王素珍， 劉建鋒， 孫國(guó)法， 代明星， 靳奉祥

(1. 青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院， 山東 青島 266520； 2. 山東建筑大學(xué) 測(cè)繪地理信息學(xué)院， 山東 濟(jì)南 250101)

連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器(CSTR)是石油化工、制藥、廢水處理等諸多工業(yè)生產(chǎn)的反應(yīng)設(shè)備[1]，其控制效果對(duì)最終產(chǎn)品的質(zhì)量起著至關(guān)重要的作用。該系統(tǒng)是一個(gè)非常復(fù)雜的被控對(duì)象，在實(shí)際過(guò)程中經(jīng)常受到各種因素的影響，如反應(yīng)物濃度變化、副反應(yīng)、溫度和氣液相位不均、外擾等，導(dǎo)致系統(tǒng)存在許多未知的不確定項(xiàng)以及不可測(cè)狀態(tài)，整個(gè)系統(tǒng)呈現(xiàn)高度的非線性，因此其控制器的設(shè)計(jì)難度非常大。

比例積分微分(PID)[2-3]控制器具有配置簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)控制領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛，但是，隨著控制要求的不斷提高，PID控制器已經(jīng)越來(lái)越難以滿足系統(tǒng)控制精度的要求。近年來(lái)，隨著控制理論的不斷發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者陸續(xù)將諸如模糊控制[4]、自抗擾控制[5]、魯棒自適應(yīng)控制[6]等先進(jìn)的控制方法引入到CSTR系統(tǒng)控制中。文獻(xiàn)[7]中通過(guò)將CSTR系統(tǒng)模型辨識(shí)成一個(gè)Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型來(lái)逼近系統(tǒng)中的非線性函數(shù)，利用線性控制理論方法進(jìn)行分析，但是非線性系統(tǒng)模型近似線性化后存在擬合問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中難以對(duì)系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)進(jìn)行有效的逼近。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，許多學(xué)者又將預(yù)測(cè)控制[8-9]的方法引入到CSTR系統(tǒng)的控制中，在一定程度上提高了系統(tǒng)的魯棒性，彌補(bǔ)了建模所帶來(lái)的不足；但是，預(yù)測(cè)控制多為線性模型，沒(méi)有對(duì)系統(tǒng)的未知狀態(tài)和未知非線性函數(shù)項(xiàng)進(jìn)行有效的處理，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)具有很大的局限性。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊邏輯系統(tǒng)的大量應(yīng)用[10-12]，研究人員基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性，針對(duì)CSTR系統(tǒng)提出了許多控制方法。Salehi等[13-14]設(shè)計(jì)了2種自適應(yīng)模糊溫度控制器，基于模糊邏輯系統(tǒng)逼近被控系統(tǒng)中濃度的依賴項(xiàng)以及一些未知參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了較好的控制效果，但這些方法并沒(méi)有很好的抗干擾能力，系統(tǒng)魯棒性不強(qiáng)。

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有特殊的結(jié)構(gòu)，使得滑模控制具有非常強(qiáng)的魯棒性。近年來(lái)，針對(duì)CSTR系統(tǒng)采用滑?？刂频姆桨冈絹?lái)越多[15-16]，取得了非常好的控制效果，但是這些控制方案依舊是在假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)已知的情況下，并且所采用的滑?？刂品桨府a(chǎn)生明顯的抖振現(xiàn)象，嚴(yán)重影響了控制效果。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文中基于一類(lèi)非線性CSTR系統(tǒng)，結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制，提出一種自適應(yīng)積分滑?？刂扑惴?簡(jiǎn)稱本文控制算法)，對(duì)CSTR進(jìn)行分析并建立數(shù)學(xué)系統(tǒng)模型，根據(jù)系統(tǒng)中的未知狀態(tài)量以及各種未知擾動(dòng)分別設(shè)計(jì)有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器以及擾動(dòng)觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象未知狀態(tài)量的觀測(cè)以及系統(tǒng)擾動(dòng)信號(hào)的估計(jì)，有效提高系統(tǒng)的抗干擾性能。另外，通過(guò)引入積分滑模面，設(shè)計(jì)自適應(yīng)變比例增益趨近律來(lái)抑制系統(tǒng)中的抖振，同時(shí)利用Lyapunov函數(shù)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)該控制方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 模型描述及準(zhǔn)備工作

1.1 系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)描述

CSTR是化工過(guò)程中重要的反應(yīng)器，其控制是化工工藝流程最重要、最難掌握的環(huán)節(jié)。CSTR系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。按照一定比例混合的原料經(jīng)過(guò)預(yù)熱后進(jìn)入反應(yīng)器，在一定的溫度下進(jìn)行聚合放熱反應(yīng)。通常情況下，CSTR系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下操作，內(nèi)容物充分混合，因此建模不涉及整個(gè)容器中濃度、溫度或反應(yīng)速率的顯著變化。本文中將系統(tǒng)視為一個(gè)放熱、不可逆的一階反應(yīng)A→B，其中A為反應(yīng)物，B為反應(yīng)產(chǎn)物。為了便于建模，針對(duì)該系統(tǒng)提出以下假設(shè)。

qr—進(jìn)(出)料口物料體積流量； Tr,in—進(jìn)料口物料溫度； cpG—進(jìn)料口物料濃度； qc—冷(熱)劑進(jìn)出口流量； Tc—冷(熱)劑出口溫度； Tc, in—冷(熱)劑進(jìn)口溫度； Tr—出料口溫度。圖1 連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器結(jié)構(gòu)示意圖

假設(shè)1：假設(shè)CSTR進(jìn)料充分混合，反應(yīng)器內(nèi)的溫度和濃度都是相同的，物料比熱容和傳熱系數(shù)始終不變，進(jìn)、出口流量在穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)時(shí)處處相等，即反應(yīng)器內(nèi)液位保持不變，熱損失忽略不計(jì)。

假設(shè)2：反應(yīng)物具有恒定的密度和容量，且反應(yīng)前后CSTR內(nèi)物料的總體積不變。根據(jù)物質(zhì)和能量守恒定理，CSTR內(nèi)發(fā)生的放熱、不可逆的一階反應(yīng)可以被表示為

(1)

式中：R為摩爾氣體常數(shù)； ΔH為反應(yīng)放出的熱量；k0、T和CA分別是反應(yīng)速率常數(shù)、反應(yīng)溫度和反應(yīng)后反應(yīng)物A的濃度；h為反應(yīng)釜內(nèi)液位高；S為反應(yīng)釜截面積；E為活化能；V為反應(yīng)釜體積容量；Tf為冷(熱)劑入口溫度；Tc為冷(熱)劑出口溫度；CAf、F、Cp及ρ分別為反應(yīng)物A的入口濃度、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)速率、比熱容及CSTR內(nèi)濃度。為了便于控制器的設(shè)計(jì)，CSTR系統(tǒng)模型(1)可繼續(xù)轉(zhuǎn)化[17]為

(2)

式中：x1、x2為CSTR系統(tǒng)的狀態(tài)變量；B為絕熱溫升；Da為達(dá)姆科勒數(shù)；β為熱傳遞系數(shù)；γ為活化能與平均動(dòng)能之比；x2c為系統(tǒng)初始狀態(tài)；u為系統(tǒng)控制信號(hào)的輸入；d1、d2為CSTR系統(tǒng)的2個(gè)未知擾動(dòng)信號(hào)；y為系統(tǒng)的輸出。

為了便于后期的對(duì)控制器的設(shè)計(jì)，針對(duì)模型(2)提出假設(shè)3。

假設(shè)3：對(duì)于系統(tǒng)(2)的任何一個(gè)可能的參考信號(hào)xr，di的n+1-i次微分都是有界的，即

式中：ζ>0為已知常數(shù)；Cn+1-i為所有的微分函數(shù)集合。

2 有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

由于CSTR系統(tǒng)模型中很多參數(shù)在實(shí)際過(guò)程中難以測(cè)得，因此，被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量是未知的。為了便于控制器的設(shè)計(jì)，本文中基于文獻(xiàn)[18]已有的成果，引入一類(lèi)有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)被控系統(tǒng)未知狀態(tài)的估計(jì)。

針對(duì)系統(tǒng)(2)，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器為

(3)

定義觀測(cè)器的觀測(cè)誤差為

ε=x-z,

(4)

式中：ε=[ε1,ε2]T；x=[x1,x2]T；z=[z1,z2]T。

對(duì)ε求導(dǎo)得

(5)

穩(wěn)定性證明：首先針對(duì)誤差ε2選取Lyapunov函數(shù)

(6)

對(duì)式(6)求導(dǎo)得

-|ε2|(k2-|-(1+β)ε2+BDaJ(1-x1)ε2-

(7)

(8)

針對(duì)誤差ε1選取Lyapunov函數(shù)

(9)

對(duì)式(9)求導(dǎo)，得

(10)

3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

3.1 擾動(dòng)觀測(cè)及補(bǔ)償

為了進(jìn)一步提高控制器的控制性能，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性，基于Levent微分器[19]設(shè)計(jì)一類(lèi)擾動(dòng)觀測(cè)器，以便對(duì)系統(tǒng)模型(2)中的擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償。所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器具體形式為

(11)

式中：φi(i=1,2,…,n)為系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)；Ui為擾動(dòng)觀測(cè)器原始微分信號(hào)第i+1階微分估計(jì)值；λi為擾動(dòng)觀測(cè)器增益系數(shù)；D(t)為擾動(dòng)觀測(cè)器輸入的微分信號(hào)函數(shù)，且D(t)存在n階導(dǎo)數(shù)存在且有界，即|D(n+1)(t)|≤Γ，Γ為正常數(shù)。為了保證擾動(dòng)觀測(cè)器的觀測(cè)效果，觀測(cè)器(11)的增益系數(shù)λi需慎重選擇，基于文獻(xiàn)[20]提出可行的參數(shù)選取規(guī)則，如表1所示。

表1 擾動(dòng)觀測(cè)器增益系數(shù)選取規(guī)則

由于未知擾動(dòng)di滿足假設(shè)3中的條件，因此擾動(dòng)信號(hào)可以在有限時(shí)間內(nèi)通過(guò)擾動(dòng)觀測(cè)器(11)估計(jì)獲得，即

(12)

3.2 自適應(yīng)積分滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

滑?？刂凭哂蟹浅?qiáng)的魯棒性，在處理非線性系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)以及未知擾動(dòng)等方面有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。本文中將基于上述狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)結(jié)果以及擾動(dòng)觀測(cè)器的估計(jì)結(jié)果對(duì)未知擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)償，并設(shè)計(jì)一類(lèi)自適應(yīng)積分滑?？刂破鳌?/p>

定義被控系統(tǒng)(2)的跟蹤誤差e為

e=z2-xr

,

(13)

式中xr為系統(tǒng)的輸出參考信號(hào)?；跔顟B(tài)觀測(cè)器和擾動(dòng)觀測(cè)器的觀測(cè)結(jié)果，對(duì)式(13)求導(dǎo)，得

(14)

定義一個(gè)積分滑模面

(15)

式中k為滑模修正系數(shù)。

對(duì)式(15)求導(dǎo)，得

(16)

(17)

式中Ueq為等效控制信號(hào)。

設(shè)計(jì)一種新的自適應(yīng)變比例增益的趨近律，與傳統(tǒng)的等速趨近律相比，自適應(yīng)變比例增益的方法不僅能使被控系統(tǒng)快速收斂，而且能有效抑制滑?？刂浦械亩墩瘳F(xiàn)象。該趨近律具體設(shè)計(jì)如下：

(18)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)更新律為

(19)

式中η為大于0的常數(shù)，則

(20)

式中Us為魯棒項(xiàng)控制信號(hào)。最終得到自適應(yīng)積分滑?？刂破鞯目刂坡蔀?/p>

u=ueq+us。

(21)

將式(17)、(20)、(21)代入式(16)，得

(22)

假設(shè)4：假設(shè)擾動(dòng)觀測(cè)誤差有界，且

其中0<ζ<1。

(23)

對(duì)V1求導(dǎo)，得

(24)

將式(22)代入式(24)，化簡(jiǎn)得

(25)

4 仿真

以下將通過(guò)具體的仿真算例對(duì)本文所提控制方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。仿真時(shí)，系統(tǒng)模型的參數(shù)分別設(shè)置為B=8，β=0.3，γ=20，Da=0.078，x2c=0。系統(tǒng)期望的軌跡信號(hào)xr和系統(tǒng)的外部擾動(dòng)d1與d2分別設(shè)置為

(26)

具體仿真結(jié)果如圖2—4所示。由圖2中系統(tǒng)輸出信號(hào)跟蹤效果圖可以看出，系統(tǒng)輸出信號(hào)能夠在有限時(shí)間內(nèi)精確地跟蹤所期望的軌跡信號(hào)，且跟蹤誤差e能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0附近的小鄰域內(nèi)，驗(yàn)證了本文控制算法能對(duì)系統(tǒng)信號(hào)實(shí)現(xiàn)有效的跟蹤。

(a)輸出信號(hào)x2跟蹤效果

(b)輸出信號(hào)x2跟蹤誤差圖2 系統(tǒng)輸出x2的跟蹤效果及誤差

(a)系統(tǒng)狀態(tài)x1及其觀測(cè)信號(hào)

(b)觀測(cè)誤差圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x1觀測(cè)效果

(a)系統(tǒng)狀態(tài)x2及其觀測(cè)信號(hào)

(b)觀測(cè)誤差圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x2觀測(cè)效果

由有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)未知狀態(tài)的觀測(cè)效果的仿真結(jié)果(圖3、4)可以看出，所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)被控系統(tǒng)內(nèi)含有的未知狀態(tài)量可以實(shí)現(xiàn)較好的觀測(cè)估計(jì)，并且觀測(cè)誤差可以收斂在一個(gè)很小的范圍內(nèi)。

根據(jù)表1合理選擇擾動(dòng)觀測(cè)器的增益系數(shù)，并利用觀測(cè)器(11)對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，仿真結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，擾動(dòng)觀測(cè)器能夠?qū)崿F(xiàn)在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)未知擾動(dòng)的高精度估計(jì)。

(a)系統(tǒng)狀態(tài)d1的觀測(cè)效果

(b)系統(tǒng)狀態(tài)d1的觀測(cè)效果圖5 系統(tǒng)擾動(dòng)觀測(cè)效果

此外，為了進(jìn)一步驗(yàn)證其算法的擾動(dòng)補(bǔ)償控制效果，分別采用無(wú)擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)谋疚目刂扑惴?d1=d2=0)和本文控制算法對(duì)建立的CSTR系統(tǒng)(2)實(shí)現(xiàn)反饋控制來(lái)進(jìn)行對(duì)比仿真驗(yàn)證，結(jié)果如圖6所示。由圖可以明顯看出，當(dāng)系統(tǒng)采用帶有擾動(dòng)補(bǔ)償作用的控制方法時(shí)，系統(tǒng)的控制性能較好，超調(diào)量更小。

圖6 系統(tǒng)擾動(dòng)補(bǔ)償控制效果

考慮到實(shí)際工業(yè)CSTR系統(tǒng)控制輸入信號(hào)存在的抖振現(xiàn)象，為了驗(yàn)證本文控制算法對(duì)抖振信號(hào)的抑制作用，令系統(tǒng)期望輸出信號(hào)為方波信號(hào)x2r，利用MATLAB軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，其控制效果如圖7所示。由圖可知，系統(tǒng)輸出信號(hào)y能夠快速且有效地跟蹤上x(chóng)2r，控制輸入信號(hào)抑制效果明顯。

(a)系統(tǒng)跟蹤效果

(b)控制輸入信號(hào)圖7 系統(tǒng)抖振控制效果

為了更好地驗(yàn)證所提控制方法的抗干擾能力及動(dòng)態(tài)性能，分別利用本文控制算法與已有的自抗擾控制算法及傳統(tǒng)PID控制算法對(duì)同一階躍信號(hào)進(jìn)行跟蹤，并計(jì)算上述3種算法在階躍響應(yīng)下的峰值時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間以及超調(diào)量，結(jié)果如表2所示。與此同時(shí)，在被控系統(tǒng)穩(wěn)定后25～27 s時(shí)施加額外的外部干擾，信號(hào)跟蹤效果如圖8所示。

表2 連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

PID—比例-積分-微分。圖8 施加外部干擾后的跟蹤效果對(duì)比

由表2和圖8可以看出，本文控制算法與PID控制方法以及自抗擾控制方法相比具有更好的動(dòng)態(tài)性能，主要表現(xiàn)在： 1)超調(diào)量更小，調(diào)節(jié)時(shí)間短且系統(tǒng)響應(yīng)速度快，能夠快速地跟蹤參考信號(hào)； 2)當(dāng)被控系統(tǒng)突然面臨未知的外部擾動(dòng)時(shí)，本文控制算法超調(diào)量最小，且能夠更快地控制被控系統(tǒng)穩(wěn)定，抗干擾能力更強(qiáng)。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)一類(lèi)非線性CSTR系統(tǒng)中的控制問(wèn)題，本文中提出了一種基于擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)積分滑模控制算法。根據(jù)CSTR建立的數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)模型轉(zhuǎn)化為非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，利用建立的系統(tǒng)模型分別設(shè)計(jì)了有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器和擾動(dòng)觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)未知狀態(tài)的觀測(cè)以及未知擾動(dòng)的估計(jì)補(bǔ)償，增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性?；诜e分滑模面設(shè)計(jì)的自適應(yīng)變比例增益趨近律，有效地抑制了系統(tǒng)中產(chǎn)生的抖振，并通過(guò)Lyapunov函數(shù)證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文控制算法具有良好的抗干擾性能。