可壓縮邊界層，從有量綱的完全N-S方程出發(fā)，選取適當?shù)奶卣髁繉⑵溥M行無量綱化，可以得到無量綱的N-S方程。

將方程中的瞬時量設為定常基本流與擾動量的和：

對于空間模式來說，由于邊界層厚度沿流向是緩慢變化的，基本流沿流向也是緩變的。因此，T-S波的形狀函數(shù)和流向波數(shù)也是沿流向緩變的。假設展向波數(shù)不變，則擾動可以寫成下列形式：

將式（3）代入到線性擾動方程，去掉方程中二階以上小量，將其拋物化，即可得到線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）：

壁面處使用無滑移邊界條件和適當?shù)臏囟葪l件，使用等溫條件時為：

使用絕熱條件時為：

邊界層外的自由流條件為：

在進行LPSE的具體求解時，方程（4）中有兩個未知函數(shù)，即形狀函數(shù)和波數(shù)α，一個方程不足以解兩個量，所以需要補充一個條件。本文選用式（8）作為補充條件，其物理意義是形狀函數(shù)代表的擾動動能沿流向不變。在實際應用式（8）作為補充條件時，需要對波數(shù)α進行迭代求解，即用式（9）計算出一個新的流向波數(shù)αnew，判斷新舊流向波數(shù)之間是否滿足預設精度，若不滿足，則將αnew代回方程（4）中求出新的解，如此反復迭代，直至預設精度滿足補充條件為止。

其中，E為擾動能量；上標“c”表示復共軛。

由以上推導可知，LPSE方程給出的解實際上對應于式（3）中的形函數(shù)以及相位函數(shù)。二者共同構(gòu)成了邊界層內(nèi)迭代求擾動的演化過程。LPSE并沒有直接給出擾動的增長率。因此，還需要給出求解增長率的方法。這里我們注意到，考慮到流場的非平行性，此時增長率αe在定義的過程中需要包括流向波數(shù)以及形函數(shù)沿流向變化的部分[11]，即：

1.2 離散模態(tài)的小擾動演化的LPSE模擬

在計算問題之前，首先針對Case1計算其線性穩(wěn)定性特征，給出其離散模態(tài)的基本情況。圖1和圖2分別給出了Case1條件下用線性穩(wěn)定性理論（LST）計算得到的快、慢模態(tài)的增長率和相速度的實部沿流向的變化。從圖中可以看出，在中性曲線的上游，快模態(tài)和慢模態(tài)都是衰減的。相比而言，快模態(tài)的衰減率更小一點。流場此時主要是快模態(tài)主導流場中的離散模態(tài)。在下游約x= 200位置處，快、慢模態(tài)的相速度接近。該位置為同步點，同步點之后慢模態(tài)連接的是一個增長很快的第二模態(tài)，而快模態(tài)對應為一個穩(wěn)定的模態(tài)。然而，這里有必要指出的是，LST所給出的結(jié)果對應的實際上是特征值問題的解，即特征值和特征函數(shù)。這也就意味著，這一結(jié)果既沒有考慮流場的非平行特征，也無法計算流場中兩個模態(tài)同時存在的情況。

圖1 Case 1由LST給出的快、慢模態(tài)增長率沿流向分布Fig. 1 Growth rate distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 1

圖2 Case 1由LST給出的快、慢模態(tài)相速度沿流向分布Fig. 2 Phase velocity distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 1

雖然以上給出了線性穩(wěn)定性分析的結(jié)果，然而依照Fedorov的理論，流場中Mack第二模態(tài)的激發(fā)過程實際上依賴于流場的非平行性，以及兩個離散模態(tài)同時存在并且共同作用的結(jié)果。為此，分別用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）以及線化N-S方程（LNS）來計算離散模態(tài)擾動的演化，進而確定其中性曲線下支的位置。

在具體計算時，選取上游某一位置的LST的離散模態(tài)（即快模態(tài)或者慢模態(tài)）作為初值。具體的入口擾動參數(shù)如表2所示。

表2 case1的入口擾動參數(shù)Table 2 Entrance disturbance parameters in Case 1

圖3給出了分別用LNS和LPSE方法所計算出來的預測結(jié)果。可以看出，不管入口為慢模態(tài)還是快模態(tài)時，兩種方法給出的擾動演化過程基本相同。不管入口給快模態(tài)還是慢模態(tài)，擾動的增長率都有一個波動過程，這主要是由于在流場的下游位置慢模態(tài)占主導地位，而在流場的上游位置是快模態(tài)占主導地位。因此在上游的位置，首先存在著一個慢模態(tài)到快模態(tài)的模態(tài)動態(tài)切換過程，但是隨著擾動逐漸向下游演化，下游流場又由慢模態(tài)所主導，因此在流場的更下游主要體現(xiàn)還是慢模態(tài)的擾動，快模態(tài)的幅值越來越小，慢模態(tài)的幅值越來越大，進而激發(fā)第二模態(tài)的不穩(wěn)定波，而主導了下游的不穩(wěn)定波模態(tài)。換句話說，流場中此時存在著主導模態(tài)切換的過程，所謂波動現(xiàn)象其實對應的是流場主導模態(tài)的切換。這一特征在LPSE和LNS的計算結(jié)果中都可以觀察得到。

圖3 Case 1中不同方法給出的擾動波增長率沿流向分布的比較Fig. 3 Comparison of the growth rate distributions along the flow direction given by different methods in Case 1

這也就意味著這兩種方法不同于LST方法，是可以同時計算兩個離散模態(tài)的演化的。同時還可以注意到，LPSE和LNS方法給出的Mack模態(tài)中性曲線下支位置大致相同，都大約在x= 210的位置處。這也就意味著，對于本文所研究的問題來說，使用LPSE可以得到與N-S方程同樣的結(jié)論，但效率更高。因此，以下的研究中主要使用LPSE來計算離散模態(tài)擾動的演化過程以保證更高的效率。

從圖3中還可以看到，在上游某一位置分別選取慢模態(tài)和快模態(tài)的解為初值，計算所得到的中性點的位置存在較大差異。其中快模態(tài)演化過程中對應的下中性點位置在x= 250；而慢模態(tài)演化過程中對應的中性點位置在x= 210。也就是說隨著在入口處給定不同的離散模態(tài)，中性曲線下支的位置是有明顯差異的?？紤]到對于一個實際問題，流場中什么樣的擾動都存在。此時，結(jié)合中性曲線的定義，選取更靠前的中性位置作為中性曲線的下支界，也就是說，此時應該選取x= 210作為該問題的中性曲線下支。在此位置之前，不管什么樣的擾動，都是衰減的。

正因如此，可以得到使用LPSE來確定考慮感受性的中性曲線下支確定方法。首先，使用LST計算出衰減區(qū)域內(nèi)快模態(tài)和慢模態(tài)兩個離散模態(tài)；然后，使用LPSE分別計算兩個離散模態(tài)向下游的演化過程進而確定各自的中性點。最后，比較這兩個中性點，取更靠近上游的位置作為中性曲線的下支。

通過以上的方法來計算中性曲線下支是可行的。但是這種方法有一些地方值得商榷。第一，使用LPSE來計算離散模態(tài)的演化需要事先使用LST來計算出衰減區(qū)內(nèi)的兩個離散模態(tài)作為入口邊界條件。然而，由于衰減區(qū)域存在著主要由邊界層外流動影響的連續(xù)譜的近中性解，因此無法直接使用冪法來迭代計算衰減的離散模態(tài)。一種常見的方法是使用迭代法從Mack模態(tài)的增長區(qū)逐漸改變參數(shù)從而計算出上游衰減區(qū)中的兩個離散模態(tài)，如圖1。但是這樣意味著相對比較繁復的尋找衰減區(qū)離散模態(tài)的過程。換句話說，該方法的操作性比較復雜，入口邊界條件不好給定。第二，在LPSE分別計算離散模態(tài)演化以確定中性曲線下支的過程中，實際上是進行了兩次LPSE的演化計算。由于事先并不知道到底是慢模態(tài)還是快模態(tài)的演化可以得到相對位置更靠近上游的中性曲線下支，因此兩個離散模態(tài)的演化過程都需要進行計算。如果有這樣的方法可以一次性的來確定中性曲線下支，那么其效率應該更高。

基于以上所提到的計算中性曲線方法存在的不足，本文提出了一種結(jié)合線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）及其伴隨（APSE）的方法來計算非平行邊界層穩(wěn)定性，并以此確定考慮感受性的中性曲線下支的位置的方法。該方法有助于解決前面所提到的非平行效應和模態(tài)同步這兩大難點的同時，還具有高效和易操作的特點。

2 基于伴隨拋物化穩(wěn)定性方程確定中性曲線下支

正如前文所述，基于LPSE來確定中性曲線下支的方法有其待改進之處。注意到伴隨方程與原線性方程相比，具有特征值互為共軛關(guān)系的性質(zhì)。利用該性質(zhì)，就可以基于伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）來確定考慮感受性的中性曲線下支。該方法可以有效改善基于LPSE方法的不足。以下將對該方法進行介紹，并利用該方法來確定不同工況下的中性曲線下支界的位置。

2.1 伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）的導出

首先來推導伴隨拋物化穩(wěn)定性方程，考慮LPSE方程為：

其中：

為了推導出APSE，需要給出內(nèi)積的定義：

這樣，依據(jù)伴隨算子的定義，可以利用分步積分方法導出線性微分算子L的 伴隨形式L*：

其中，上標“*”表示伴隨形式；上標“H”表示轉(zhuǎn)置復共軛；坐標x1、x2、x3分別代表流動的流向、展向和法向；B.C部分是由于分步積分導致產(chǎn)生的，實際上是描述伴隨模態(tài)和原模態(tài)在邊界處的恒等關(guān)系。依照伴隨算子的定義，不難有：

通過分步積分，也能推導出線性拋物化穩(wěn)定性方程的伴隨形式：

其中：

其系數(shù)矩陣元素的具體表達形式見Airiau等的文章[12]。根據(jù)伴隨算子的性質(zhì)，伴隨算子特征值與原算子的特征值互為共軛。這就意味著，在其中一個問題的特征值已知的情況下，其伴隨問題的特征值不需要再進行計算，只需要帶入前面計算所求出的特征值即可。同時，對流項前面的符號決定了流向差分格式方向，因此LPSE問題利用后差從前向后推進求解，而APSE問題利用前差從后向前推進求解。除此之外，LPSE和APSE的離散格式相同。

這里需要指出的是，由于根據(jù)伴隨算子的性質(zhì)，實際上是基于APSE和LPSE給出的流向復波數(shù)α是相同的。但對于擾動演化過程來說，除了流向復波數(shù)α，擾動的形函數(shù)變化也是需要被考慮的。因此在使用APSE計算擾動的演化過程中，還需要在使用APSE計算得到α沿流向不同位置的分布之后，再使用一次LPSE計算形函數(shù)沿流向的變化。這樣就可以給出擾動增長率的分布了。

2.2 APSE求解器的驗證

依照上面的公式推導構(gòu)造了APSE的求解器。為了驗證該求解器的正確性，選取高超聲速平板邊界層中第二模態(tài)擾動的演化[13]作為對象。用LPSE給出的Mack模態(tài)演化過程即增長率的分布作為比較基準，將利用APSE求解器計算的所得到的擾動增長率與LPSE的結(jié)果進行對比，從而對APSE進行驗證。其中基本流為二維平板邊界層Blasius相似解，自由來流參數(shù)如表3所示，壁面邊界條件為無滑移邊界條件和等溫條件。

表3 算例2的主要計算參數(shù)Table 3 Main calculation parameters of Case 2

在入口引入第二模態(tài)的增長擾動。分別使用LPSE和基于APSE計算擾動演化過程的方法計算其增長率分布。圖4給出了用不同的方法計算得到的擾動增長率沿流向的變化。APSE給出的第二模態(tài)增長率變化與LPSE的預測結(jié)果基本一致。這表明用APSE的方法計算擾動的線性增長率是可靠的。

圖4 Case 2中LPSE與APSE增長率對比Fig. 4 Comparison of the growth rates calculated by LPSE and APSE in Case 2

需要額外指出的是，從圖4中可以看到增長率存在微小的差別。這種差別主要是由于在LPSE和APSE計算過程中，用于迭代求解復波數(shù)α的范數(shù)存在差異。雖然約定的范數(shù)保證了擾動形函數(shù)沿流向的慢變性。但是這種差異會造成拋物化方程在省略二階小量項的過程中存在一些很小的差別，這種差別造成了即便使用同樣的公式（10）計算增長率，也不是完全一樣的。

2.3 中性曲線下支的求解過程

首先，在增長區(qū)選取一點x1，給定該位置處伴隨O-S方程的解。接著，以該解為基礎用伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）從下游向上游推進求解，一直求解到中性曲線以外的區(qū)域（特征是伴隨PSE給出的特征值虛部為負，這里可以設置為-0.005以下水平），然后，在伴隨方程求解的終止點x0的位置處求解一次O-S方程（特征值初值為伴隨方程在該處的特征值的共軛），求出O-S方程的特征函數(shù)。然后以O-S方程給出特征函數(shù)以及APSE確定的特征值的共軛為基本條件作為LPSE方程的入口計算LPSE，但在用LPSE進行計算時，不需要再計算特征值，而是直接利用伴隨方程給出的特征值，求解出LPSE的形函數(shù)。最后通過對LPSE給出的擾動演化進行處理，得到增長率的分布，從而確定某一頻率下擾動中性曲線的下支。

2.4 使用APSE在不同工況下確定中性曲線下支界

為了進一步檢驗以上求解中性曲線下支界的方法，選取了三種不同的情況進行應用。由于Mack模態(tài)的激發(fā)源于快模態(tài)和慢模態(tài)的同步作用，那么可以從LST對快、慢模態(tài)演化并同步的過程來刻畫這種激發(fā)過程。這種激發(fā)過程多見于以下三種情況[14-15]：上游快模態(tài)增長或衰減較慢但下游慢模態(tài)與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連；上游慢模態(tài)增長或衰減較慢，并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連；上游快模態(tài)增長或者衰減較慢，并且下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連。所選取的三種工況正是對應于以上提到的三種情況，其主要計算參數(shù)見表4。以下則分別針對不同工況討論計算結(jié)果。

表4 不同工況的主要計算參數(shù)Table 4 Main calculation parameters of different flow conditions

2.4.1 Case 1

圖1和圖2已經(jīng)分別給出了Case1條件下線性穩(wěn)定性理論得到的快、慢模態(tài)的增長率和相速度的實部沿流向的變化。從圖中可以看出，根據(jù)LST分析的結(jié)果，在中性曲線的上游，快模態(tài)和慢模態(tài)都是衰減的。相比而言快模態(tài)的衰減率小一點。在下游約x= 200位置處，快、慢模態(tài)的相速度接近，該處為同步點，同步點之后慢模態(tài)連接的是一個增長很快的第二模態(tài)，而快模態(tài)變?yōu)橐粋€穩(wěn)定的模態(tài)。顯然，該算例對應于上游快模態(tài)增長或衰減較慢但下游慢模態(tài)與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連的情況。

為了給出更為準確的中性曲線，分別用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）以及伴隨（APSE）的方法來計算。其中，選取上游某一位置的LST的解為初值，用LPSE的方法向下游進行演化計算的入口擾動參數(shù)如表2所示。

圖5給出了用不同的方法計算所得到的預測結(jié)果?？梢钥吹?，LST給出的第二模態(tài)中性曲線下支約為x= 220。此時不管入口給快模態(tài)還是慢模態(tài)，擾動的增長率都有一個波動過程，即都對應于前面提到的“拍”結(jié)構(gòu)。這主要是由于在流場的下游位置慢模態(tài)占主導地位，而在流場的上游位置是快模態(tài)占主導地位，因此在上游的位置，首先存在著一個慢模態(tài)到快模態(tài)的模態(tài)動態(tài)切換過程，但這個過程隨著擾動逐漸向下游演化，下游流場又由慢模態(tài)所主導。相比入口給快模態(tài)，入口給慢模態(tài)時能量更容易得到積累，尤其是考慮流動的非平行性之后。

圖5 Case1中不同方法給出的擾動波增長率沿流向分布的比較Fig. 5 Comparison of the growth rate distributions along the flow direction given by different methods in Case 1

從圖中還可以觀察到當在流向位置x= 160之后，慢模態(tài)的增長率就已經(jīng)比快模態(tài)的增長率大了，此時慢模態(tài)在中性曲線的下支上游就已經(jīng)開始逐漸占據(jù)了主導地位。因此在流場的更下游主要體現(xiàn)還是慢模態(tài)的擾動，此時LPSE給出的Mack模態(tài)中性曲線下支位置約為x= 210。同時還可以看到在上游某一位置分別選取慢模態(tài)和快模態(tài)的解為初值，向下游進行LPSE計算時，所得到的中性點的位置存在較大差異。本算例中，在上游離散模態(tài)擾動向下游演化的過程中，在流向位置x= 160之后的區(qū)域由于慢模態(tài)具有更大的增長率，快模態(tài)的幅值越來越小，慢模態(tài)的幅值越來越大，進而激發(fā)第二模態(tài)的不穩(wěn)定波。

相比于LPSE的計算結(jié)果，當用APSE方法來計算小擾動的穩(wěn)定性特征時，從下游增長的Mack模態(tài)開始跟蹤擾動到上游的歷史演化歷程，利用APSE可以跟蹤得到是上游的慢模態(tài)的演化從而主導了下游的不穩(wěn)定波模態(tài)。此外，從圖中也不難看到在x= 160以前的區(qū)域，APSE的預測結(jié)果也存在對應的“拍”結(jié)構(gòu)，因此該方法也可以很好的描述離散模態(tài)之間的切換過程。經(jīng)過比較，還可以發(fā)現(xiàn)，通過APSE的方法來計算所得到的增長率的結(jié)果與入口擾動選取慢模態(tài)的PSE計算的演化結(jié)果基本一，所確定得到的中性曲線下支非常接近于LPSE入口選取慢模態(tài)的所得到的結(jié)果。這說明該方法是合適的。

2.4.2 Case 3

圖6和圖7分別給出了Case 3狀態(tài)下線性穩(wěn)定性理論得到的快、慢模態(tài)的增長率和相速度沿流向的變化規(guī)律。從圖中可以看出，在靠近前緣處，慢模態(tài)為增長的第一模態(tài)，快模態(tài)一直是衰減的。在向下游發(fā)展的過程中，慢模態(tài)的相速度增加，而快模態(tài)的相速度減小，在下游約x= 380位置處，快、慢模態(tài)的相速度的實部接近，這個位置被稱為同步點，同步點之后慢模態(tài)連接的是一個增長很快的第二模態(tài)，而快模態(tài)變?yōu)橐粋€很穩(wěn)定的模態(tài)。顯然，該算例對應于上游慢模態(tài)增長或衰減較慢并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連的情況。

圖6 Case 3由LST給出的快、慢模態(tài)增長率沿流向分布Fig. 6 Growth rate distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 3

圖7 Case 3由LST給出的快、慢模態(tài)相速度沿流向分布Fig. 7 Phase velocity distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 3

下面分別用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）以及伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）的方法來進行計算和比較。其中，選取上游某一位置LST的解為初值，用LPSE的方法向下游進行演化計算的入口擾動參數(shù)如表5所示。

表5 Case 3的入口擾動參數(shù)Table 5 Entrance disturbance parameters in Case 3

圖8給出了用不同方法給出的擾動增長率的預測結(jié)果。LST給出的第二模態(tài)中性曲線下支約為x=380。當上游入口擾動給定為快模態(tài)進行LPSE計算時，此時增長率沿流向存在著一個分布，這是由于在散射作用下，快模態(tài)向慢模態(tài)投影，在兩個模態(tài)的共同作用下，流場中的擾動表現(xiàn)為兩模態(tài)疊加，從而形成的“拍”的效應。由于上游慢模態(tài)增長率較大而快模態(tài)增長率較小，因此存在著擾動由快模態(tài)向慢模態(tài)轉(zhuǎn)換的過程，但即便如此LPSE給出的中性曲線下支位置約為x= 400；而當上游入口擾動為慢模態(tài)時，增長率沿流向分布較為光滑，這是由于此時慢模態(tài)在上游占主導地位，雖然也存在著慢模態(tài)向快模態(tài)由于散射效應的投影，但是流場主要體現(xiàn)還是慢模態(tài)的擾動，此時LPSE給出的Mack中性曲線事實上與第一模態(tài)中性曲線相接，沒有真正的Mack模態(tài)中性曲線下支，而對應于該頻率擾動增長率最小值的流向位置在x= 305左右。顯然，在上游某一位置分別選取慢模態(tài)和快模態(tài)的解為初值，向下游進行LPSE計算時，所得到的中性點的位置存在較大差異。

圖8 Case 3中不同方法給出的擾動波增長率沿流向分布的比較Fig. 8 Comparison of the growth rates along the flow direction given by different methods in Case 3

在本算例中，隨著上游離散模態(tài)擾動向下游演化，由于慢模態(tài)具有更大的增長率，快模態(tài)的幅值越來越小，慢模態(tài)的幅值越來越大，即慢模態(tài)起主導作用，進而激發(fā)第二模態(tài)的不穩(wěn)定波。相比之下，當采用APSE方法來計算小擾動的穩(wěn)定性特征時，從下游增長的Mack模態(tài)開始跟蹤擾動到上游的歷史演化歷程中可以看到，是上游的慢模態(tài)的演化從而主導了下游的不穩(wěn)定波模態(tài)，并且此時通過APSE的方法來計算所得到的增長率的結(jié)果與入口擾動選取慢模態(tài)的LST解進行LPSE計算的演化結(jié)果基本一致，所確定得到的中性曲線下支非常接近于入口選取慢模態(tài)進行LPSE計算所得到的結(jié)果。這也就說明本文的方法是合理的。

2.4.3 Case 4

圖9和圖10分別給出了Case 4狀態(tài)下用線性穩(wěn)定性理論（LST）得到的快、慢模態(tài)的增長率和相速度沿流向的變化規(guī)律。從圖中可以看出，在中性曲線的上游，快模態(tài)的衰減率相對更小，是主導流場的離散模態(tài)。同步點大概對應于x= 400的位置，同步點之后快模態(tài)連接的是第二模態(tài)，而慢模態(tài)變?yōu)橐粋€很穩(wěn)定的模態(tài)。顯然，該算例對應于上游快模態(tài)增長或衰減較慢，并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連的情況。

圖9 Case 4由LST給出的快、慢模態(tài)增長率沿流向分布Fig. 9 Growth rate distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 4

圖10 Case 4由LST給出的快、慢模態(tài)相速度沿流向分布Fig. 10 Phase velocity distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 4

與前面的算例類似，依然分別用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）以及伴隨（APSE）的方法來進行計算。其中，選取上游某一位置的LST的解為初值，用LPSE的方法向下游進行演化計算的入口擾動參數(shù)如表6所示。

圖11給出了用不同方法計算得到的擾動增長率的預測結(jié)果。LST給出的第二模態(tài)中性曲線下支約為x= 360。同時，由LPSE給出的結(jié)果表明，當入口擾動為快模態(tài)時，中性曲線下支對應于x= 350的位置；而當入口擾動為慢模態(tài)時，中性曲線下支對應的是x= 380。顯然，在上游某一位置分別選取慢模態(tài)和快模態(tài)的解為初值，向下游進行LPSE計算時，所得到的中性點的位置存在較大差異。本算例中，隨著上游離散模態(tài)擾動向下游演化，由于快模態(tài)具有更大的增長率，慢模態(tài)的幅值越來越小，快模態(tài)的幅值越來越大，即快模態(tài)起主導作用，進而激發(fā)第二模態(tài)的不穩(wěn)定波。同樣的，當給定上游非主導作用的慢模態(tài)時，LPSE給出的預測結(jié)果中依然可以觀察到慢模態(tài)向快模態(tài)的切換過程所產(chǎn)生的“拍”結(jié)構(gòu)。也正是因為存在著這樣的切換過程，因此當入口給定慢模態(tài)時所給出的中性曲線下支位置更為靠后。

表6 Case 4的入口擾動參數(shù)Table 6 Entrance disturbance parameters in Case 4

圖11 Case 4中不同方法給出的擾動波增長率沿流向分布的比較Fig. 11 Comparison of the growth rate distributions along the flow direction given by different methods in Case 4

相比而言，當采用APSE方法來計算小擾動的穩(wěn)定性特征時，可以看到從下游增長的Mack模態(tài)開始跟蹤擾動到上游的歷史演化歷程，利用APSE可以跟蹤得到是上游的快模態(tài)的演化從而主導了下游的不穩(wěn)定波模態(tài)，并且此時通過APSE的方法來計算所得到的增長率的結(jié)果與入口擾動選取快模態(tài)的LST解進行的PSE計算的演化結(jié)果基本一致，所確定得到的中性曲線下支非常接近于LPSE入口選取快模態(tài)的所得到的結(jié)果。這也就說明本文的方法可以客觀的給出第二模態(tài)中性曲線下支點的位置。

2.5 對方法和結(jié)果的討論

以上給出了三種基于APSE計算中性曲線下支的結(jié)果，并且與LPSE的分析進行了對比。從對比結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)不管對于哪種情況，APSE都可以取得與LPSE一致的結(jié)果。這說明，本文這種方法是可以用來預測考慮感受性的中性曲線下支界的。相比LPSE方法而言，APSE只需要直接從Mack模態(tài)增長區(qū)開始向上游計算，在此過程中需要使用約定范數(shù)來使得伴隨形函數(shù)保證沿流向緩變。在此基礎之上，再利用LPSE計算時，只需要直接使用APSE給出的α即可，不再需要迭代過程。這樣比起LPSE方法來看，效率更高，而且有效解決了LPSE解決該方法需要分別計算快、慢模態(tài)演化的問題。

觀察以上三種情況的對比結(jié)果，我們不難發(fā)現(xiàn)，APSE給出的結(jié)果實際上始終對應于LPSE最終可以更易增長演化到的那一支。這是由于，不管是APSE還是LPSE方法，實際上給出的都是擾動的整體演化過程。在邊界層非平行性的前提下，依靠散射效應，實際上流場中兩種離散模態(tài)是共存的。而LPSE或者APSE則給出了這兩種模態(tài)疊加之后的演化結(jié)果。在這樣的前提下，其演化結(jié)果實際上反映了流場中整體的對各種擾動的促進或者抑制能力。因此，當使用APSE來從Mack第二模態(tài)開始從下游向上游推進計算時，它給出的結(jié)果實際上是捕捉了更容易激發(fā)或者演化到Mack模態(tài)的離散譜。這也就是為什么基于APSE的方法可以準確地描述出考慮感受性的中性曲線下支界。

3 結(jié) 論

高超聲速邊界層中性曲線下支的確定對于感受性分析以及eN轉(zhuǎn)捩預測具有一定的意義和價值。本文首先用LPSE和LNS方法分別對邊界層內(nèi)快、慢模態(tài)激發(fā)第二模態(tài)不穩(wěn)定波的過程進行了研究。從計算結(jié)果上來看，這兩種方法給出的Mack第二模態(tài)中性曲線下支位置一致，但是使用LPSE計算的效率相對更高。除此以外，我們還發(fā)現(xiàn)在使用LPSE確定中性曲線下支時，存在著衰減區(qū)離散模態(tài)求解困難以及需要計算兩個離散模態(tài)的演化過程才能給出中性曲線下支點的問題。

基于以上LPSE求解時存在的問題，本文提出了一種基于伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）的方法來確定中性曲線下支。該方法可以考慮流場的非平行性的影響，同時由于伴隨方程可以引入下游的不穩(wěn)定的Mack模態(tài)擾動為入口來進行計算，因此可以有效的改善基于LPSE方法求解時的不足。由于Mack第二模態(tài)的激發(fā)實際上源于快模態(tài)和慢模態(tài)的同步作用，從LST對快、慢模態(tài)演化并同步的過程的刻畫多見于以下三種情況：上游快模態(tài)增長或衰減較慢但下游慢模態(tài)與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連；上游慢模態(tài)增長或衰減較慢，并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連；上游快模態(tài)增長或者衰減較慢，并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連。因此本文選取了這三種典型的Mack第二模態(tài)生成的過程進行了中性曲線下支的計算。從計算結(jié)果上來看，該方法給出的中性曲線下支與正確選取上游離散模態(tài)時，LPSE方法給出的結(jié)果較為吻合。該方法可以進行有效的推廣，與eN方法結(jié)合用于高超聲速邊界層的轉(zhuǎn)捩預測問題和穩(wěn)定性分析問題的研究。